Неравенство Пидо

Неравенство Пидо (также неравенство Пидо — Нойберга) — неравенство в геометрии, названное в честь Даниеля Пидо^[англ.] (1910—1998) и Жозефа Нойберга (1840—1926). Неравенство утверждает, что если${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$, ${\displaystyle c}$ и ${\displaystyle a'}$, ${\displaystyle b'}$, ${\displaystyle c'}$ — длины сторон треугольников ${\displaystyle ABC}$ и ${\displaystyle A'B'C'}$, a ${\displaystyle S}$ и ${\displaystyle S'}$ — их площади, тогда

${\displaystyle a^{2}(-{a'}^{2}+{b'}^{2}+{c'}^{2})+b^{2}({a'}^{2}-{b'}^{2}+{c'}^{2})+c^{2}({a'}^{2}+{b'}^{2}-{c'}^{2})\geq 16SS',}$

причём равенство достигается тогда и только тогда, когда эти треугольники подобны с парами соответствующих сторон ${\displaystyle (a,a')}$, ${\displaystyle (b,b')}$ и ${\displaystyle (c,c')}$.

Выражение слева не только симметрично для перестановок пар ${\displaystyle (a,a')}$, ${\displaystyle (b,b')}$ и ${\displaystyle (c,c')}$, но и (что, возможно, не так очевидно) остаётся неизменным, если поменять местами ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle a'}$, ${\displaystyle b}$ и ${\displaystyle b'}$, ${\displaystyle c}$ и ${\displaystyle c'}$. Другими словами, выражение слева является симметрической функцией от пары треугольников.

Частным случаем неравенства Пидо, в котором один из треугольников равносторонний, является неравенство Вайценбока^[англ.].

Пидо обнаружил это неравенство в 1941 году и опубликовал его в нескольких статьях. Позже он узнал, что неравенство было уже известно Нойбергу в XIX веке, который, однако, не доказал, что из равенства следует подобие двух треугольников.