പ്രദിശം

ഒരു സദിശ(vector)ത്തിന്റെ n-വിമീയ സ്പേസിലുള്ള പൊതുരൂപമാണ് പ്രദിശം. നാം സാധാരണ ഉപയോഗിക്കുന്ന അദിശങ്ങൾ (scalars) പൂജ്യം ക്രമവും (പൂജ്യം റാങ്കും) സദിശങ്ങൾ (vector) ഒന്നാം ക്രമവും (ഒന്നാം റാങ്കും) ഉള്ള ടെൻസറുകളാണ്.ടെൻസറുകളെക്കുറിച്ചു മനസ്സിലാക്കാൻ ചില പ്രത്യേക സങ്കേതങ്ങളും ചിഹ്നനസമ്പ്രദായവും ആവശ്യമായിവരുന്നു.

Summation conventionസങ്കലന സമ്പ്രദായത്തിന്റെ ഒരു ചുരുക്കെഴുത്താണ് ഐൻസ്റ്റൈൻ ആവിഷ്ക്കരിച്ച ഈ രീതി.a1x1 + ...... + anxn അതായത് \sum_{i=1}^n a_i x_iഎന്ന വ്യംജകം (expression) എടുക്കുക. ടെൻസർ വിശ്ലേഷണത്തില് ‍x1,X2,....,x2എന്നീ ചരങ്ങളുടെ കീഴ്ക്കുറി (subscript) മാറ്റി മേൽക്കുറി (superscript) ആയിx1,x2,....,xn എന്നെഴുതുന്നു. അതായത് \sum_{i=1}^n a_i x_i എന്ന വ്യംജകത്തെ \sum_{i=1}^n a_i x^iഎന്നെഴുതുന്നു. ഇതിനെ വീണ്ടും ചുരുക്കി aixi എന്നെഴുതാം. ഇതിൽ ശ സൂചിപ്പിക്കുന്ന വിലകൾ 1, 2, 3,......., nഇവയാണ്. അതുകൊണ്ട് a1x1 + a2x2 + ..... + anxn = aixi വലതുവശത്തുള്ള അങ്കനസമ്പ്രദായത്തെ സങ്കലന സങ്കേതമെന്നു പറയുന്നു. ഉദാഹരണത്തിന്, n ചരങ്ങൾ x1,x2,....,xnഇവയുടെ ഫലനം f ആയിരിക്കട്ടെ. അതായത് f = f(x1,x2,..........,xn)

i,j എന്ന രണ്ടു സൂചകങ്ങളുള്ളതും i യും j യും തുല്യമായിരിക്കുമ്പോൾ മൂല്യം ഒന്നും, i യും j യും വ്യത്യസ്തമായിരിക്കുമ്പോൾ മൂല്യം പൂജ്യവും ആയ രാശിയെ (quantity) ക്രോനെക്കർ ഡെൽറ്റ എന്നു വിളിക്കുന്നു. ഇതിനെ കുറിക്കാൻ \partial^i_j എന്ന പ്രതീകമാണ് ഉപയോഗിക്കുന്നത്. ഭൗതികശാസ്ത്രനിയമങ്ങളെ സൗകര്യപൂർവം ഗണിതത്തിന്റെ ഭാഷയിൽ ആവിഷ്ക്കരിക്കുന്നതിന് ഒരു നിർദ്ദേശാങ്ക വ്യൂഹം (co-ordinate system) ആവശ്യമാണ്. ഒരു പ്രത്യേക നിർദ്ദേശാങ്കവ്യൂഹത്തെ അവലംബിച്ചല്ല ഭൗതിക നിയമങ്ങളുടെ സാധുത നിലനിൽക്കുന്നത്. അതുകൊണ്ട് ഭൗതിക നിയമങ്ങൾ നിർദ്ദേശാങ്ക രൂപാന്തരണത്തിൽ (transformation of co-ordinate) നിശ്ചര (invariant) മായിരിക്കും. നിർദ്ദേശാങ്ക രൂപാന്തരണത്തിന് ടെൻസർ വിശ്ലേഷണത്തിൽ അടിസ്ഥാനപരമായ പ്രാധാന്യമുണ്ട്.