В деякому базисі тензор представляється у вигляді багатовимірної таблиці (число співмножників збігається з валентністю тензора), заповненої числами (компонентами тензора). При заміні базису компоненти тензора змінюються певним чином, при цьому сам тензор не залежить від вибору базису.
Додавання тензорів однакової валентності та складу індексів — виконується покомпонентно;
Множення тензорів — добутком тензора рангу (m,n) на тензор рангу (m',n') є тензор рангу (m+m',n+n'), тобто якщо і , то їх добуток
Тензор як мультилінійна функція
Про тензор рангу (0, n) зручно думати як про функцію з , яка лінійна по кожному аргументу (такі функції називаються полілінійними), тобто
Також можна думати і про довільний тензор рангу (n, m), але в цьому випадку треба розглядати функцію
де
Компоненти тензора
Компонентами (координатами) тензора в базисі віднесення є числа
де є базис в просторі , дуальний базису (тобто , де є символ Кронекера).
Індекси, що відносяться до просторів , зображають верхніми індексами і називають контраваріантними, а індекси, що відносяться до просторів , відповідно зображають знизу і називають коваріантними.
Симетрії
В різного роду застосуваннях часто виникають тензори з певною властивістю симетрії.
Симетричним за двома ко-(контра-)варіантними індексами називається тензор, який задовольняє такій вимозі:
Симетрія або антисиметрія не обов'язково повинна охоплювати тільки сусідні індекси, вона може включати й індекси з різних місць тензора. Головною умовою є те, що симетрія або антисиметрія може стосуватися тільки індексів одного сорту: ко- або контраваріантних. Симетрії між ко- і контраваріантними індексами тензорів не мають сенсу, оскільки, навіть якщо вони спостерігаються в компонентах, то руйнуються при переході до іншого базису віднесення.
Ці визначення природним чином узагальнюються на випадок більше ніж двох індексів. При цьому за будь-якої перестановки індексів, за якими тензор є симетричним, його дія не змінюється, а при антисиметрії за індексами знак дії тензора змінюється на протилежний для непарних перестановок (що одержуються з початкового розташування індексів непарним числом транспозицій — перестановок двох індексів) і зберігається для парних.