Подера

Определения подеры и антиподеры на плоскости

Поде́ра, или (первая) позитивная подера^[18][19], или подошвенная кривая^[19] (англ. pedal; pedal curve; first positive pedal), кривой — некоторая кривая, составленная из оснований перпендикуляров, опущенных из фиксированной точки, которая называется полюсом^[6][20][8], или центром^[4], или точкой подеры^[20][21], на касательные к исходной кривой^{[3][2][4][5][6][7][21][20][8]}. Подера кривой порядка ${\displaystyle n}$ , ${\displaystyle n\geqslant 1}$ , имеет порядок ${\displaystyle \leqslant 2n(n-1)}$ ^[6].

Устаревший термин подэ́ра^[3][9][10], или подэ́рная крива́я^[9].

В некоторых математических текстах вместо русского термина «подера» используется калька с английского «педаль»^[11][12].

Антиподе́ра, или (первая) негативная подера^[22][23][19] (англ. first negative pedal), кривой относительно точки — кривая, подера которой относительно той же точки есть исходная кривая^[3][2][19]. Другими словами, антиподера — огибающая кривая перпендикуляров, проведённых через точки исходной кривой к прямым, соединяющим точки исходной кривой с фиксированной точкой — полюсом^[23].

Например, парабола есть антиподера прямой, если полюс антиподеры совпадает с фокусом параболы^[6][19], как показано на рисунке справа.

Построение антиподеры исходя из уже построенной её подеры называется построением с помощью подеры^[9].

Например, всегда получится коническое сечение, если осуществить построение с помощью подеры из окружности или прямой^[9][19].

Поде́ры степене́й вы́ше пе́рвой обеих разновидностей определяются как подеры подер предыдущей степени с одним и тем же полюсом^[23].

• Подеры кубики Чирнгауза и антиподеры секстики Кэли шести степеней
• 
  Парабола — 1-я подера кубики Чирнгауза — 6-я антиподера секстики Кэли^[англ.]
• 
  Прямая — 2-я подера кубики Чирнгауза, парабола — 5-я антиподера секстики Кэли
• 
  Точка — 3-я подера кубики Чирнгауза, прямая — 4-я антиподера секстики Кэли
• 
  Окружность — 4-я подера кубики Чирнгауза, точка — 3-я антиподера секстики Кэли
• 
  Кардиоида — 5-я подера кубики Чирнгауза, окружность — 2-я антиподера секстики Кэли
• 
  Секстика Кэли — 6-я подера кубики Чирнгауза, кардиоида — 1-я антиподера секстики Кэли

Определение подеры через инверсию и полярное преобразование

Имеет место схема преобразований кривых для подеры, инверсии и полярного преобразования кривой, показанная на рисунке справа, из которой вытекает следующее утверждение^[14]:

• подера кривой есть инверсия полярного преобразования кривой, окружности преобразования которых совпадают, а полюсы совпадают с полюсом подеры.

Другие связанные определения

Поде́рное преобразова́ние — преобразование плоскости, отображающее точки каждой кривой в соответствующие точки её подеры. Это преобразование неточечное, то есть оно не сохраняет точки, прямые и окружности^[4]. Подерное преобразование есть касательное преобразование (преобразование Ли)^[24].

Поде́рная систе́ма координа́т — система координат, основанная на подерном преобразовании и состоящие из двух величин: расстояний от полюса до точки кривой и до соответствующей точки её подеры^[25][26].

Поде́ра пове́рхности, или подерная поверхность^[27] — некоторая поверхность, составленная из оснований перпендикуляров, опущенных из постоянной точки на касательные плоскости данной поверхности^[3][27].

Подо́ида, или втори́чная ка́устика (англ. orthotomic; orthotomic curve; secondary caustic), кривой относительно данного полюса — кривая, получающаяся из подеры растяжением в два раза относительно полюса^[28][29]. Другими словами, подоида — некоторая кривая, составленная из точек, симметричных полюсу относительно касательных данной кривой^[30][29][31]. Эволюта ортотомики есть каустика^[31].

В некоторых математических текстах вместо русского термина «подоида» используется калька с английского «ортото́мика»^[11].

Например, подоида конического сечения относительно его фокуса есть^[32]:

• окружность с центром в другом фокусе эллипса или гиперболы;
• директриса параболы.

Антиподо́ида кривой относительно полюса — кривая, подоида которой относительно полюса есть исходная кривая^[33]. Другими словами, антиподоида — огибающая кривая перпендикуляров, проведённых через середины отрезков, соединяющих точки исходной кривой с полюсом^[33].

Контраподе́ра^[34][35], или норма́льная поде́ра, или норма́льная поде́рная кри́вая (англ. contrapedal; normal pedal; normal pedal curve), кривой относительно полюса — подера эволюты этой кривой относительно того же полюса. Другими словами, котраподера — некоторая кривая, составленная из оснований перпендикуляров, опущенных из полюса на нормали данной кривой^[18][34][35]. Соответственно, подера кривой относительно полюса — это контраподера эвольвенты этой кривой относительно того же полюса^[35]

Параметрические уравнения подеры

Параметрические уравнения подеры на вещественной плоскости

В общем случае, для параметрически заданной кривой ${\displaystyle \mathbf {z} (t)=(x(t),\;y(t))}$ , имеющей производную ${\displaystyle \mathbf {z} '(t)=(x'(t),\;y'(t))}$ , подера

${\displaystyle \operatorname {pedal} [\mathbf {z} ,\;\mathbf {z} _{0}](t)=\mathbf {Z} (t)=(X(t),\;Y(t))}$

относительно точки ${\displaystyle \mathbf {z} _{0}=(x_{0},\;y_{0})}$ задаётся следующими уравнениями^[36][21]:

${\displaystyle X={\frac {x_{0}x'^{2}+xy'^{2}+(y_{0}-y)x'y'}{x'^{2}+y'^{2}}}=}$

${\displaystyle =x-x'{\frac {(x-x_{0})x'+(y-y_{0})y'}{x'^{2}+y'^{2}}},}$

${\displaystyle Y={\frac {y_{0}y'^{2}+yx'^{2}+(x_{0}-x)x'y'}{x'^{2}+y'^{2}}}=}$

${\displaystyle =y-y'{\frac {(x-x_{0})x'+(y-y_{0})y'}{x'^{2}+y'^{2}}}.}$

Эти основные уравнения^[37] можно принять за определение подеры^[38].

Иногда основные уравнения записывают в более сложном виде^[38]:

${\displaystyle X={\frac {x_{0}x'^{2}+xy'^{2}+(y_{0}-y)x'y'}{x'^{2}+y'^{2}}}=}$

${\displaystyle =x_{0}+y'{\frac {(x-x_{0})y'-(y-y_{0})x'}{x'^{2}+y'^{2}}},}$

${\displaystyle Y={\frac {y_{0}y'^{2}+yx'^{2}+(x_{0}-x)x'y'}{x'^{2}+y'^{2}}}=}$

${\displaystyle =y_{0}-x'{\frac {(x-x_{0})y'-(y-y_{0})x'}{x'^{2}+y'^{2}}}.}$

В частном случае, относительно полюса ${\displaystyle \mathbf {z} _{0}=(0,\;0)}$ в начале координат, основные уравнения будут такими^[3][36]:

${\displaystyle X={\frac {(xy'-yx')y'}{x'^{2}+y'^{2}}}=x-x'{\frac {xx'+yy'}{x'^{2}+y'^{2}}}=y'{\frac {xy'-yx'}{x'^{2}+y'^{2}}},}$

${\displaystyle Y={\frac {(yx'-xy')x'}{x'^{2}+y'^{2}}}=y-y'{\frac {xx'+yy'}{x'^{2}+y'^{2}}}=x'{\frac {xy'-yx'}{x'^{2}+y'^{2}}}.}$

Параметрические уравнения подеры в двумерном векторном пространстве

В векторном виде основное уравнение будет проще^[38]:

${\displaystyle \operatorname {pedal} [\mathbf {z} ,\;\mathbf {z} _{0}](t)=\mathbf {Z} (t)=\mathbf {z} (t)-\mathbf {z} '(t){\frac {(\mathbf {z} (t)-\mathbf {z} _{0})\mathbf {z} '(t)}{|\mathbf {z} '(t)|^{2}}},}$

или в более сложном виде^[38]:

${\displaystyle \operatorname {pedal} [\mathbf {z} ,\;\mathbf {z} _{0}](t)=\mathbf {Z} (t)=\mathbf {z} _{0}+\mathbf {z} '_{\bot }(t){\frac {(\mathbf {z} (t)-\mathbf {z} _{0})\mathbf {z} '_{\bot }(t)}{|\mathbf {z} '(t)|^{2}}},}$

где ${\displaystyle \mathbf {z} '_{\bot }(t)=\pm (y'(t),\;-x'(t))}$ — вектор нормали, перпендикулярный касательной^[38].

Относительно полюса ${\displaystyle \mathbf {z} _{0}=(0,\;i0)}$ ^[38][3][36]:

${\displaystyle \operatorname {pedal} [\mathbf {z} ,\;\mathbf {z} _{0}](t)=\mathbf {Z} (t)=\mathbf {z} (t)-\mathbf {z} '(t){\frac {\mathbf {z} (t)\mathbf {z} '(t)}{|\mathbf {z} '(t)|^{2}}}.}$

или в более сложном виде^[38][3][36]:

${\displaystyle \operatorname {pedal} [\mathbf {z} ,\;\mathbf {z} _{0}](t)=\mathbf {Z} (t)=\mathbf {z} '_{\bot }(t){\frac {\mathbf {z} (t)\mathbf {z} '_{\bot }(t)}{|\mathbf {z} '(t)|^{2}}}.}$

Параметрические уравнения подеры на комплексной плоскости

В комплексных числах для параметрически заданной кривой ${\displaystyle z(t)=(x(t),\;iy(t))}$ , имеющей производную ${\displaystyle z'(t)=(x'(t),\;iy'(t))}$ , основное уравнение подеры

${\displaystyle \operatorname {pedal} [z,\;z_{0}](t)=Z(t)=(X(t),\;iY(t))}$

относительно точки ${\displaystyle z_{0}=(x_{0},\;iy_{0})}$ будут ещё проще^[40][37]:

${\displaystyle \operatorname {pedal} [z,\;z_{0}](t)=Z(t)={\frac {(z(t)-z_{0}){\overline {z'(t)}}-{\overline {z(t)-z_{0}}}z'(t)}{2{\overline {z'(t)}}}}=}$

${\displaystyle {}={\frac {1}{2}}\left(z(t)-z_{0}-{\frac {{\overline {z(t)-z_{0}}}z'(t)}{\overline {z'(t)}}}\right).}$

В частном случае, относительно полюса ${\displaystyle \mathbf {z} _{0}=(0,\;i0)}$ , основное уравнение будет таким^[40][37]:

${\displaystyle \operatorname {pedal} [z,\;0](t)=Z(t)={\frac {z(t){\overline {z'(t)}}-{\overline {z(t)}}z'(t)}{2{\overline {z'(t)}}}}=}$

${\displaystyle {}={\frac {1}{2}}\left(z(t)-{\frac {{\overline {z(t)}}z'(t)}{\overline {z'(t)}}}\right).}$

Доказательство^[37]

Найдём основное уравнение подеры кривой относительно полюса в начале координат ${\displaystyle O=(x_{0},\;iy_{0})}$ , показанном на рисунке справа вместе с вещественной осью ${\displaystyle x}$ . Текущая точка кривой — ${\displaystyle z}$ , подеры — ${\displaystyle Z}$ .

Из треугольника ${\displaystyle \triangle OzZ}$ получаем модуль функции ${\displaystyle Z}$ :

${\displaystyle |Z|=|z|\sin(\alpha -\varphi ).}$

Так как радиус-вектор ${\displaystyle Z}$ составляет с вещественной осью ${\displaystyle x}$ угол ${\displaystyle -\left({\frac {\pi }{2}}-\alpha \right)}$ , то аргумент комплексной функции ${\displaystyle Z}$ равен

${\displaystyle \operatorname {Arg} Z=e^{-i\left({\frac {\pi }{2}}-\alpha \right)}=\sin \alpha -i\cos \alpha =-ie^{i\alpha }.}$

Тогда искомое уравнение

${\displaystyle Z=|Z|\operatorname {Arg} Z=-|z|\sin(\alpha -\varphi )ie^{i\alpha }=}$

${\displaystyle {}=-|z|{\frac {\operatorname {Arg} z}{\operatorname {Arg} z}}\sin(\alpha -\varphi )ie^{i\alpha }=-i|z|{\frac {e^{i\varphi }}{e^{i\varphi }}}\sin(\alpha -\varphi )e^{i\alpha }=}$

${\displaystyle {}=-iz\sin(\alpha -\varphi )e^{i(\alpha -\varphi )}.}$

Заменим комплексную функцию синуса, используя формулу Эйлера:

${\displaystyle Z=-iz{\frac {e^{i(\alpha -\varphi )}-e^{-i(\alpha -\varphi )}}{2i}}e^{i(\alpha -\varphi )}=z{\frac {1-e^{i2(\alpha -\varphi )}}{2}}.}$

Снова используем одну из показательных форм комплексного числа

${\displaystyle e^{i\alpha }={\sqrt {\frac {z'}{\overline {z'}}}}}$ и ${\displaystyle e^{i\varphi }={\sqrt {\frac {z}{\bar {z}}}},}$

окончательно получим:

${\displaystyle Z=z{\frac {1-{\displaystyle {\frac {z'}{\overline {z'}}}{\frac {\bar {z}}{z}}}}{2}}={\frac {{\overline {z'}}z-z'{\bar {z}}}{2{\overline {z'}}}}.}$

Параметрические уравнения подеры в вещественном пространстве

Для параметрически заданной пространственной кривой ${\displaystyle (x(t),\;y(t),\;z(t))}$ , имеющей производную ${\displaystyle (x'(t),\;y'(t),\;z'(t))}$ , подера ${\displaystyle (X(t),\;Y(t),\;Z(t))}$ относительно точки ${\displaystyle (0,\;0,\;0)}$ задаётся следующими уравнениями^[3]:

${\displaystyle X=x-x'{\frac {xx'+yy'+zz'}{x'^{2}+y'^{2}+z'^{2}}},}$

${\displaystyle Y=y-y'{\frac {xx'+yy'+zz'}{x'^{2}+y'^{2}+z'^{2}}},}$

${\displaystyle Z=z-z'{\frac {xx'+yy'+zz'}{x'^{2}+y'^{2}+z'^{2}}}.}$

Прямоугольная система координат

Для кривой с неявным уравнением ${\displaystyle F(x,\;y)=0}$ , имеющей частные производные ${\displaystyle F_{x}(x,\;y)}$ и ${\displaystyle F_{y}(x,\;y),}$ подера ${\displaystyle (X,\;Y)}$ относительно точки ${\displaystyle (a,\;b)}$ задаётся следующими параметрическими уравнениями^[41]:

${\displaystyle X={\frac {xF_{x}^{2}+(y-b)F_{x}F_{y}+aF_{y}^{2}}{F_{x}^{2}+F_{y}^{2}}}=a+F_{x}{\frac {(x-a)F_{x}+(y-b)F_{y}}{F_{x}^{2}+F_{y}^{2}}},}$

${\displaystyle Y={\frac {bF_{x}^{2}+(x-a)F_{x}F_{y}+yF_{y}^{2}}{F_{x}^{2}+F_{y}^{2}}}=b+F_{y}{\frac {(x-a)F_{x}+(y-b)F_{y}}{F_{x}^{2}+F_{y}^{2}}}.}$

Для поверхности с неявным уравнением ${\displaystyle F(x,\;y,\;z)=0}$ , имеющей частные производные ${\displaystyle F_{x}(x,\;y,\;z)}$ , ${\displaystyle F_{y}(x,\;y,\;z)}$ и ${\displaystyle F_{z}(x,\;y,\;z)}$ , подера ${\displaystyle (X,\;Y,\;Z)}$ относительно точки ${\displaystyle (0,\;0,\;0)}$ задаётся следующими параметрическими уравнениями^[3]:

${\displaystyle X=F_{x}{\frac {xF_{x}+yF_{y}+zF_{z}}{F_{x}^{2}+F_{y}^{2}+F_{z}^{2}}},}$

${\displaystyle Y=F_{y}{\frac {xF_{x}+yF_{y}+zF_{z}}{F_{x}^{2}+F_{y}^{2}+F_{z}^{2}}},}$

${\displaystyle Z=F_{z}{\frac {xF_{x}+yF_{y}+zF_{z}}{F_{x}^{2}+F_{y}^{2}+F_{z}^{2}}}.}$

Подерная система координат

Самое простое уравнение подеры получается в подерной системе координат. Для кривой, имеющей подерное уравнение

${\displaystyle r=\pi (p),}$ или ${\displaystyle f(r,\;p)=0,}$

относительно некоторого полюса, подерное уравнение её подеры

${\displaystyle R^{2}=P\pi (R),}$ или ${\displaystyle f\left({\frac {R^{2}}{P}},\;R\right)=0,}$

относительно того же полюса^[42]

Подера окружности

Подера окружности с полюсом в центре есть та же самая окружность. Подера окружности с полюсом вне центра есть улитка Паскаля, в частности, если полюс подеры лежит на самой окружности, то подера — кардиоида^[4].

• Подеры окружности
• 
  Гиперболическая улитка Паскаля — полюс подеры вне окружности
• 
  Кардиоида — полюс подеры на окружности
• 
  Эллиптическая улитка Паскаля — полюс подеры внутри окружности, но не в её центре

Найдём уравнение подеры окружности. Уравнение окружности в комплексном параметрическом виде

${\displaystyle z=z_{0}+Re^{it},}$

где ${\displaystyle z_{0}}$ — постоянный комплексный центр окружности; ${\displaystyle R}$ — постоянный вещественный радиус окружности; ${\displaystyle t}$ — вещественный параметр. Получаем:

${\displaystyle z'=Rie^{it},}$

${\displaystyle {\bar {z}}=z_{0}+Re^{-it},}$

${\displaystyle {\bar {z}}'=-Rie^{-it},}$

и уравнение подеры окружности с полюсом ${\displaystyle z_{1}}$ , то есть улитки Паскаля^[37]:

${\displaystyle Z(t)={\frac {-(z_{0}-z_{1}+Re^{it})iRe^{-it}-({\overline {z_{0}-z_{1}}}+Re^{-it})iRe^{it}}{-i2Re^{-it}}}=}$

${\displaystyle {}={\frac {1}{2}}(z_{0}-z_{1}+Re^{it}+({\overline {z_{0}-z_{1}}}+Re^{-it})e^{i2t})=}$

${\displaystyle {}={\frac {1}{2}}(z_{0}-z_{1}+2Re^{it}+{\overline {z_{0}-z_{1}}}e^{i2t})=}$

${\displaystyle {}={\frac {1}{2}}(Le^{i\varphi }+2Re^{it}+Le^{-i\varphi }e^{i2t}).}$

Уравнение улитки Паскаля упростится, если прямая ${\displaystyle z_{0}z_{1}}$ параллельна вещественной оси комплексной плоскости, то есть ${\displaystyle \varphi =0}$ или ${\displaystyle \varphi =\pi :}$

${\displaystyle Z(t)={\frac {1}{2}}(\pm L+2Re^{it}\pm Le^{i2t}).}$

Рассмотрим два частных случая подеры^[37]:

• если ${\displaystyle z_{1}}$ и ${\displaystyle z_{0}}$ совпадают, то есть ${\displaystyle L=0,}$ подера окружности есть сама окружность с центром в начале координат — полюсе подеры:

${\displaystyle Z(t)=Re^{it};}$

• если ${\displaystyle z_{1}}$ лежит на окружности, то есть ${\displaystyle L=R,}$ имеем уравнение кардиоиды с центром в каспе — полюсе подеры:

${\displaystyle Z(t)={\frac {R}{2}}(e^{i\varphi }+2e^{it}+e^{-i\varphi }e^{i2t});}$

• если при этом прямая ${\displaystyle z_{0}z_{1}}$ параллельна вещественной оси комплексной плоскости, то есть ${\displaystyle \varphi =0}$ или ${\displaystyle \varphi =\pi ,}$ то уравнение кардиоиды

${\displaystyle Z(t)={\frac {R}{2}}(\pm 1+2e^{it}\pm e^{i2t})=}$

${\displaystyle {}={\frac {\pm R}{2}}(1\pm e^{it})^{2};}$

• а если при этом окружность имеет радиус ${\displaystyle R=1}$ и ${\displaystyle z_{1}}$ слева от ${\displaystyle z_{0}}$ , то самое простое уравнение кардиоиды

${\displaystyle {}={\frac {1}{2}}(1+e^{it})^{2}.}$

Подера параболы

Любая парабола имеет подеру — циркулярную кривую 3-го порядка на комплексной проективной плоскости^[6].

Не умаляя общности, уравнение произвольной параболы можно записать в следующем виде^[6]:

${\displaystyle y^{2}=4px,}$ или ${\displaystyle x^{2}=4py,}$

где ${\displaystyle p}$ — расстояние от фокуса параболы до её вершины и от вершины до директрисы.

Тогда подера произвольной параболы ${\displaystyle y^{2}=4px}$ относительно произвольного полюса ${\displaystyle (a,\;b)}$ есть дефективная гипербола с двойной точкой ${\displaystyle (a,\;b)}$ , асимптотой ${\displaystyle a-p}$ и следующим уравнением^[6]:

${\displaystyle (x-a)(y(y-b)+x(x-a))+p(y-b)^{2}=0.}$

Подера эллипса

Подера эллипса

• относительно его фокуса — окружность,
• относительно центра эллипса — лемниската Бута.

• Подеры эллипса
• 
  Окружность ${\displaystyle {\scriptstyle \left(x+{\frac {16}{3}}\right)^{2}+y^{2}=\left({\frac {32}{3}}\right)^{2}}}$ — полюс подеры в фокусе эллипса ${\displaystyle {\scriptstyle \left({\frac {3}{32}}\right)^{2}\left(x+{\frac {16}{3}}\right)^{2}+{\frac {3}{16^{2}}}y^{2}=1}}$
• 
  Лемниската Бута — полюс подеры в центре эллипса. Здесь a=2 b=1, уравнение 4x²+y²=(x²+y²)²

• Подерный треугольник
• Подерная окружность

• Брус Дж., Джиблин П.^[англ.] Кривые и особенности: Геометрическое введение в теорию особенностей: Пер. с англ. И. Г. Щербак под ред. В. И. Арнольда. М.: Мир, 1988. 262 с, ил. (Современная математика. Вводные курсы) ISBN 5-03-001194-3. [J. William Bruce, Peter G. Giblin. Curves and Singularities. A geometrical introduction to singularity theory. Cambridge: Cambridge University Press, 1984.]
• Гильберт Д., Кон-Фоссен С. Наглядная геометрия: Пер. с нем. С. А. Каменецкого. 3-е изд. М.: Наука, 1981. 144 с., ил.
• Иванов А. Б. Подера // Математическая энциклопедия: Гл. ред. И. М. Виноградов, т. 4 Ок—Сло. М.: «Советская Энциклопедия», 1984. 1216 стб., ил. Стб. 370.
• Коренцова М. М. Колин Маклорен. 1698—1746. М.: Наука, 1998. 144 с., ил. (Научно-биографическая литература.) ISBN 5-02-003691-9.
• Подера // Математический энциклопедический словарь / Гл. ред. Ю. В. Прохоров; Ред. Кол.: С. И. Адян, Н. С. Бахвалов, В. И. Битюцков, А. П. Ершов, Л. Д. Кудрявцев, А. Л. Онищик, А. П. Юшкевич. М.: «Советская энциклопедия», 1988. 847 с., ил. С. 465.
• Подера и антиподера // Большая советская энциклопедия. (В 30 томах) Гл. ред. А. М. Прохоров. Изд. 3-е. М.: «Советская энциклопедия», 1975. Т. 20. Плата — проб. 1975. 608 с. с илл., 17 л. илл., 4 л. карт. С. 109.
• Подерный (педальный) треугольник // Задачи. Проект МЦНМО при участии школы 57, 2004—…. Архивная копия от 2 октября 2023 на Wayback Machine
• Савелов А. А. Плоские кривые. Систематика, свойства, применения. (Справочное руководство) / Под ред. А. П. Нордена. М.: Физматлит, 1960. 293 с., ил.
• Смогоржевский А. С., Столова Е. С. Справочник по теории плоских кривых 3-го порядка. М.: Физматлит, 1961. 271 с., ил.
• Шикин Е. В., Франк-Каменецкий М. М. Кривые на плоскости и в пространстве. Справочник с приложенипем дискеты «Плоские кривые». М.: ФАЗИС, 1997. 334 с., ил. ISBN 5-7036-0027-8.
• Яглом И. М., Атанасян Л. С. Геометрические преобразования // Энциклопедия элементарной математики, книга четвёртая — геометрия / Гл. ред. П. С. Александров, А. И. Маркушевич, А. Я. Хинчин. Ред. книги 4: В. Г. Болтянский, И. М. Яглом. М.: Физматгиз, 1963. 568 с., ил. С. 49—158.
• Article. III. Tractatus de Curvarum Constructione et Mensura…. 2024 // ROYAL SOCIETY PUBLISHING. Philosophical Transactions. Архивная копия от 25 октября 2019 на Wayback Machine
• Ferréol Robert. Pedal of a Curve // ENCYCLOPÉDIE DES FORMES MATHÉMATIQUES REMARQUABLES Архивная копия от 10 апреля 2023 на Wayback Machine
• Alfred Gray. Modern differential geometry of curves and surfaces with Mathematica. Third Edition by Elsa Abbena and Simon Salamon. Studies in Advanced Mathematics: Chapman and Hall/CRC, 2006. 982 p.
• Lawrence J. D. A Catalog of Special Plane Curves. New York: Dover Publications, Inc., 1972. 218 p.
• Maclaurin C. III. Tractatus de Curvarum Constructione et Mensura; ubi plurimae Series Curvarum Infinitae vel rectis mensurantur vel ad Simpliciores Curvas reducuntur. Autore Colin Maclaurin, in Collegio novo Abredonensi Matheseos Professore // Philosophical Transactions of the Royal Society. 30 June 1718. Volume 30, Issue 356. P. 803–812.
• Weisstein Eric W. Pedal Curve // Wolfram MathWorld Архивная копия от 5 декабря 2022 на Wayback Machine
• Zwikker C.^[англ.] The Advanced Geometry of Plane Curves and Their Applications^[англ.]The Advanced Geometry of Plane Curves and Their Applications. New York: Dover Publications, Inc., 1963. 299 p. ISBN 10: 0486610780. ISBN 13: 9780486610788.