커누스 윗화살표 표기법 (Knuth's up-arrow notation)은 도널드 커누스 가 1976년 에 개발한 아주 큰 수 를 표기하는 방법이다. 이 표기법은 아커만 함수 와 특히 하이퍼 연산 수열과 매우 밀접한 관련이 있으며, 곱셈 은 반복되는 덧셈 으로 볼 수 있고, 거듭제곱 도 반복되는 곱셈 으로 볼 수 있다는 사실에 기반해서 아이디어를 얻었다. 이런 방식으로 계속하면 테트레이션 (반복된 거듭제곱)과 보통 커누스 윗화살표 표기법으로 표시되는 하이퍼 연산 수열의 나머지로 이어진다. 이 표기법은 명시적으로 쓸 수 있는 수보다 훨씬 더 큰 수를 간단하게 표기할 수 있다.
윗화살표 한 개는 거듭제곱 (반복되는 곱셈)을 의미하고, 한 개 이상의 윗화살표는 한 개 적은 화살표를 반복하는 것을 의미한다.
예를 들어,
윗화살표 한 개는 곱셈의 반복(거듭제곱 )이다 2 ↑ 4 = 2 ∗ ( 2 ∗ ( 2 ∗ 2 ) ) = 2 4 = 16 {\displaystyle 2\uparrow 4=2*(2*(2*2))=2^{4}=16} 윗화살표 두 개는 거듭제곱의 반복(테트레이션 )이다 2 ↑↑ 4 = 2 ↑ ( 2 ↑ ( 2 ↑ 2 ) ) = 2 2 2 2 = 65536 {\displaystyle 2\uparrow \uparrow 4=2\uparrow (2\uparrow (2\uparrow 2))=2^{2^{2^{2}}}=65536} 윗화살표 세 개는 테트레이션의 반복(펜테이션 )이다 2 ↑↑↑ 3 = 2 ↑↑ ( 2 ↑↑ 2 ) = 2 ↑↑ ( 2 ↑ 2 ) = 2 ↑↑ 2 2 = 2 ↑↑ 4 = 2 ↑ 2 ↑ 2 ↑ 2 = 2 2 2 2 = 65536 {\displaystyle {\begin{aligned}2\uparrow \uparrow \uparrow 3&=2\uparrow \uparrow (2\uparrow \uparrow 2)\\&=2\uparrow \uparrow (2\uparrow 2)\\&=2\uparrow \uparrow 2^{2}\\&=2\uparrow \uparrow 4\\&=2\uparrow 2\uparrow 2\uparrow 2\\&=2^{2^{2^{2}}}\\&=65536\end{aligned}}} 이 표기법의 일반적인 정의는 다음과 같다(정수 a 와 음이 아닌 정수 b ,n 에 대해서):
a ↑ n b = { a b , if n = 1 ; 1 , if n ≥ 1 and b = 0 ; a ↑ n − 1 ( a ↑ n ( b − 1 ) ) , otherwise {\displaystyle a\uparrow ^{n}b=\left\{{\begin{matrix}a^{b},&{\mbox{if }}n=1;\\1,&{\mbox{if }}n\geq 1{\mbox{ and }}b=0;\\a\uparrow ^{n-1}(a\uparrow ^{n}(b-1)),&{\mbox{otherwise }}\end{matrix}}\right.} 소개 덧셈 , 곱셈 , 그리고 거듭제곱 의 일반 산술 연산은 자연적으로 다음과 같이 하이퍼 연산 의 수열로 확장된다.
자연수 에 의한 곱셈 은 덧셈 의 반복으로 정의된다:
a × b = a + a + ⋯ + a ⏟ b copies of a {\displaystyle {\begin{matrix}a\times b&=&\underbrace {a+a+\dots +a} \\&&b{\mbox{ copies of }}a\end{matrix}}} 예를 들면,
3 × 4 = 4 + 4 + 4 ⏟ = 12 3 copies of 4 {\displaystyle {\begin{matrix}3\times 4&=&\underbrace {4+4+4} &=&12\\&&3{\mbox{ copies of }}4\end{matrix}}} 자연수 지수 b {\displaystyle b} 에 의한 거듭제곱 은 곱셈의 반복으로 정의되며, 커누스는 윗화살표 한 개로 표기했다:
a ↑ b = a b = a × a × ⋯ × a ⏟ b copies of a {\displaystyle {\begin{matrix}a\uparrow b=a^{b}=&\underbrace {a\times a\times \dots \times a} \\&b{\mbox{ copies of }}a\end{matrix}}} 예를 들면,
4 ↑ 3 = 4 3 = 4 × 4 × 4 ⏟ = 64 3 copies of 4 {\displaystyle {\begin{matrix}4\uparrow 3=4^{3}=&\underbrace {4\times 4\times 4} &=&64\\&3{\mbox{ copies of }}4\end{matrix}}} 연산의 수열을 거듭제곱을 넘어서 확장하기 위해서 커누스는 거듭제곱의 반복(테트레이션 )을 의미하는 “이중 윗화살표” 연산 을 정의했다:
a ↑↑ b = b a = a a . . . a ⏟ = a ↑ ( a ↑ ( ⋯ ↑ a ) ) ⏟ b copies of a b copies of a {\displaystyle {\begin{matrix}a\uparrow \uparrow b&={\ ^{b}a}=&\underbrace {a^{a^{{}^{.\,^{.\,^{.\,^{a}}}}}}} &=&\underbrace {a\uparrow (a\uparrow (\dots \uparrow a))} \\&&b{\mbox{ copies of }}a&&b{\mbox{ copies of }}a\end{matrix}}} 예를 들면,
4 ↑↑ 3 = 3 4 = 4 4 4 ⏟ = 4 ↑ ( 4 ↑ 4 ) ⏟ = 4 256 ≈ 1.34078079 × 10 154 3 copies of 4 3 copies of 4 {\displaystyle {\begin{matrix}4\uparrow \uparrow 3&={\ ^{3}4}=&\underbrace {4^{4^{4}}} &=&\underbrace {4\uparrow (4\uparrow 4)} &=&4^{256}&\approx &1.34078079\times 10^{154}&\\&&3{\mbox{ copies of }}4&&3{\mbox{ copies of }}4\end{matrix}}} 여기와 아래의 계산은 오른쪽에서 왼쪽으로 일어난다, 왜냐하면 커누스 윗화살표 연산(거듭제곱과 같은)은 Right associative 연산으로 정의했기 때문이다.
이 정의에 의해서,
3 ↑↑ 2 = 3 3 = 27 {\displaystyle 3\uparrow \uparrow 2=3^{3}=27} 3 ↑↑ 3 = 3 3 3 = 3 27 = 7 , 625 , 597 , 484 , 987 {\displaystyle 3\uparrow \uparrow 3=3^{3^{3}}=3^{27}=7,625,597,484,987} 3 ↑↑ 4 = 3 3 3 3 = 3 3 27 = 3 7625597484987 ≈ 1.2580143 × 10 3638334640024 {\displaystyle 3\uparrow \uparrow 4=3^{3^{3^{3}}}=3^{3^{27}}=3^{7625597484987}\approx 1.2580143\times 10^{3638334640024}} 3 ↑↑ 5 = 3 3 3 3 3 = 3 3 3 27 = 3 3 7625597484987 {\displaystyle 3\uparrow \uparrow 5=3^{3^{3^{3^{3}}}}=3^{3^{3^{27}}}=3^{3^{7625597484987}}} etc. 이것만 해도 상당히 큰 수가 나오지만 커누스는 이 표기법을 확장했다. 커누스는 테트레이션의 반복(펜테이션 )을 의미하는 “삼중 윗화살표” 연산을 정의했다:
a ↑↑↑ b = a ↑↑ ( a ↑↑ ( ⋯ ↑↑ a ) ) ⏟ b copies of a {\displaystyle {\begin{matrix}a\uparrow \uparrow \uparrow b=&\underbrace {a_{}\uparrow \uparrow (a\uparrow \uparrow (\dots \uparrow \uparrow a))} \\&b{\mbox{ copies of }}a\end{matrix}}} 잇따라 “사중 윗화살표“ 연산은 펜테이션의 반복(헥세이션 )을 의미한다:
a ↑↑↑↑ b = a ↑↑↑ ( a ↑↑↑ ( ⋯ ↑↑↑ a ) ) ⏟ b copies of a {\displaystyle {\begin{matrix}a\uparrow \uparrow \uparrow \uparrow b=&\underbrace {a_{}\uparrow \uparrow \uparrow (a\uparrow \uparrow \uparrow (\dots \uparrow \uparrow \uparrow a))} \\&b{\mbox{ copies of }}a\end{matrix}}} 그리고 계속된다. 일반적인 규칙은 n {\displaystyle n} 중 윗화살표 연산은 right-associative ( n − 1 {\displaystyle n-1} )중 윗화살표 연산으로 확장할 수 있다는 것이다. 기호적으로는
a ↑ ↑ … ↑ ⏟ n b = a ↑ … ↑ ⏟ n − 1 ( a ↑ … ↑ ⏟ n − 1 ( … ↑ … ↑ ⏟ n − 1 a ) ) ⏟ b copies of a {\displaystyle {\begin{matrix}a\ \underbrace {\uparrow _{}\uparrow \!\!\dots \!\!\uparrow } _{n}\ b=\underbrace {a\ \underbrace {\uparrow \!\!\dots \!\!\uparrow } _{n-1}\ (a\ \underbrace {\uparrow _{}\!\!\dots \!\!\uparrow } _{n-1}\ (\dots \ \underbrace {\uparrow _{}\!\!\dots \!\!\uparrow } _{n-1}\ a))} _{b{\text{ copies of }}a}\end{matrix}}} 예시:
3 ↑↑↑ 2 = 3 ↑↑ 3 = 3 3 3 = 3 27 = 7 , 625 , 597 , 484 , 987 {\displaystyle 3\uparrow \uparrow \uparrow 2=3\uparrow \uparrow 3=3^{3^{3}}=3^{27}=7,625,597,484,987} 3 ↑↑↑ 3 = 3 ↑↑ ( 3 ↑↑ 3 ) = 3 ↑↑ ( 3 ↑ 3 ↑ 3 ) = 3 ↑ 3 ↑ ⋯ ↑ 3 ⏟ 3 ↑ 3 ↑ 3 copies of 3 = 3 ↑ 3 ↑ ⋯ ↑ 3 ⏟ 7,625,597,484,987 copies of 3 = 3 3 3 3 ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ 3 ⏟ 7,625,597,484,987 copies of 3 {\displaystyle {\begin{matrix}3\uparrow \uparrow \uparrow 3=3\uparrow \uparrow (3\uparrow \uparrow 3)=3\uparrow \uparrow (3\uparrow 3\uparrow 3)=&\underbrace {3_{}\uparrow 3\uparrow \dots \uparrow 3} \\&3\uparrow 3\uparrow 3{\mbox{ copies of }}3\end{matrix}}{\begin{matrix}=&\underbrace {3_{}\uparrow 3\uparrow \dots \uparrow 3} \\&{\mbox{7,625,597,484,987 copies of 3}}\end{matrix}}{\begin{matrix}=&\underbrace {3^{3^{3^{3^{\cdot ^{\cdot ^{\cdot ^{\cdot ^{3}}}}}}}}} \\&{\mbox{7,625,597,484,987 copies of 3}}\end{matrix}}} a ↑ n b {\displaystyle a\uparrow ^{n}b} 의 표기는 일반적으로 a ↑↑ ⋯ ↑ b {\displaystyle a\uparrow \uparrow \dots \uparrow b} 에서 윗화살표가 n 개인 것을 나타낸다. 사실 a ↑ n b {\displaystyle a\uparrow ^{n}b} 는 하이퍼 연산 으로 a [n +2] b 이다. 예를 들어, 39 ↑↑ 14 {\displaystyle 39\uparrow \uparrow 14} 는 39 [4] 14 ("[4]"는 테트레이션 을 의미한다)로 쓸 수 있지만 39 [2] 14 = 39 × 14 = 546인 것은 아니다. 비슷하게, 77 ↑ 77 77 {\displaystyle 77\uparrow ^{77}77} 은 77 [79] 77이지 77 [77] 77이 아니다.
표기법 일반화 어떤 수는 너무 커서 커누스 윗화살표 표기법으로 쓰기에도 버거울 수 있다. 그러면 n 중 화살표 연산 ↑ n {\displaystyle \uparrow ^{n}} 이나 동동한 하이퍼 연산 이 유용하다 (그리고 화살표의 개수가 변수일 때를 나타낼 때도 유용하다).
어떤 수는 너무 커서 이 표기법도 충분하지 않을 수 있다. 그러면 콘웨이 연쇄 화살표 표기법 을 쓸 수 있다: 세 원소들의 연쇄 화살표는 다른 표기법과 동일하지만, 길이가 4 이상이면 더 강력하다.
a ↑ n b = a [ n + 2 ] b = a → b → n (커 누 스 ) (하 이 퍼 연 산 ) (콘 웨 이 ) {\displaystyle {\begin{matrix}a\uparrow ^{n}b&=&a[n+2]b&=&a\to b\to n\\{\mbox{(커 누 스 )}}&&{\mbox{(하 이 퍼 연 산 )}}&&{\mbox{(콘 웨 이 )}}\end{matrix}}} 보통 커누스 윗화살표는 비교적 작은 수에, 연쇄 화살표나 하이퍼 연산은 더 큰 수에 써야 한다고 주장한다.[누가 ?]
정의 윗화살표 표기법은 공식적으로 b ≥ 0 , n ≥ 0 {\displaystyle b\geq 0,n\geq 0} 인 모든 정수 a , b , n {\displaystyle a,b,n} 에 대해서 다음과 같이 정의된다.
a ↑ n b = { a b , if n = 0 ; 1 , if n ≥ 1 and b = 0 ; a ↑ n − 1 ( a ↑ n ( b − 1 ) ) , otherwise {\displaystyle a\uparrow ^{n}b=\left\{{\begin{matrix}ab,&{\mbox{if }}n=0;\\1,&{\mbox{if }}n\geq 1{\mbox{ and }}b=0;\\a\uparrow ^{n-1}(a\uparrow ^{n}(b-1)),&{\mbox{otherwise }}\end{matrix}}\right.} 이 정의는 곱셈 을 기본 연산으로 두고 ( a ↑ 0 b = a b ) {\displaystyle (a\uparrow ^{0}b=ab)} , 거듭제곱 ( a ↑ 1 b = a ↑ b = a b ) {\displaystyle (a\uparrow ^{1}b=a\uparrow b=a^{b})} 을 곱셈의 반복으로, 테트레이션 ( a ↑ 2 b = a ↑↑ b ) {\displaystyle (a\uparrow ^{2}b=a\uparrow \uparrow b)} 을 거듭제곱의 반복으로, 등등을 얻는다. (이 정의는 더 기본적인 두 함수가 없는것을 제외하고 하이퍼 연산 수열 과 동등핟다. 여기서 없는 함수는 다음수 와 덧셈 으로, 이 함수를 포함하려면 정의를 더 복잡하게 하는 추가 시작값을 필요로 한다.)
모든 윗화살표 연산(평범한 거듭제곱 a ↑ b {\displaystyle a\uparrow b} 를 포함해서)은 right associative이다. 즉, 수식의 오른쪽에서 왼쪽으로 계산한다. a ↑ b ↑ c = a ↑ ( b ↑ c ) {\displaystyle a\uparrow b\uparrow c=a\uparrow (b\uparrow c)} —— not ( a ↑ b ) ↑ c {\displaystyle (a\uparrow b)\uparrow c} . 3 ↑↑ 3 = 3 3 3 {\displaystyle 3\uparrow \uparrow 3=3^{3^{3}}} is 3 ( 3 3 ) = 3 27 = 7625597484987 {\displaystyle 3^{(3^{3})}=3^{27}=7625597484987} —— not ( 3 3 ) 3 = 27 3 = 19683. {\displaystyle \left(3^{3}\right)^{3}=27^{3}=19683.}
right-associativity 때문에 b ≥ 1 , n ≥ 1 {\displaystyle b\geq 1,n\geq 1} 일 때 다음과 같다
a ↑ n b = a ↑ n − 1 a ↑ n − 1 ⋯ a ↑ n − 1 a ( with b a 's ) = a ↑ n − 1 a ↑ n − 1 ⋯ a ↑ n − 1 a ↑ n − 1 1 ( with b a 's ) = ( a ↑ n − 1 ) b 1 {\displaystyle {\begin{array}{lcl}a\uparrow ^{n}b&=&a\uparrow ^{n-1}a\uparrow ^{n-1}\cdots a\uparrow ^{n-1}a\ \ ({\text{with }}b\ a{\text{'s}})\\&=&a\uparrow ^{n-1}a\uparrow ^{n-1}\cdots a\uparrow ^{n-1}a\uparrow ^{n-1}1\ \ ({\text{with }}b\ a{\text{'s}})\\&=&(a\uparrow ^{n-1})^{b}1\end{array}}}
각 a {\displaystyle a} 는 화살표 연산의 왼쪽 항으로 나타나고 (화살표 연산은 가환 이 아니기 때문에 이 점은 중요하다), ( a ↑ m ) b {\displaystyle (a\uparrow ^{m})^{b}} 는 함수 f ( x ) = a ↑ m x {\displaystyle f(x)=a\uparrow ^{m}x} 를 b 번 합성 한 것으로 썼다. ( a ↑ m ) 0 n = n {\displaystyle (a\uparrow ^{m})^{0}n=n} 이기 때문에, 원래 정의를 b ≥ 0 , n ≥ 0 {\displaystyle b\geq 0,n\geq 0} 인 모든 정수 a , b , n {\displaystyle a,b,n} 에 대해 다음과 같이 간결하게 쓸 수 있다:
a ↑ n b = { a b , if n = 0 ; ( a ↑ n − 1 ) b 1 if n ≥ 1 {\displaystyle a\uparrow ^{n}b=\left\{{\begin{matrix}ab,&{\mbox{if }}n=0;\\(a\uparrow ^{n-1})^{b}1&{\mbox{if }}n\geq 1\end{matrix}}\right.} 값들의 표 2↑m n 계산 2 ↑ m n {\displaystyle 2\uparrow ^{m}n} 을 계산하는 것은 무한한 표에서 재기술 할 수 있다. 2 n {\displaystyle 2^{n}} 을 가장 윗 행에 채우고, 왼쪽 열에 2로 채운다. 표의 값을 결정하기 위해서는 바로 왼쪽의 값을 얻어서 이전 행의 그 값의 위치에 있는 값을 얻는다.
2 ↑ m n {\displaystyle 2\uparrow ^{m}n} = hyper (2, m + 2, n ) = 2 → n → m 의 값m \n 1 2 3 4 5 6 공식 1 2 4 8 16 32 64 2 n {\displaystyle 2^{n}} 2 2 4 16 65536 2 65 536 ≈ 2.0 × 10 19 728 {\displaystyle 2^{65\,536}\approx 2.0\times 10^{19\,728}} 2 2 65 536 ≈ 10 6.0 × 10 19 727 {\displaystyle 2^{2^{65\,536}}\approx 10^{6.0\times 10^{19\,727}}} 2 ↑↑ n {\displaystyle 2\uparrow \uparrow n} 3 2 4 65536 2 2 . . . 2 ⏟ 65536 copies of 2 {\displaystyle {\begin{matrix}\underbrace {2_{}^{2^{{}^{.\,^{.\,^{.\,^{2}}}}}}} \\65536{\mbox{ copies of }}2\end{matrix}}} 2 2 . . . 2 ⏟ 2 2 . . . 2 ⏟ 65536 copies of 2 {\displaystyle {\begin{matrix}\underbrace {2_{}^{2^{{}^{.\,^{.\,^{.\,^{2}}}}}}} \\\underbrace {2_{}^{2^{{}^{.\,^{.\,^{.\,^{2}}}}}}} \\65536{\mbox{ copies of }}2\end{matrix}}} 2 2 . . . 2 ⏟ 2 2 . . . 2 ⏟ 2 2 . . . 2 ⏟ 65536 copies of 2 {\displaystyle {\begin{matrix}\underbrace {2_{}^{2^{{}^{.\,^{.\,^{.\,^{2}}}}}}} \\\underbrace {2_{}^{2^{{}^{.\,^{.\,^{.\,^{2}}}}}}} \\\underbrace {2_{}^{2^{{}^{.\,^{.\,^{.\,^{2}}}}}}} \\65536{\mbox{ copies of }}2\end{matrix}}} 2 ↑↑↑ n {\displaystyle 2\uparrow \uparrow \uparrow n} 4 2 4 2 2 . . . 2 ⏟ 65536 copies of 2 {\displaystyle {\begin{matrix}\underbrace {2_{}^{2^{{}^{.\,^{.\,^{.\,^{2}}}}}}} \\65536{\mbox{ copies of }}2\end{matrix}}} 2 ↑↑↑↑ n {\displaystyle 2\uparrow \uparrow \uparrow \uparrow n}
이 표는 m {\displaystyle m} 과 n {\displaystyle n} 이 약간 밀린 것과 모든 값에 3이 더해진 것을 제외하고는 아커만 함수의 표 와 같다.
3↑m n 계산 3 n {\displaystyle 3^{n}} 을 가장 윗 행에 채우고, 왼쪽 열에 3으로 채운다. 표의 값을 결정하기 위해서는 바로 왼쪽의 값을 얻어서 이전 행의 그 값의 위치에 있는 값을 얻는다.
3 ↑ m n {\displaystyle 3\uparrow ^{m}n} = hyper (3, m + 2, n ) = 3 → n → m 의 값m \n 1 2 3 4 5 공식 1 3 9 27 81 243 3 n {\displaystyle 3^{n}} 2 3 27 7,625,597,484,987 3 7,625,597,484,987 {\displaystyle 3^{7{,}625{,}597{,}484{,}987}} 3 3 7,625,597,484,987 {\displaystyle 3^{3^{7{,}625{,}597{,}484{,}987}}} 3 ↑↑ n {\displaystyle 3\uparrow \uparrow n} 3 3 7,625,597,484,987 3 3 . . . 3 ⏟ 7,625,597,484,987 copies of 3 {\displaystyle {\begin{matrix}\underbrace {3_{}^{3^{{}^{.\,^{.\,^{.\,^{3}}}}}}} \\7{,}625{,}597{,}484{,}987{\mbox{ copies of }}3\end{matrix}}} 3 ↑↑↑ n {\displaystyle 3\uparrow \uparrow \uparrow n} 4 3 3 3 . . . 3 ⏟ 7,625,597,484,987 copies of 3 {\displaystyle {\begin{matrix}\underbrace {3_{}^{3^{{}^{.\,^{.\,^{.\,^{3}}}}}}} \\7{,}625{,}597{,}484{,}987{\mbox{ copies of }}3\end{matrix}}} 3 ↑↑↑↑ n {\displaystyle 3\uparrow \uparrow \uparrow \uparrow n}
4↑m n 의 계산 4 n {\displaystyle 4^{n}} 을 가장 윗 행에 채우고, 왼쪽 열에 4로 채운다. 표의 값을 결정하기 위해서는 바로 왼쪽의 값을 얻어서 이전 행의 그 값의 위치에 있는 값을 얻는다.
4 ↑ m n {\displaystyle 4\uparrow ^{m}n} = hyper (4, m + 2, n ) = 4 → n → m 의 값m \n 1 2 3 4 5 공식 1 4 16 64 256 1024 4 n {\displaystyle 4^{n}} 2 4 256 1.3407807930 × 10 154 {\displaystyle 1.3407807930\times 10^{154}} 4 1.3407807930 × 10 154 {\displaystyle 4^{1.3407807930\times 10^{154}}} 4 4 1.3407807930 × 10 154 {\displaystyle 4^{4^{1.3407807930\times 10^{154}}}} 4 ↑↑ n {\displaystyle 4\uparrow \uparrow n} 3 4 4 1.3407807930 × 10 154 {\displaystyle 4^{1.3407807930\times 10^{154}}} 4 4 . . . 4 ⏟ 4 1.3407807930 × 10 154 copies of 4 {\displaystyle {\begin{matrix}\underbrace {4_{}^{4^{{}^{.\,^{.\,^{.\,^{4}}}}}}} \\4^{1.3407807930\times 10^{154}}{\mbox{ copies of }}4\end{matrix}}} 4 ↑↑↑ n {\displaystyle 4\uparrow \uparrow \uparrow n} 4 4 4 4 . . . 4 ⏟ 4 4 . . . 4 ⏟ 4 1.3407807930 × 10 154 copies of 4 {\displaystyle {\begin{matrix}\underbrace {4_{}^{4^{{}^{.\,^{.\,^{.\,^{4}}}}}}} \\\underbrace {4_{}^{4^{{}^{.\,^{.\,^{.\,^{4}}}}}}} \\4^{1.3407807930\times 10^{154}}{\mbox{ copies of }}4\end{matrix}}} 4 ↑↑↑↑ n {\displaystyle 4\uparrow \uparrow \uparrow \uparrow n}
10↑m n 의 계산 10 n {\displaystyle 10^{n}} 을 가장 윗 행에 채우고, 왼쪽 열에 10으로 채운다. 표의 값을 결정하기 위해서는 바로 왼쪽의 값을 얻어서 이전 행의 그 값의 위치에 있는 값을 얻는다.
10 ↑ m n {\displaystyle 10\uparrow ^{m}n} = hyper (10, m + 2, n ) = 10 → n → m 의 값m \n 1 2 3 4 5 공식 1 10 100 1,000 10,000 100,000 10 n {\displaystyle 10^{n}} 2 10 10,000,000,000 10 10 , 000 , 000 , 000 {\displaystyle 10^{10,000,000,000}} 10 10 10 , 000 , 000 , 000 {\displaystyle 10^{10^{10,000,000,000}}} 10 10 10 10 , 000 , 000 , 000 {\displaystyle 10^{10^{10^{10,000,000,000}}}} 10 ↑↑ n {\displaystyle 10\uparrow \uparrow n} 3 10 10 10 . . . 10 ⏟ 10 copies of 10 {\displaystyle {\begin{matrix}\underbrace {10_{}^{10^{{}^{.\,^{.\,^{.\,^{10}}}}}}} \\10{\mbox{ copies of }}10\end{matrix}}} 10 10 . . . 10 ⏟ 10 10 . . . 10 ⏟ 10 copies of 10 {\displaystyle {\begin{matrix}\underbrace {10_{}^{10^{{}^{.\,^{.\,^{.\,^{10}}}}}}} \\\underbrace {10_{}^{10^{{}^{.\,^{.\,^{.\,^{10}}}}}}} \\10{\mbox{ copies of }}10\end{matrix}}} 10 10 . . . 10 ⏟ 10 10 . . . 10 ⏟ 10 10 . . . 10 ⏟ 10 copies of 10 {\displaystyle {\begin{matrix}\underbrace {10_{}^{10^{{}^{.\,^{.\,^{.\,^{10}}}}}}} \\\underbrace {10_{}^{10^{{}^{.\,^{.\,^{.\,^{10}}}}}}} \\\underbrace {10_{}^{10^{{}^{.\,^{.\,^{.\,^{10}}}}}}} \\10{\mbox{ copies of }}10\end{matrix}}} 10 ↑↑↑ n {\displaystyle 10\uparrow \uparrow \uparrow n} 4 10 10 . . . 10 10 ⏟ 10 copies of 10 {\displaystyle {\begin{matrix}\underbrace {^{^{^{^{^{10}.}.}.}10}10} \\10{\mbox{ copies of }}10\end{matrix}}} 10 . . . 10 10 ⏟ 10 . . . 10 10 ⏟ 10 copies of 10 {\displaystyle {\begin{matrix}\underbrace {^{^{^{^{^{10}.}.}.}10}10} \\\underbrace {^{^{^{^{^{10}.}.}.}10}10} \\10{\mbox{ copies of }}10\end{matrix}}} 10 ↑↑↑↑ n {\displaystyle 10\uparrow \uparrow \uparrow \uparrow n}
2 ≤ n ≤ 9일 때 10 ↑ m n {\displaystyle 10\uparrow ^{m}n} 의 수치적인 순서는 m 이 가장 우선적인 사전식 순서 여서 이 8열에서 수치적인 순서는 단순히 행의 순서대로인 것을 보라. 3 ≤ n ≤ 99인 97열에도 마찬가지로 적용이 되고, m = 1에서 시작하면 3 ≤ n ≤ 9,999,999,999까지 가능하다.
하이퍼 연산 수열에 기반한 기수법 루벤 루이스 굿스타인 은 커누스 화살표와 다른 표기법 시스템을 가지고 ( + , × , ↑ , ↑↑ , … ) {\displaystyle (+,\ \times ,\ \uparrow ,\ \uparrow \uparrow ,\ \dots )} 으로 표기한 하이퍼 연산 수열을 이용해서 음이 아닌 정수에 대한 기수법을 만들었다.[1] 대괄호 ([1], [2], [3], [4], ... )를 각각의 하이퍼 연산 ( + , × , ↑ , ↑↑ , … ) {\displaystyle (+,\ \times ,\ \uparrow ,\ \uparrow \uparrow ,\ \dots )} 을 나타낸다고 하면 소위 b 를 밑으로 하는 정수 n 의 k 단계 완전 hereditary 표현 은 처음 k 하이퍼 연산과 0, 1, ..., b − 1의 자릿수와 밑인 b 자신을 포함하는 숫자들만을 이용해서 다음과 같이 나타낼 수 있다:
0 ≤ n ≤ b -1일 때는, n 은 단순히 대응하는 숫자로 표현한다. n > b -1일 때는, n 의 표현은 재귀적으로 찾는다. 먼저 n 은 다음의 형태로 나타난다:b [k ] x k [k - 1] x k -1 [k - 2] ... [2] x 2 [1] x 1 이 때 x k , ..., x 1 는 다음을 (차례로)만족하는 가장 큰 정수이다. b [k ] x k ≤ n b [k ] x k [k - 1] x k - 1 ≤ n ... b [k ] x k [k - 1] x k - 1 [k - 2] ... [2] x 2 [1] x 1 ≤ n b -1을 넘는 x i 는 같은 방법으로 다시 표현하고 0, 1, ..., b -1과 밑인 b 만 남을 때까지 계속한다.이 부분의 나머지는 하이퍼 연산을 표현하기 위해 윗첨자로 사용한다.
계산할 때 고차 연산에 높은 우선도를 부여해서 불필요한 괄호를 피할 수 있다; 따라서,
1단계 표현은 b [1] X의 형태를 하고, X 도 이 형태이다.
2단계 표현은 b [2] X [1] Y의 형태를 하고, X ,Y 도 이 형태이다.
3단계 표현은 b [3] X [2] Y [1] Z의 형태를 하고, X ,Y ,Z 도 이 형태이다.
4단계 표현은 b [4] X [3] Y [2] Z [1] W의 형태를 하고, X ,Y ,Z ,W 도 이 형태이다.
그리고 계속된다.
밑이 b 인 hereditary 표현의 종류에서, 밑 자신이 {0, 1, ..., b -1}의 "자릿수"처럼 표현에서 나타난다는 점을 주목하라. 이 표현은 문자가 밑을 b 로 표시했을 때 일반적인 이진법과 비교된다. 예를 들어, 일반적인 이진법에서는 6 = (110)2 = 2 [3] 2 [2] 1 [1] 2 [3] 1 [2] 1 [1] 2 [3] 0 [2] 0이고 밑이 2인 3단계 hereditary 표현은 6 = 2 [3] (2 [3] 1 [2] 1 [1] 0) [2] 1 [1] (2 [3] 1 [2] 1 [1] 0)이다. hereditary 표현은 [1] 0, [2] 1, [3] 1, [4] 1, 등등의 요소를 제거해서 간략하게 만들 수 있다. 예를 들어, 위의 밑이 2인 6의 3단계 표현은 2 [3] 2 [1] 2로 간단히 할 수 있다.
예:266 의 밑이 2인 유일한 1, 2, 3, 4, 그리고 5단계 표현은 다음과 같다:
1단계: 266 = 2 [1] 2 [1] 2 [1] ... [1] 2 (2가 133개) 2단계: 266 = 2 [2] (2 [2] (2 [2] (2 [2] 2 [2] 2 [2] 2 [2] 2 [1] 1)) [1] 1) 3단계: 266 = 2 [3] 2 [3] (2 [1] 1) [1] 2 [3] (2 [1] 1) [1] 2 4단계: 266 = 2 [4] (2 [1] 1) [3] 2 [1] 2 [4] 2 [2] 2 [1] 2 5단계: 266 = 2 [5] 2 [4] 2 [1] 2 [5] 2 [2] 2 [1] 2 그레이엄 수 표기 커누스 윗화살표는 그레이엄 수 G64 (4)를 표기할 때 사용되고 있다. 그레이엄 수는 이름이 붙은 자연수 중에서 수학적 의미를 갖고 있는 가장 큰 수이다.
G 64 ( 4 ) = 3 ↑ . . . ↑ 3 {\displaystyle G^{64}(4)=3\uparrow ...\uparrow 3} (여기서 윗화살표의 개수는 G63 (4)개이다.)
같이 보기 각주 외부 링크