Liczby dualne
Liczby dualne – wyrażenia postaci gdzie oraz ( jest nilpotentem).
Konstrukcja
Liczby dualne można ściśle zdefiniować jako zbiór par liczb rzeczywistych tj. z następującymi dwoma działaniami:
Para jest elementem neutralnym mnożenia
oraz
Jest to więc pierścień przemienny z jedynką i z dzielnikami zera[a]. Dzielniki zera mają tutaj postać bowiem
Ponieważ i
są niewspółmierne, więc analogicznie do liczb zespolonych otrzymać można następującą postać kanoniczną:
gdzie
Dla liczby dualnej niebędącej dzielnikiem zera tj. istnieje odwrotność. Jej znajdowanie trochę przypomina proces znajdowania odwrotności liczb zespolonych – ułamek rozszerza się przez liczbę sprzężoną do mianownika:
Pierścień liczb dualnych można zanurzyć izomorficznie w pierścieniu macierzy stopnia 2:
w szczególności
Różniczkowanie
Mając dany wielomian o współczynnikach rzeczywistych można rozszerzyć jego dziedzinę do liczb dualnych. Łatwo dowieść, że
gdzie
jest pochodną
Ta zależność pozwala określić elementarne funkcje przestępne na liczbach dualnych:
Zobacz też
Uwagi
Linki zewnętrzne
Double and dual numbers (ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2024-04-05].