Задача поиска изоморфного подграфа

Для доказательства, что задача поиска изоморфного подграфа NP-полна, её нужно сформулировать как задачу разрешимости. Входом задачи разрешимости служит пара графов G и H. Ответ задачи положителен, если H изоморфен некоторому подграфу графа G, и отрицателен в ином случае.

Формальное задание:

Пусть ${\displaystyle G=(V,E)}$ , ${\displaystyle H=(V^{\prime },E^{\prime })}$ — два графа. Существует ли подграф ${\displaystyle G_{0}=(V_{0},E_{0}):V_{0}\subseteq V,E_{0}\subseteq E\cap (V_{0}\times V_{0})}$ , такой, что ${\displaystyle G_{0}\cong H}$ ? Т.е. существует ли отображение ${\displaystyle f\colon V_{0}\rightarrow V^{\prime }}$ , такое, что ${\displaystyle (v_{1},v_{2})\in E_{0}\Leftrightarrow (f(v_{1}),f(v_{2}))\in E^{\prime }}$ ?

Доказательство NP-полноты задачи поиска изоморфного подграфа просто и основывается на сведении к этой задаче задачи о клике, NP-полной задачи разрешимости, в которой входом служит один граф G и число k, а вопрос состоит в следующем: содержит ли граф G полный подграф с k вершинами. Для сведения этой задачи к задаче поиска изоморфного подграфа, просто возьмём в качестве графа H полный граф K_k. Тогда ответ для задачи поиска изоморфного подграфа с входными графами G и H равен ответу для задачи о клике для графа G и числа k. Поскольку задача о клике NP-полна, такая полиномиальная сводимость показывает, что задача поиска изоморфного подграфа также NP-полна^[4].

Альтернативное сведение от задачи о гамильтоновом цикле отображает граф G, который проверяется на гамильтоновость, на пару графов G и H, где H — цикл, имеющий то же число вершин, что и G. Поскольку задача о гамильтоновом цикле является NP-полной даже для планарных графов, это показывает, что задача поиска изоморфного подграфа остаётся NP-полной даже для планарного случая^[5].

Задача поиска изоморфного подграфа является обобщением задачи об изоморфизме графов^[en], которая спрашивает, изоморфен ли граф G графу H — ответ для задачи об изоморфизме графов «да» тогда и только тогда, когда графы G и H имеют одно и то же число вершин и рёбер и задача поиска изоморфного подграфа для графов G и H даёт «да». Однако статус задачи изоморфизма графов с точки зрения теории сложности остаётся открытым.

Грёгер^[6] показал, что если выполнена гипотеза Аандераа — Карпа — Розенберга о сложности запроса^[en] монотонных свойств графа, то любая задача поиска изоморфного подграфа имеет сложность запроса Ω(n^3/2). То есть решение задачи поиска изоморфного подграфа требует проверки существования или отсутствия во входе Ω(n^3/2) различных рёбер графа^[7].

Ульман^[8] описал рекурсивную процедуру с возвратом для решения задачи поиска изоморфного подграфа. Хотя время работы этого алгоритма, в общем случае, экспоненционально, он работает за полиномиальное время для любого фиксированного H (то есть время работы ограничено полиномом, зависящим от выбора H). Если G является планарным графом (или, более обще, графом с ограниченным расширением^[en]), а H фиксирован, время решения задачи поиска изоморфного подграфа может быть сокращено до линейного времени^[2][3].

Ульман^[9] существенно обновил алгоритм из статьи 1976 года.

Задача поиска изоморфного подграфа была применена в области хемоинформатики для поиска похожести химических соединений по их структурным формулам. Часто в этой области используется термин подструктурный поиск^[8]. Структура запроса часто определяется графически с использованием структурного редактора. Основанные на SMILES базы данных обычно определяют запросы с использованием SMARTS^[en], расширения SMILES.

Тесно связанные задачи подсчёта числа изоморфных копий графа H в большем графе G используются для обнаружения шаблона в базах данных^[10], в биоинформатике взаимодеийствия протеин-протеин^[11] и в методах экспоненциальных случайных графов для математического моделирования социальных сетей^[12].

Ольрих, Эбелинг, Гитинг и Сатер^[13] описали приложение задачи поиска изоморфного подграфа в cистеме автоматизированного проектирования электронных схем. Задача сопоставления подграфа является также подшагом при преобразовании графа (требующего наибольшего времени выполнения), а потому предоставляется инструментальными средствами преобразования графа.

Задача также вызывает интерес в области искусственного интеллекта, где она считается частью группы задач сопоставления с образцом в графах. Также рассматривается в этой области расширение задачи поиска изоморфного графа, известное как анализ графа^[en][14].