Problema do isomorfismo de subgrafos
Em teoria da complexidade, o problema do isomorfismo de subgrafos é um problema de decisão que se sabe ser NP-completo.
Definição
Isomofismo de Subgrafos
Entrada: Dois grafos e .
Pergunta: é isomórfico (há um isomorfismo de grafos) a um subgrafo de ?
Ou, informalmente: tome dois grafos não dirigidos e e verifique se é subgrafo de (a menos de um isomorfismo) ou não. Em outras palavras, o problema verifica se há ou não uma função que mapeie os vértices de nos vértices de de forma tal que haja uma aresta em exatamente quando está em .
Algumas vezes o nome casamento de subgrafos é usado para o mesmo problema. Este nome dá ênfase à busca de um tal subgrafo, em contraste ao mero problema de decisão.
Classe de Complexidade
A demonstração de que o problema do isomorfismo de subgrafos é NP-completo é simples e baseada na redução ao problema do clique (que se sabe ser NP-completo), mostrando que CLIQUE p isomorfismo de subgrafos. Se o isomorfismo de subgrafos fosse polinomial, poder-se-ia usá-lo para resolver o problema do clique em tempo polinomial. Tome n como o número de arestas em : poder-se-ia então rodar o isomorfismo de subgrafos vezes (com sendo um clique de tamanho 3 até , e sendo ) para encontrar o maior clique em .
O isomorfismo de subgrafos é uma generalização do problema potencialmente mais fácil do isomorfismo de grafos; se o problema do isomorfismo de grafos fosse NP-completo, a hierarquia polinomial colapsaria, então suspeita-se que ele não o seja.
Áreas de aplicação
Na área de quimioinformática freqüentemente o termo pesquisa de subestruturas é usado. Tipicamente uma estrutura de consulta é definida como SMARTS, uma extensão de SMILES.
É também de grande importância para gramáticas de grafos.
Referências
- J. R. Ullmann: "An Algorithm for Subgraph Isomorphism". Journal of the ACM, 23(1):31–42, 1976.
- Michael R. Garey and David S. Johnson (1979). Computers and Intractability: A Guide to the Theory of NP-Completeness. [S.l.]: W.H. Freeman. ISBN 0-7167-1045-5 A1.4: GT48, pg.202.