Matrice cu toate elementele 1
În algebra liniară, o matrice cu toate elementele 1[1] este o matrice în care fiecare element are valoarea 1.[2] Exemple de astfel de matrici:
Unele surse numesc aceste matrici „matrice unitate”,[3], dar acest termen este folosit de obicei pentru matrici de alt tip.
Un vector cu toate elementele 1 este o matrice cu toate elementele 1, având o singură linie sau o singură coloană. Ei nu trebuie confundați cu versorii.
Proprietăți
O matrice J de dimensiuni n × n cu toate elementele 1 are următoarele proprietăți:
- Urma lui J este egală cu n,[4] și determinantul este 0 pentru n ≥ 2, dar 1 pentru n = 1. (Se poate lua în considerare și cazul n = 0, caz în care este vorba de o matrice vidă, al cărei determinant este 1.)
- Polinomul caracteristic(d) al J este
.
- Polinomul minimal(d) al J este
.
- Rangul matricei J este 1, iar vectorii proprii sunt n (cu multiplicitatea 1) și 0 (cu multiplicitatea n − 1).[4][5]
pentru
[6]
- J este elementul neutru pentru produsul Hadamard.[7]
Dacă J este o matrice ale cărei elemente sunt numere reale, acestea au și următoarele proprietăți:
- J este o matrice pozitivă semidefinită(d).
- Matricea
este idempotentă.[6]
- Exponențiala(d) lui J este
Aplicații
Matricea cu toate elementele 1 apare des în domeniul matematic al combinatoricii, în special prin aplicarea metodelor algebrice la teoria grafurilor. De exemplu, dacă A este matricea de adiacență a unui graf neorientat G cu n noduri, iar J este matricea cu toate elementele 1 de aceeași dimensiune, atunci G este un graf regulat dacă și numai dacă AJ = JA.[8] Un alt exemplu este că matricea apare în unele demonstrații algebrice ale formulei lui Cayley, care oferă numărul arborilor de acoperire(d) ai unui graf complet, folosind teorema lui Kirchhoff(d).
Note
Bibliografie
- en Horn, Roger A.; Johnson, Charles R. (), „0.2.8 The all-ones matrix and vector”, Matrix Analysis, Cambridge University Press, p. 8, ISBN 9780521839402
