Изоморфизм графов

В теории графов изоморфизмом графов $G=\left\langle V_{G},E_{G}\right\rangle$ и $H=\left\langle V_{H},E_{H}\right\rangle$ называется биекция между множествами вершин графов $f\colon \ V_{G}\rightarrow V_{H}$ такая, что любые две вершины $u$ и $v$ графа $G$ смежны тогда и только тогда, когда вершины $f(u)$ и $f(v)$ смежны в графе $H$ . Здесь графы понимаются неориентированными и не имеющими весов вершин и ребер. В случае, если понятие изоморфизма применяется к ориентированным или взвешенным графам, накладываются дополнительные ограничения на сохранение ориентации дуг и значений весов. Если изоморфизм графов установлен, они называются изоморфными и обозначаются как $G\simeq H$ .

Иногда биекция $f$ записывается в виде подстановки изоморфизма ${\begin{pmatrix}a_{1}&a_{2}&\dots &a_{n}\\f(a_{1})&f(a_{2})&\dots &f(a_{n})\end{pmatrix}}$ . Некоторые задачи обработки графов требуют не только проверки изоморфизма, но и выяснения его подстановки.

Отношение изоморфизма графов представляет собой отношение эквивалентности, определенное для графов, и позволяет произвести разбиение исходного класса всех графов на классы эквивалентности. Множество графов, изоморфных друг другу, называется классом изоморфизма графов^[en], их число в зависимости от $n$ представляет собой последовательность A000088 в OEIS (1, 1, 2, 4, 11, 34, 156, 1044, 12346, ...).

В случае, если биекция $f$ отображает граф сам на себя (графы $G$ и $H$ совпадают), она называется автоморфизмом графа $G$ .

Существуют также смежные задачи теории графов, такие как поиск изоморфного подграфа и поиск максимального общего изоморфного подграфа^[en], принадлежащие к классу NP-полных. В смежных разделах математики существуют схожие проблемы, например изоморфизма проективных плоскостей и изоморфизма конечных групп, которые полиномиально сводятся к проблеме изоморфизма графов (возможность обратной полиномиальной сводимости в общем случае не доказана)^[1].

Пример

Два графа, приведенные в примере, являются изоморфными.

Граф $G$	Граф $H$	Изоморфизм между графами $G$ и $H$	Подстановка изоморфизма $f$
		$f(a)=1$ $f(b)=6$ $f(c)=8$ $f(d)=3$ $f(g)=5$ $f(h)=2$ $f(i)=4$ $f(j)=7$	${\begin{pmatrix}a&b&c&d&g&h&i&j\\1&6&8&3&5&2&4&7\end{pmatrix}}$

Изоморфизм графов общего вида

Графы $G$ и $H$ являются изоморфными, если путём перестановки строк и столбцов матрицы смежности графа $G$ удается получить матрицу смежности графа $H$ . Однако перебор всех возможных перестановок характеризуется вычислительной сложностью $O(N!)$ (при условии, что сравнение матриц смежности производится за время, не зависящее от $N$ , что обычно несправедливо и дополнительно увеличивает приведенную оценку), что существенно ограничивает применение подобного подхода на практике. Существуют методы ограниченного перебора возможных пар предположительно-изоморфных вершин (аналог метода ветвей и границ), однако они незначительно улучшают приведенную выше асимптотику^[2].

Теорема Уитни

Исключение из теоремы Уитни: представленные графы

K_{3}

(слева) и

K_{1,3}

(справа) не изоморфны, однако их рёберные графы изоморфны

Теорема Уитни об изоморфизме графов ^[3]^[4], сформулированная Хасслером Уитни в 1932 году, гласит, что два связных графа изоморфны, тогда и только тогда, когда их рёберные графы изоморфны, за исключением графов $K_{3}$ (полного графа из 3 вершин) и полного двудольного графа $K_{1,3}$ , которые не являются изоморфными, однако оба имеют граф $K_{3}$ в качестве рёберного графа. Теорема Уитни может быть обобщена для гиперграфов ^[5].

Инварианты

Существует набор числовых характеристик графов, называемых инвариантами, которые совпадают у изоморфных графов (совпадение инвариантов является необходимым, но не достаточным условием наличия изоморфизма)^[6]. К ним относятся число вершин $n(G)$ и число дуг/ребер $m(G)$ графа G, упорядоченный по возрастанию или убыванию вектор степеней вершин $s(G)=(\rho (v_{1}),\rho (v_{2}),\dots ,\rho (v_{n}))$ , упорядоченный по возрастанию или убыванию вектор собственных чисел матрицы смежности графа (спектр графа), хроматическое число $\chi (G)$ и др. Факт совпадения инвариантов обычно не несет информации о подстановке изоморфизма.

Инвариант называется полным, если совпадения инвариантов графов необходимо и достаточно для установления изоморфизма. Например, каждое из значений $\mu _{min}(G)$ и $\mu _{max}(G)$ (мини- и макси-код матрицы смежности) является полным инвариантом для графа с фиксированным числом вершин $n$ .

Различные инварианты имеют различную трудоемкость вычисления. В настоящее время полный инвариант графа, вычислимый за полиномиальное время, неизвестен, однако не доказано, что он не существует. Попытки его отыскания неоднократно предпринимались в 60-х — 80-х годах XX века, однако не увенчались успехом.

Модульное произведение Визинга

Модульное произведение графов $Y=G\lozenge H$ , предложенное В. Г. Визингом, позволяет свести задачу проверки изоморфизма к задаче определения плотности графа $\varphi (Y)$ , содержащего $n(G)\cdot n(H)$ вершин. Если $\varphi (Y)=n(G)$ , $n(G)\leq n(H)$ , то граф $H$ содержит подграф, изоморфный графу $G$ .

Изоморфизм графов специального вида

Вычислительная сложность

Хотя задача распознавания изоморфизма графов принадлежит классу NP, неизвестно, является ли она NP-полной или принадлежит классу P (при условии, что P ≠ NP). При этом задача поиска изоморфного подграфа в графе является NP-полной. Современные исследования направлены на разработку быстрых алгоритмов решения как общей задачи изоморфизма произвольных графов, так и графов специального вида.

Применения

На практике необходимость проверки изоморфизма графов возникает при решении задач хемоинформатики, математической (компьютерной) химии^[7], автоматизации проектирования электронных схем (верификация различных представлений электронной схемы)^[2], оптимизации программ (выделение общих подвыражений).

См. также

Инвариант (математика)
Открытые математические проблемы
Задача поиска изоморфного подграфа
Проблема поиска максимального общего изоморфного подграфа^[en]

Ссылки

Проблема изоморфизма графов Архивная копия от 18 мая 2015 на Wayback Machine // Курс видео-лекций И. Пономаренко

Примечания

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

Search