Número hiper-real

Os números hiper-reais foram introduzidos para dar rigor matemático a uma abordagem intuitiva do cálculo infinitesimal.^{[carece de fontes?]}

Pelo cálculo infinitesimal, a velocidade de uma partícula movendo-se de acordo com uma equação da forma, por exemplo, ${\displaystyle y=t^{2}\,}$ pode ser calculada através da razão ${\displaystyle \Delta y/\Delta t\,}$ para um valor de ${\displaystyle \Delta t\,}$ que seja muito pequeno, porém maior que zero. O resultado desta conta é ${\displaystyle v={\frac {\Delta y}{\Delta t}}=2t_{0}+\Delta t\,}$ , que difere do resultado esperado ${\displaystyle 2t_{0}\,}$ pela quantidade pequena, porém não nula, ${\displaystyle \Delta t\,}$ . Se esta quantidade for desprezada, chega-se ao resultado desejado.^[2]

O problema com este raciocínio é que não é claro o que pode ser desprezado. Então, introduze-se um novo tipo de número, chamado de infinitesimal, ${\displaystyle \epsilon \,}$ que satisfaz ${\displaystyle -a<\epsilon <a\,}$ para todo número real a > 0. O único número real que é infinitesimal é o zero,^{[Nota 1]} O sistema de números que inclui os números reais e os infinitesimais é chamado de conjunto dos números hiper-reais.^[3]

Dois números reais a e b estão infinitamente próximos quando sua diferença a - b for um infinitesimal. Se ${\displaystyle \epsilon >0\,}$ for um número infinitesimal, então seu inverso ${\displaystyle 1/\epsilon \,}$ é um número infinito positivo, e ${\displaystyle -1/\epsilon \,}$ infinito negativo. Os números hiper-reais que não são infinitos são chamados de números finitos.^[3] Os números hiper-reais podem ser manipulados algebricamente da mesma forma que os números reais.^[4]

A definição da derivada^{[Nota 2]} pode então ser dada como sendo o número real que está infinitamente próximo de ${\displaystyle {\frac {\Delta y}{\Delta x}}\,}$ ^[4]

Por exemplo, para ${\displaystyle y=x^{2}\,}$ , o resultado é ${\displaystyle 2x_{0}+\Delta x\,}$ , e, como ${\displaystyle \Delta x\,}$ é um infinitesimal, o (único) número real que está infinitamente próximo de ${\displaystyle 2x_{0}+\Delta x\,}$ é ${\displaystyle 2x_{0}\,}$ ^[4]

Os números hiper-reais satisfazem o princípio da transferência, uma versão rigorosa da lei da continuidade heurística de Leibniz. O princípio da transferência afirma que as verdadeiras declarações de primeira ordem sobre R também são válidas no *R. Por exemplo, a lei comutativa da adição, x + y = y + x, vale do mesmo modo para os hiper-reais e para os reais; desde que R seja um campo real fechado, então é *R. Desde que ${\displaystyle \sin {\pi n}=0}$ para todos os inteiros n, há também um ${\displaystyle \sin {\pi H}=0}$ para todos hiper-inteiros H. O princípio da transferência para ultrapotências é uma consequência do Teorema de Łoś' de 1955.

Preocupações sobre a correção de argumentos envolvendo números infinitesimais remonta a antiga matemática Grega, com Arquimedes trocando essas provas com as que usavam outras técnicas como o método da exaustão.^[5] Nos anos de 1960, Abraham Robinson provou que hiper-reais eram logicamente consistentes se e somente se os reais fossem. Isso amenizou o medo de que qualquer prova envolvendo infinitesimais pudesse ser defeituosa, fornecendo que elas eram manipuladas de acordo com as regras de lógica as quais Robinson delineou.

A aplicação dos números hiper-reais e, em particular, o princípio da transferência para problemas de análises matemáticas são chamados de análises não padronizadas. Uma aplicação imediata é a definição dos conceitos básicos de análises como derivação e integração de forma direta, sem passar por complicações lógicas de múltiplos quantificadores. Portanto, a derivada def(x) se torna ${\displaystyle f'(x)={\rm {st}}\left({\frac {f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}}\right)}$ para um infinitesimal ${\displaystyle \Delta x}$ , onde st(·) denota um função padrão, que associa a todo hiper-real finito um único real infinitamente perto dele. Similarmente, a integral é definida como parte padrão da soma infinita adequada.

• Número surreal

Notas

Referências

• Ball, W.W. Rouse (1960), A Short Account of the History of Mathematics, ISBN 0-486-20630-0 4th [Reprint. Original publication: London: Macmillan & Co., 1908] ed. , New York: Dover Publications, pp. 50–62 
• Hatcher, William S. (1982) "Calculus is Algebra", American Mathematical Monthly 89: 362–370.
• Hewitt, Edwin (1948) Rings of real-valued continuous functions. I. Trans. Amer. Math. Soc. 64, 45—99.
• Jerison, Meyer; Gillman, Leonard (1976), Rings of continuous functions, ISBN 978-0-387-90198-5, Berlin, New York: Springer-Verlag 
• Keisler, H. Jerome (1994) The hyperreal line. Real numbers, generalizations of the reals, and theories of continua, 207—237, Synthese Lib., 242, Kluwer Acad. Publ., Dordrecht.
• Kleinberg, Eugene M.; Henle, James M. (2003), Infinitesimal Calculus, ISBN 978-0-486-42886-4, New York: Dover Publications 

• Crowell, Calculus. A text using infinitesimals.
• Hermoso, Nonstandard Analysis and the Hyperreals. A gentle introduction.
• Keisler, Elementary Calculus: An Approach Using Infinitesimals. Includes an axiomatic treatment of the hyperreals, and is freely available under a Creative Commons license
• Stroyan, A Brief Introduction to Infinitesimal Calculus

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