Ação Nambu-Goto

A ação Nambu-Goto é uma ação funcional para modelos sigma^[7] com o espaço alvo uma pseudo variedade de Riemann^[8][9]${\displaystyle (X,g)(X,g)}$ :Isto é o volume induzido funcional

${\displaystyle S_{NG}:(\Sigma {\stackrel {\gamma }{\to }}X)\mapsto \int _{\Sigma }dvol(\gamma ^{*}g)\,,}$

onde ${\displaystyle dvol(\gamma ^{*}g)}$ é a forma de volume^[10][11] da retração ${\displaystyle (\gamma ^{*}g)}$ do tensor métrico a partir de ${\displaystyle X}$ para ${\displaystyle \Sigma }$ .^[12]

Assim como um zero-dimensional traça um mundo-linha em um diagrama espaço-tempo, uma corda unidimensional é representada por uma folha de universo.^[13]

Todas as folha de universo são superfícies bidimensionais, e requerem dois parâmetros para especificar um ponto na folha. Os teóricos das cordas usam os símbolos τ e σ para estes parâmetros. Como se vê, as teorias de cordas envolvem superiores espaços dimensionais que o do mundo 3D com o qual estamos familiarizados; teoria das cordas bosônicas requer 25 dimensões espaciais e um eixo de tempo. Se d é o número de dimensões espaciais, podemos representar um ponto pela vector

${\displaystyle x=(x^{0},x^{1},x^{2},\ldots ,x^{d}).}$

Descrevemos uma corda usando funções que mapeiam uma posição no espaço paramétrico (τ, σ) para um ponto no espaço-tempo. Para cada valor de τ e σ, estas funções especificam um único vetor espaço-tempo:

${\displaystyle X(\tau ,\sigma )=(X^{0}(\tau ,\sigma ),X^{1}(\tau ,\sigma ),X^{2}(\tau ,\sigma ),\ldots ,X^{d}(\tau ,\sigma )).}$

As funções ${\displaystyle X^{\mu }(\tau ,\sigma )}$ determinam a forma que a folha de universo toma. Diferentes Lorentz observadores vão discordar sobre as coordenadas que atribuem a pontos particulares n a folha de universo, mas todos eles devem concordar com a área total que a folha de universo possui. A ação Nambu-Goto é escolhida para ser proporcional a esta área total.

Deixe ${\displaystyle g_{\ mu\ nu}}$ ser a métrica (d +1)-espaço-tempo dimensional. Então,

${\displaystyle g_{ab}=g_{\mu \nu }{\frac {\partial X^{\mu }}{\partial \sigma ^{a}}}{\frac {\partial X^{\nu }}{\partial \sigma ^{b}}}\ }$

é a métrica induzida ^{[nota 2]} na a folha de universo da corda.

A área ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ d a folha de universo é dada por:

${\displaystyle \mathrm {d} {\mathcal {A}}=\mathrm {d} ^{2}\Sigma {\sqrt {-g}}}$

onde ${\displaystyle \mathrm {d} ^{2}\Sigma =\mathrm {d} \sigma \,\mathrm {d} \tau }$ e ${\displaystyle g=\mathrm {det} \left(g_{ab}\right)\ }$

Usando a notação que:

${\displaystyle {\dot {X}}={\frac {\partial X}{\partial \tau }}}$

e

${\displaystyle X'={\frac {\partial X}{\partial \sigma }},}$

pode-se reescrever a métrica ${\displaystyle g_{ab}}$ :

${\displaystyle g_{ab}=\left({\begin{array}{cc}{\dot {X}}^{2}&{\dot {X}}\cdot X'\\X'\cdot {\dot {X}}&X'^{2}\end{array}}\right)\ }$

${\displaystyle g={\dot {X}}^{2}X'^{2}-({\dot {X}}\cdot X')^{2}}$

a ação Nambu-Goto é definida como,

${\displaystyle {\mathcal {S}}\ }$

${\displaystyle =-{\frac {T_{0}}{c}}\int d{\mathcal {A}}}$

${\displaystyle =-{\frac {T_{0}}{c}}\int \mathrm {d} ^{2}\Sigma {\sqrt {-g}}}$

${\displaystyle =-{\frac {T_{0}}{c}}\int \mathrm {d} ^{2}\Sigma {\sqrt {({\dot {X}}\cdot X')^{2}-({\dot {X}})^{2}(X')^{2}}}.\ }$

Os fatores antes da integral dá a ação as unidades corretas, energia multiplicada pelo tempo. T₀ é a tensão na corda, e c é a velocidade da luz. Normalmente, os teóricos das cordas trabalho em "unidades naturais", onde c é definida como 1 (juntamente com ${\displaystyle \hbar }$ constante de Planck e constante G de Newton). Também, em parte por razões históricas, eles usam o "parâmetro de declive" ${\displaystyle \alpha '}$ em vez de T₀. Com estas mudanças, a ação Nambu-Goto torna-se

${\displaystyle {\mathcal {S}}=-{\frac {1}{2\pi \alpha '}}\int \mathrm {d} ^{2}\Sigma {\sqrt {({\dot {X}}\cdot X')^{2}-({\dot {X}})^{2}(X')^{2}}}.}$

Estas duas formas são, naturalmente, inteiramente equivalentes: escolher uma sobre a outra é uma questão de convenção e conveniência.

Duas outras formas equivalentes são

${\displaystyle {\mathcal {S}}=-{\frac {1}{2\pi \alpha '}}\int \mathrm {d} ^{2}\Sigma {\sqrt {{\dot {X}}^{2}-{X'}^{2}}},}$

e

${\displaystyle {\mathcal {S}}=-{\frac {1}{4\pi \alpha '}}\int \mathrm {d} ^{2}\Sigma ({\dot {X}}^{2}-{X'}^{2}).}$

Normalmente, a ação Nambu-Goto não descreve a correta física quântica da corda. Para isso, deve ser modificada de uma forma semelhante como a ação de uma partícula ponto. Ela é classicamente igual a menos massa vezes o comprimento invariante no espaço-tempo, mas deve ser substituído por uma expressão quadrática com o mesmo valor clássica. Só então que a física quântica correta é obtida.^[14]Para cordas, a correção analógico é fornecida pela ação Polyakov, que é classicamente equivalente à ação Nambu-Goto, mas dá a teoria quântica correta. É, no entanto, possível desenvolver uma teoria quântica da ação Nambu-Goto no Medidor de cone-de-luz.