Geometrija
Geometrija (gr. Γῆ, Gē – Žemė; μέτρεω, metreō – matuoju) – matematikos dalis, tirianti erdvinius ryšius. Dėl praktinio panaudojimo, geometrija buvo viena pirmųjų matematikos šakų.
Intuityviai ar iš patirties žmonės apibūdina erdvę tam tikromis bazinėmis savybėmis, vadinamomis aksiomomis. Aksiomos ne įrodomos, bet naudojamos kartu su matematiniais taško, tiesės, kreivės, plokštumos ir paviršiaus apibrėžimais loginėms išvadoms gauti.
Pirmasis geometrijos aksiomatiką apibrėžė graikų matematikas Euklidas. Praėjus tūkstantmečiui, atsirado analizinė geometrija, kur įvesta koordinačių sistema, o taškai vaizduojami kaip skaičių pora ar trejetas. Galimos ir kitos geometrijos aksiomatikos, kuriose pradinės figūros gali būti nebūtinai taškas ir tiesę, o, pvz., vektorius.[1]
Geometrija yra taikoma daugelyje sričių, pvz., mene, architektūroje, fizikoje ir kitose matematikos srityse.[2]
Istorija
Maždaug 3000 m. pr. m. e. senovės Egipto ir Babilono civilizacijos buvo vienos iš pirmųjų kultūrų, kurios plėtojo elementariąją geometriją ir naudojo ją praktiškai, pvz., matavo žemės sklypus (ilgius, plotus), indų tūrius ir kt. Kai kurie iš naudotų principų buvo stebėtinai sudėtingi ir juos yra sunku išvesti neįtraukiant matematinės analizės elementų. Yra žinoma, jog tiek egiptiečiai, tiek babiloniečiai žinojo Pitagoro teoremą maždaug 1500 metais anksčiau nei pats Pitagoras. Taip pat neseniai buvo sužinota, kad babiloniečiai galbūt atrado astronominę geometriją 1400 metais anksčiau negu europiečiai.[3]
Egiptiečiai galėjo teisingai apskaičiuoti nupjautos piramidės, turinčios kvadratinį pagrindą tūrį, o babiloniečiai jau turėjo trigonometrines lenteles ir buvo išvedę formulę, skirtą stačiosios trapecijos plotui apskaičiuoti.[4]
Geometrijos, kaip formalios matematikos mokslo šakos užuomazgos atsirado Antikoje, Talio iš Mileto laikais (VI a. pr. m. e.). III a. pr. m. e. Euklidas savo veikale „Pradmenys“ apibendrino geometriją aksiomatiniu metodu, kuri šiandien yra vadinama Euklidinė geometrija.
XVII a. pradžioje buvo pradėta plėtoti viena iš svarbiausių geometrijos šakų – analizinė geometrija, kurios pradininkais laikomi Renė Dekartas ir Pjeras Ferma. Šioje analizinėje geometrijoje buvo įvesta stačiakampė koordinačių sistema, kurią naudojant geometrinius objektus buvo galima apibūdinti naudojant skaičius ir lygtis.
Euklido laikais nebuvo aiškaus skirtumo tarp fizinių ir geometrinių erdvių. Kai 1826 m. Nikolajus Lobačevskis sukūrė hiperbolinę geometriją, kuri skiriasi nuo Euklido geometrijos lygiagretumo postulatu, erdvės samprata radikaliai pasikeitė ir iškilo klausimas, kuri geometrinė erdvė geriausiai reprezentuoja fizinę erdvę. Pamažu atsirado daugiau skirtingų neeuklidinių geometrijų. Šios geometrijos buvo patogios pavyzdžiui aprašant erdvę pagal bendrąją reliatyvumo teoriją.
XIX amžiaus viduryje buvo pradėtos tyrinėti daugiamatės erdvės ir šis pagrindinio geometrijos objekto – erdvės apibendrinimas leido ją sėkmingai panaudoti ne tik matematiniuose moksluose, bet ir fizikoje, mechanikoje ir kitur.
Pagrindinės geometrijos sąvokos
Pagrindinės geometrijos sąvokos yra taškas, tiesė ir plokštuma.
- Taškas – tai bedimensis objektas (neturi nei ilgio, nei pločio). Taškai yra žymimi didžiosiomis abėcėlės raidėmis (A, B, C).
- Tiesė – tai linija, kuri yra begalinė ilgio ir plonumo atžvilgiu. Linijos yra žymimos mažosiomis abėcėlės raidėmis (a, b, c).
- Plokštuma – tai begalinis lygus paviršius. Plokštuma yra nusakoma trimis taškais, pvz., ABC.
Aksioma
Euklidas savo garsiausiame veikale „Pradmenys“ laikėsi abstraktaus požiūrio į geometriją.[5][6] Euklidas pristatė tam tikras aksiomas (postulatus), išreiškiančias pirmines arba savaime suprantamas taškų, tiesių ir plokštumų savybes.[7] Toks Euklido griežtas matematinis racionalumas dar vadinamas aksiomatine arba sintetine geometrija.[8] XIX a. pradžioje neeuklidinių geometrijų atradimas paskatino atgaivinti susidomėjimą šia geometrijos sritimi, o XX a. Davidas Hilbertas (1862–1943) panaudojo aksiomatinį racionalumą siekdamas sukurti šiuolaikinės geometrijos pagrindus.[9]
Taškas
Taškas yra laikomas pagrindine Euklidinės geometrijos sąvoka. Pagal Euklidą, taškas yra „tai, kas neturi dalių“.[10] Daugelyje geometrijos sričių, pavyzdžiui, analizinėje geometrijoje, diferencialinėje geometrijoje ir topologijoje, visi objektai laikomi sukonstruotais iš taškų.
Taikymas
Menas
Matematika ir menas yra susiję įvairiais būdais. Pavyzdžiui, perspektyvos teorija atskleidė, kad geometrija yra daugiau negu tik metrinės figūrų savybės, perspektyva yra kilusi iš projekcinės geometrijos.[11]
Menininkai projektuodami jau seniai naudojo proporcijos idėjas. Vitruvijus sukūrė sudėtingą žmogaus figūros proporcijų teoriją.[12] Šias sąvokas vartojo ir pritaikė menininkai nuo Mikelandželo iki šiuolaikinių komiksų kūrėjų.[13]
Polis Cezanas iškėlė teoriją, kad visi paveikslai gali būti sukurti iš sferos, kūgio ir cilindro. Tai tebenaudojama meno teorijoje ir šiandien, nors tikslus formų sąrašas yra skirtingas kiekvienam autoriui.[14][15]