정의 벡터 공간 V {\displaystyle V} 와 그 쌍대 공간 V ∗ {\displaystyle V^{*}} 에 대하여 음이 아닌 정수 m , n 마다 (m, n) 형의 텐서는 벡터 공간
T n m ( V ) = V ⊗ ⋯ ⊗ V ⏟ m ⊗ V ∗ ⊗ ⋯ ⊗ V ∗ ⏟ n {\displaystyle T_{n}^{m}(V)=\underbrace {V\otimes \dots \otimes V} _{m}\otimes \underbrace {V^{*}\otimes \dots \otimes V^{*}} _{n}} 의 원소로 정의된다. 여기에서 텐서곱 ⊗ {\displaystyle \otimes } 은 외적 의 일반화로 생각하여 대략
[ a 1 , 1 a 1 , 2 a 2 , 1 a 2 , 2 ] ⊗ [ b 1 , 1 b 1 , 2 b 2 , 1 b 2 , 2 ] = [ a 1 , 1 [ b 1 , 1 b 1 , 2 b 2 , 1 b 2 , 2 ] a 1 , 2 [ b 1 , 1 b 1 , 2 b 2 , 1 b 2 , 2 ] a 2 , 1 [ b 1 , 1 b 1 , 2 b 2 , 1 b 2 , 2 ] a 2 , 2 [ b 1 , 1 b 1 , 2 b 2 , 1 b 2 , 2 ] ] = [ a 1 , 1 b 1 , 1 a 1 , 1 b 1 , 2 a 1 , 2 b 1 , 1 a 1 , 2 b 1 , 2 a 1 , 1 b 2 , 1 a 1 , 1 b 2 , 2 a 1 , 2 b 2 , 1 a 1 , 2 b 2 , 2 a 2 , 1 b 1 , 1 a 2 , 1 b 1 , 2 a 2 , 2 b 1 , 1 a 2 , 2 b 1 , 2 a 2 , 1 b 2 , 1 a 2 , 1 b 2 , 2 a 2 , 2 b 2 , 1 a 2 , 2 b 2 , 2 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}a_{1,1}&a_{1,2}\\a_{2,1}&a_{2,2}\\\end{bmatrix}}\otimes {\begin{bmatrix}b_{1,1}&b_{1,2}\\b_{2,1}&b_{2,2}\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}a_{1,1}{\begin{bmatrix}b_{1,1}&b_{1,2}\\b_{2,1}&b_{2,2}\\\end{bmatrix}}&a_{1,2}{\begin{bmatrix}b_{1,1}&b_{1,2}\\b_{2,1}&b_{2,2}\\\end{bmatrix}}\\&\\a_{2,1}{\begin{bmatrix}b_{1,1}&b_{1,2}\\b_{2,1}&b_{2,2}\\\end{bmatrix}}&a_{2,2}{\begin{bmatrix}b_{1,1}&b_{1,2}\\b_{2,1}&b_{2,2}\\\end{bmatrix}}\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}a_{1,1}b_{1,1}&a_{1,1}b_{1,2}&a_{1,2}b_{1,1}&a_{1,2}b_{1,2}\\a_{1,1}b_{2,1}&a_{1,1}b_{2,2}&a_{1,2}b_{2,1}&a_{1,2}b_{2,2}\\a_{2,1}b_{1,1}&a_{2,1}b_{1,2}&a_{2,2}b_{1,1}&a_{2,2}b_{1,2}\\a_{2,1}b_{2,1}&a_{2,1}b_{2,2}&a_{2,2}b_{2,1}&a_{2,2}b_{2,2}\\\end{bmatrix}}} A i j ⊗ B k l = T i j k l {\displaystyle A_{ij}\otimes B_{kl}=T_{ijkl}} 와 같은 연산이다.
주의 하나의 벡터 공간이 주어지면 그 쌍대 벡터 공간과 텐서곱 연산이 유일하게 정의된다. (0, 0) 형의 텐서인 스칼라를 포함하여, 텐서곱을 반복하여 얻을 수 있는 벡터 공간들의 벡터를 단순히 텐서라고 한다. 따라서 모든 텐서는 어떤 벡터 공간의 스칼라 혹은 벡터이다.
텐서곱의 유일성 변환 법칙 유사텐서인 3차원 레비치비타 기호 를 다차원 배열로 나타낸 모습. 이는 (0, 3) 형의 치환 텐서 로 대체할 수 있고, 이를 통해 벡터곱 도 (1, 2) 형의 텐서처럼 다룰 수 있다. 아인슈타인 표기법 을 사용하면 (m, n) 형의 텐서는 기저 f = (e 1 , ..., e k ) 를 선택하여 m+n 차원 배열
T j 1 … j n i 1 … i m [ f ] {\displaystyle T_{j_{1}\dots j_{n}}^{i_{1}\dots i_{m}}[\mathbf {f} ]} 와 같이 나타낼 수 있다. 다른 기저 f ⋅ R = ( e i R 1 i , … , e i R k i ) {\displaystyle \mathbf {f} \cdot R=\left(\mathbf {e} _{i}R_{1}^{i},\dots ,\mathbf {e} _{i}R_{k}^{i}\right)} 를 선택하면 기저 f 에 의존하지 않는 변환 법칙
T j 1 ′ … j n ′ i 1 ′ … i m ′ [ f ⋅ R ] = ( R − 1 ) i 1 i 1 ′ ⋯ ( R − 1 ) i m i m ′ {\displaystyle T_{j'_{1}\dots j'_{n}}^{i'_{1}\dots i'_{m}}[\mathbf {f} \cdot R]=\left(R^{-1}\right)_{i_{1}}^{i'_{1}}\cdots \left(R^{-1}\right)_{i_{m}}^{i'_{m}}} T j 1 , … , j n i 1 , … , i m [ f ] {\displaystyle T_{j_{1},\ldots ,j_{n}}^{i_{1},\ldots ,i_{m}}[\mathbf {f} ]} R j 1 ′ j 1 ⋯ R j n ′ j n . {\displaystyle R_{j'_{1}}^{j_{1}}\cdots R_{j'_{n}}^{j_{n}}.} 을 적용할 수 있다. 여기에서 m 을 이 텐서의 반변 계수(contravariant rank), n 을 공변 계수(covariant rank)라 하며 m+n 을 총 계수(total rank)라 한다.
주의 기저의 선택에 의존하는 행렬 , 위치벡터 , 유사텐서 등은 텐서의 표현 방식이며, 기저의 선택이 없으면 텐서가 아니다. 마찬가지로 위치벡터 또한 기저의 선택이 없으면 벡터가 아니기 때문에, 모든 벡터 공간의 스칼라 혹은 벡터가 어떤 텐서라는 사실은 변하지 않는다.
예 하나의 벡터 공간에서 얻을 수 있는 벡터 공간들의 원소를 아래와 같이 분류할 수 있다. 물리학 과 공학 등에서는 각 점마다 텐서가 하나씩 붙어 있는 공간, 즉 텐서장을 텐서라고 부르기도 한다.
각주