Q di Yule

L'indice venne presentato da Yule nell'articolo On the association of attributes in statistics^[1] e fu al centro di una controversia con il matematico e statistico inglese Karl Pearson.La posizione di Pearson era che alla base di una tabella di contingenza vi fosse un fenomeno continuo e gaussiano, invece che un fenomeno discreto come sostenuto da Yule, che considerava poco scientifico fare ipotesi non desiderate e non verificabili.

Pearson, inoltre, notava che "collassando" una tabella ${\displaystyle N\times N}$ , riducendola a 2x2, si ottengono risultati differenti a seconda di come vengono aggregati i valori.
Questa osservazione rimane tuttora valida.

${\displaystyle Q=(\alpha -1)/(\alpha +1)}$

ove

${\displaystyle \alpha =(P_{11}/P_{21})/(P_{12}/P_{22})}$ è il cosiddetto odds ratio

${\displaystyle P_{ij}=P(A_{i}B_{j})}$ ove sia ${\displaystyle i}$ che ${\displaystyle j}$ assumono i valori 1 e 2

Tale indice ${\displaystyle Q}$ varia tra -1 e +1, ove 0 indica l'indipendenza.

${\displaystyle Q}$ può essere stimato da

${\displaystyle q=(a-1)/(a+1)}$

dove in questo caso

${\displaystyle a=(f_{11}/f_{21})/(f_{12}/f_{22})}$ in analogia a ${\displaystyle \alpha }$ (con il vincolo che ${\displaystyle f_{ij}}$ sia sempre maggiore di zero

mentre la varianza di ${\displaystyle q}$ viene stimata con

${\displaystyle s^{2}(q)=1/4(1-q)^{2}\sum _{i=1}^{N}\sum _{j=1}^{N}1/f_{ij}}$

 Valori assoluti +-------------+-------+------+ |     \ Abile |   Si  |  No  | |Sesso \      |       |      | +-------------+-------+------+ |Uomini       |  20   |  80  | |Donne        |  90   |  80  | +-------------+-------+------+ Valori relativi (f) +-------------+-------+------+ |     \ Abile |   Si  |  No  | |Sesso \      |       |      | +-------------+-------+------+ |Uomini       | 0,074 | 0,296| |Donne        | 0,333 | 0,296| +-------------+-------+------+

${\displaystyle a=(0,074/0,333)/(0,296/0,296)=0,222}$

${\displaystyle q=(0,222-1)/(0,222+1)=-0,636}$

Valori di q differenti

Collassando una tabella ${\displaystyle N\times N}$ a una ${\displaystyle 2\times 2}$ , a causa del criterio di aggregazione dei valori, si possono ottenere valori di ${\displaystyle q}$ differenti. (cf. osservazione di Karl Pearson)

Se per esempio i dati di partenza fossero stati

  +-------------+-------+------+------+ |     \ Abile |   Si  | boh! |  No  | |Sesso \      |       |      |      | +-------------+-------+------+------+ |Uomini       |  20   |  10  |  70  | |Donne        |  90   |   0  |  80  | +-------------+-------+------+------+

assegnando il "Boh!" ai "No" si ottiene la tabella e il ${\displaystyle q=-0,636}$ di cui sopra, mentre assegnandolo ai "Si" si ottiene la tabella seguente:

 +-------------+-------+------+ |     \ Abile |   Si  |  No  | |Sesso \      |       |      | +-------------+-------+------+ |Uomini       |  30   |  70  | |Donne        |  90   |  80  | +-------------+-------+------+

con l'indicatore ${\displaystyle q}$ che si attenua diventando ${\displaystyle q=-0,448}$