Lagrangiana di Darwin

La Lagrangiana relativistica d'interazione per una particella con carica ${\displaystyle q}$ interagente con un campo magnetico è^[2]

${\displaystyle L_{\text{int}}=-q\Phi +{q \over c}\mathbf {u} \cdot \mathbf {A} ,}$

dove ${\displaystyle \mathbf {u} }$ è la velocità relativistica della particella. Il primo termine a destra genera la classica interazione di Coulomb, mentre il secondo dà origine all'interazione di Darwin.

Il potenziale vettore nella gauge di Coulomb è descritto da^[3] (unità gaussiane)

${\displaystyle \nabla ^{2}\mathbf {A} -{1 \over c^{2}}{\partial ^{2}\mathbf {A} \over \partial t^{2}}=-{4\pi \over c}\mathbf {J} _{t}}$

dove la corrente trasversa ${\displaystyle \mathbf {J} _{t}}$ è la corrente solenoidale (vedere decomposizione di Helmholtz) generata dalla seconda particella. La divergenza della corrente trasversa è zero.

La corrente generata dalla seconda particella è

${\displaystyle \mathbf {J} =q_{2}\mathbf {v} _{2}\delta \left(\mathbf {r} -\mathbf {r} _{2}\right),}$

che ha trasformata di Fourier

${\displaystyle \mathbf {J} \left(\mathbf {k} \right)\equiv \int d^{3}r\exp \left(-i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} \right)\mathbf {J} \left(\mathbf {r} \right)=q_{2}\mathbf {v} _{2}\exp \left(-i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} _{2}\right).}$

La componente trasversa della corrente è

${\displaystyle \mathbf {J} _{t}\left(\mathbf {k} \right)=q_{2}\left[\mathbf {1} -\mathbf {\hat {k}} \mathbf {\hat {k}} \right]\cdot \mathbf {v} _{2}\exp \left(-i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} _{2}\right).}$

Si verifica facilmente che

${\displaystyle \mathbf {k} \cdot \mathbf {J} _{t}\left(\mathbf {k} \right)=0,}$

che deve essere vera se la divergenza della corrente trasversale è zero. Si vede che

${\displaystyle \mathbf {J} _{t}\left(\mathbf {k} \right)}$

è la componente perpendicolare a ${\displaystyle \mathbf {k} }$ della trasformata di fourier della corrente.

Dall'equazione del potenziale vettore, la sua trasformata di Fourier è

${\displaystyle \mathbf {A} \left(\mathbf {k} \right)={4\pi \over c}{q_{2} \over k^{2}}\left[\mathbf {1} -\mathbf {\hat {k}} \mathbf {\hat {k}} \right]\cdot \mathbf {v} _{2}\exp \left(-i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} _{2}\right)}$

dove si è tenuto l'ordine minore in ${\displaystyle v/c}$ .

La trasformata inversa del potenziale vettore è

${\displaystyle \mathbf {A} \left(\mathbf {r} \right)=\int {d^{3}k \over \left(2\pi \right)^{3}}\;\mathbf {A} \left(\mathbf {k} \right)\;{\exp \left(i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} _{1}\right)}={q_{2} \over 2c}{1 \over r}\left[\mathbf {1} +\mathbf {\hat {r}} \mathbf {\hat {r}} \right]\cdot \mathbf {v} _{2}}$

dove

${\displaystyle \mathbf {r} =\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2}}$

Il termine d'interazione di Darwin nella Lagrangiana è quindi

${\displaystyle L_{\rm {D}}={q_{1}q_{2} \over r}{1 \over 2c^{2}}\mathbf {v} _{1}\cdot \left[\mathbf {1} +\mathbf {\hat {r}} \mathbf {\hat {r}} \right]\cdot \mathbf {v} _{2}}$

dove ancora si è tenuto solo l'ordine minore in ${\displaystyle v/c}$ .

L'equazioni del moto per una particella è

${\displaystyle {d \over dt}{\partial \over \partial \mathbf {v} _{1}}L\left(\mathbf {r} _{1},\mathbf {v} _{1}\right)=\nabla _{1}L\left(\mathbf {r} _{1},\mathbf {v} _{1}\right)}$

${\displaystyle {d\mathbf {p} _{1} \over dt}=\nabla _{1}L\left(\mathbf {r} _{1},\mathbf {v} _{1}\right)}$

dove ${\displaystyle \mathbf {p} _{1}}$ è la quantità di moto della particella.

Particella libera

Se si trascurano l'interazioni fra le due particelle, l'equazione del moto diventa

${\displaystyle {d \over dt}\left[\left(1+{1 \over 2}{v_{1}^{2} \over c^{2}}\right)m_{1}\mathbf {v} _{1}\right]=0}$

${\displaystyle \mathbf {p} _{1}=\left(1+{1 \over 2}{v_{1}^{2} \over c^{2}}\right)m_{1}\mathbf {v} _{1}}$

Particelle interagenti

Per particelle interagenti, l'equazione del moto diventa

${\displaystyle {d \over dt}\left[\left(1+{1 \over 2}{v_{1}^{2} \over c^{2}}\right)m_{1}\mathbf {v} _{1}+{q_{1} \over c}\mathbf {A} \left(\mathbf {r} _{1}\right)\right]=-\nabla {q_{1}q_{2} \over r}+\nabla \left[{q_{1}q_{2} \over r}{1 \over 2c^{2}}\mathbf {v} _{1}\cdot \left[\mathbf {1} +\mathbf {\hat {r}} \mathbf {\hat {r}} \right]\cdot \mathbf {v} _{2}\right]}$

${\displaystyle {d\mathbf {p} _{1} \over dt}={q_{1}q_{2} \over r^{2}}{\hat {\mathbf {r} }}+{q_{1}q_{2} \over r^{2}}{1 \over 2c^{2}}\left\{\mathbf {v} _{1}\left({{\hat {\mathbf {r} }}\cdot \mathbf {v} _{2}}\right)+\mathbf {v} _{2}\left({{\hat {\mathbf {r} }}\cdot \mathbf {v} _{1}}\right)-{\hat {\mathbf {r} }}\left[\mathbf {v} _{1}\cdot \left(\mathbf {1} +3{\hat {\mathbf {r} }}{\hat {\mathbf {r} }}\right)\cdot \mathbf {v} _{2}\right]\right\}}$

${\displaystyle \mathbf {p} _{1}=\left(1+{1 \over 2}{v_{1}^{2} \over c^{2}}\right)m_{1}\mathbf {v} _{1}+{q_{1} \over c}\mathbf {A} \left(\mathbf {r} _{1}\right)}$

${\displaystyle \mathbf {A} \left(\mathbf {r} _{1}\right)={q_{2} \over 2c}{1 \over r}\left[\mathbf {1} +\mathbf {\hat {r}} \mathbf {\hat {r}} \right]\cdot \mathbf {v} _{2}}$

${\displaystyle \mathbf {r} =\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2}}$

L'Hamiltoniana di Darwin per due particelle nel vuoto è collegata alla Lagrangiana tramite una trasformata di Legendre

${\displaystyle H=\mathbf {p} _{1}\cdot \mathbf {v} _{1}+\mathbf {p} _{2}\cdot \mathbf {v} _{2}-L.}$

L'Hamiltoniana diventa

Le equazioni del moto hamiltoniane sono

${\displaystyle \mathbf {v} _{1}={\partial H \over \partial \mathbf {p} _{1}}}$

e

${\displaystyle {d\mathbf {p} _{1} \over dt}=-\nabla _{1}H,}$

che portano a

${\displaystyle \mathbf {v} _{1}=\left(1-{1 \over 2}{p_{1}^{2} \over m_{1}^{2}c^{2}}\right){\mathbf {p} _{1} \over m_{1}}-{q_{1}q_{2} \over 2m_{1}m_{2}c^{2}}{1 \over r}\left[\mathbf {1} +\mathbf {\hat {r}} \mathbf {\hat {r}} \right]\cdot \mathbf {p} _{2}}$

e

Da notare che l'equazione di Breit della meccanica quantistica originariamente utilizzò l'Hamiltoniana di Darwin come punto di partenza classico, sebbene l'equazione di Breit fu meglio giustificata dalla teoria assorbitore-emettitore di Wheeler-Feynman e in modo migliore dall'elettrodinamica quantistica.

• Effetto Zeeman
• Teoria assorbitore-emettitore di Wheeler-Feynman

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