Variansanalyse

Det enkleste tilfellet for variansanalyse er tilfellet der man har ${\displaystyle I}$ grupper med like størrelser ${\displaystyle J}$ , og ønsker å sammenligne gjennomsnittene til gruppene. Den brukes gjerne der man ønsker å sammenligne forskjeller i respons på forskjellige behandlinger (treatments) i forskjellige grupper.

Hypotesen man tester er for et antall populasjoner^[1] ${\displaystyle I}$

1. ${\displaystyle H_{0}:\ \mu _{1}=\mu _{2}=\dots =\mu _{I}}$
2. ${\displaystyle H_{A}:}$ minst to av gruppene er forskjellige.

Forutsetningene for testen er at alle observasjonene er uavhengige normalfordelte tilfeldige variable med lik varians.

Kvadratavvik og varians

De fundamentale størrelsene i variansanalysen er kvadratavvik totalt (SST), kvadratavvik mellom individ og gruppe (SSE) og kvadratavvik mellom gruppe og totalt gjennomsnitt (SSTr). Disse er definert ved^[2]
${\displaystyle SST=\sum _{i}\sum _{j}(x_{ij}-{\overline {x}}_{..})^{2}=\sum _{i}\sum _{j}x_{ij}^{2}-{\frac {x_{..}^{2}}{IJ}}}$
${\displaystyle SSTr=\sum _{i}\sum _{j}({\overline {x}}_{i.}-{\overline {x}}_{..})^{2}={\frac {\sum _{i}X_{i.}^{2}}{J}}-{\frac {x_{..}^{2}}{IJ}}}$
${\displaystyle SSE=\sum _{i}\sum _{j}(x_{ij}-{\overline {x}}_{i.})^{2}}$

Sammenhengen mellom disse gir opphav til den fundamentale ANOVA-identiteten SST = SSTr + SSE.^[3] Videre har vi at^[4]
${\displaystyle MSTr={\frac {SSTr}{I-1}}}$
${\displaystyle MSE={\frac {SSE}{I(J-1)}}}$

Dette gir opphavet til det man kaller en ANOVA-tabell:^[5]

Test av nullhypotesen

For å teste nullhypotesen, bruker man ofte en f-test. Testobservatoren er gitt ved^[4]
${\displaystyle f={\frac {MSTr}{MSE}}}$

som er tilnærmet ${\displaystyle F_{I-1,I(J-1)}}$ -fordelt. Forkastningsområdet for ${\displaystyle H_{0}}$ er ${\displaystyle f\geq F_{\alpha ,I-1,I(J-1)}}$ for ønsket signifikansnivå ${\displaystyle \alpha }$

Tukeys prosedyre

F-testen er ment for å sammenligne gjennomsnittene i flere populasjoner, men den gir ikke svar på hvilke av populasjonene som er signifikant ulike hverandre. Tukeys prosedyre bruker en Q-fordeling til å beregne hvilke intervaller gjennomsnittene i populasjonen kan ligge i for å være signifikant like hverandre. For et signifikansnivå ${\displaystyle \alpha }$ definerer vi ${\displaystyle w}$ som

${\displaystyle w=Q_{\alpha ,I,I(J-1)}{\sqrt {MSE/J}}}$

De gjennomsnittene som har større differanse enn ${\displaystyle w}$ er være signifikant ulike, med signifikansnivå ${\displaystyle \alpha }$ ^[6]

Relasjon til t-testen

For tilfellet med to populasjoner, vil variansanalyse og en alminnelig t-test gi samme resultat for hypotesen ${\displaystyle H_{0}:\ \mu _{1}=\mu _{2}}$ mot ${\displaystyle H_{A}:\ \mu _{1}\neq \mu _{2}}$ . T-testen er mer fleksibel, da man og kan teste hvorvidt et gjennomsnitt er større enn, eller mindre enn et annet.

For ${\displaystyle I>2}$ kan man i prinsippet også utføre t-tester for alle kombinasjoner av grupper, men dette vil gi større sannsynlighet for type 1-feil.^[7]

• Jay L. Devore and Kenneth N. Berk: Modern Mathematical Statistics with Applications. Thomson 2007.