Monoide

Um monoide pode ser definido de três maneiras completamente equivalentes. Sendo ${\displaystyle *}$ uma operação qualquer:

1. é um conjunto G dotado de uma operação binária para a qual valem as seguintes propriedades:
   1. fechamento: dado ${\displaystyle a,b\in G}$ o elemento resultante da composição de ${\displaystyle a}$ e ${\displaystyle b}$ pertence a ${\displaystyle G}$ (${\displaystyle a*b\in G}$ );
   2. associatividade: para todos ${\displaystyle a,b,c\in G}$ vale ${\displaystyle \left(a*b\right)*c=a*\left(b*c\right)=a*b*c}$ ;
   3. existência do elemento neutro: existe um único ${\displaystyle e}$ tal que para todo ${\displaystyle a\in G}$ vale ${\displaystyle \left(a*e\right)=a=\left(e*a\right)}$ .
2. é um magma dotado das propriedades:
   1. associativa (associatividade) para todos ${\displaystyle a,b,c\in G}$ vale ${\displaystyle \left(a*b\right)*c=a*\left(b*c\right)=a*b*c}$ ;
   2. existência de um elemento neutro ${\displaystyle e}$ tal que existe um único ${\displaystyle e}$ tal que para todo ${\displaystyle a\in G}$ vale ${\displaystyle \left(a*e\right)=a=\left(e*a\right)}$ .
3. é um semi-grupo dotado da existência de um elemento neutro ${\displaystyle e}$ : existe um único ${\displaystyle e}$ tal que para todo ${\displaystyle a\in G}$ vale ${\displaystyle \left(a*e\right)=a=\left(e*a\right)}$ .

Um monoide para o qual todo elemento possui elemento inverso é um grupo.

Um monoide é puro quando o único elemento que possui inverso é a identidade.^[2]

• Em um monoide, se um elemento tem um inverso, então o inverso é único.^[2]
• O conjunto dos elementos inversíveis de um monoide M, Inv M, é um grupo.^[2]

• Álgebra de Kleene
• Problema da altura da estrela

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