Ули́тка Паска́ля (англ. limacon of Pascal , от лат. limax — улитка ) ― конхоида окружности с полюсом на этой окружности[1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] .
Семь форм улиток Паскаля как конхоиды чёрной окружности с полюсом (0, 0): r ( φ ) = 2 a cos φ + l . {\displaystyle r(\varphi )=2a\cos \varphi +l.} Из них красная — с параболической точкой распрямления , зелёная — кардиоида , синяя — трисектриса Страница книги Дюрера 1525 года с линией паука (Spinnenlinie) Обычно представляется следующим уравнением конхоиды окружности в полярной системе координат [2] [3] [5] [6] [8] :
r ( φ ) = 2 a cos φ + l , {\displaystyle r(\varphi )=2a\cos \varphi +l,} где a {\displaystyle a} — радиус базовой окружности конхоиды; l {\displaystyle l} — приращение радиус-вектора окружности, проведённого из полюса конхоиды на окружности.
Относится к плоским алгебраически кривым 4-го порядка[1] [3] [9] .
Улитка Паскаля — это кривая, обладающая следующими простыми свойствами[10] :
Названа по имени французского учёного Этьена Паскаля (отца Блеза Паскаля ), рассмотревшего её в первой половине XVII века[1] [2] [4] [9] [8] [11] . Улитка Паскаля изучалась Альбрехтом Дюрером в 1525 году под названием арахна (линия паука) (англ. Arachne ; нем. Spinnenlinie [12] ; фр. arachnée [11] ), Этьеном Паскалем в 1630 году и Жилем Робервалем , который и назвал кривую «улиткой Паскаля» в 1650 году[7] [13] [11] .
Определения улитки Паскаля Самые распространённые определение и уравнение Ули́тка Паска́ля (англ. limacon of Pascal; Pascal’s snail[8] ; snail curve[11] ) ― конхоида окружности с полюсом на этой окружности[1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] , обычно задаваемая следующим уравнением в полярной системе координат [2] [3] [5] [6] [8] :
r ( φ ) = 2 a cos φ + l , {\displaystyle r(\varphi )=2a\cos \varphi +l,} где a {\displaystyle a} — радиус базовой окружности r ( φ ) = 2 a cos φ {\displaystyle \,r(\varphi )=2a\cos \varphi \,} конхоиды; l {\displaystyle l} — приращение радиус-вектора окружности, проведённого из полюса конхоиды.
Базовая окружность r ( φ ) = 2 a cos φ {\displaystyle \,r(\varphi )=2a\cos \varphi \,} улитки Паскаля называется также её директрисой [14] , а приращение радиус-вектора l {\displaystyle l} — её модулем [15] .
Улитка Паскаля — это кривая, обладающая следующими основными свойствами[10] :
Обычное уравнение улитки Паскаля в полярой системе координат
r = 2 a cos φ + l , {\displaystyle r=2a\cos \varphi +l,} может быть записано по-другому:
r = d cos φ + l , {\displaystyle r=d\cos \varphi +l,} где d {\displaystyle d} — диаметр базовой окружности конхоиды; в размерно-безразмерной форме[7] : r = l ( e cos φ + 1 ) , {\displaystyle r=l(e\cos \varphi +1),} где l e = 2 a {\displaystyle le=2a} — диаметр базовой окружности конхоиды; e = 2 a l {\displaystyle e={\frac {2a}{l}}} — безразмерный параметр; в безразмерной форме[16] : ρ = 2 cos φ + ϵ , {\displaystyle \rho =2\cos \varphi +\epsilon ,} где ρ = r a , {\displaystyle \rho ={\frac {r}{a}},\,} ϵ = l a {\displaystyle \epsilon ={\frac {l}{a}}} — безразмерные параметры. Все уравнения, рассмотренные выше, имеют горизонтальную ось симметрии (совпадающую с оью абсцисс) и как полюс коноиды, так и особые точки, расположенные слева. Но особые точки можно расположить на графике и справа, записав уравнение улитки Паскаля в следующей форме:
r = − 2 a cos φ + l , {\displaystyle r=-2a\cos \varphi +l,} У всех уравнений, рассмотренные выше, ось симметрии совпадает с осью абсцисс. У следующих уравнений ось симметрии улитки Паскаля совпадает с осью ординат[11] :
полюс коноиды и особые точки расположены вверху: r = − 2 a sin φ + l ; {\displaystyle r=-2a\sin \varphi +l;} полюс коноиды и особые точки расположены внизу: r = 2 a sin φ + l . {\displaystyle r=2a\sin \varphi +l.} Вывод уравнения и геометрическое построение Геометрическое построение красной точки улитки Паскаля (трисектрисы, l = a {\displaystyle l=a} ) Детализируем определение улитки Паскаля, расшифровав понятие конхоиды :
ули́тка Паска́ля — геометрическое место концов радиус-векторов , проведённых из фиксированной точки на окружности радиуса a {\displaystyle a} ко всем точкам окружности, причём эти радиус-векторы увеличены (одна ветвь ) или уменьшены (другая ветвь) на постоянную величину l {\displaystyle l} [17] .Получим уравнение улитки Паскаля в полярной системе координат . Для этого (см. рисунок справа)[18] :
поместим полюс конхоиды, расположенный на базовой окружности, в начало полярной системы координат ; расположим диаметр базовой окружности на полярной оси справа от начала координат; положим, что l < 2 a {\displaystyle l<2a} (на рисунке справа l = a {\displaystyle l=a} ), тогда получаем, что (см. рисунок справа):
радиус-вектор из определения равен r ( φ ) = 2 a cos φ ; {\displaystyle r(\varphi )=2a\cos \varphi ;} увеличенный на l {\displaystyle l} радиус-вектор из определения равен r ( φ ) = 2 a cos φ + l , {\displaystyle r(\varphi )=2a\cos \varphi +l,} и последнее уравнение есть уравнение одной ветви улитки Паскаля.
Очевидно, что уравнение другой ветви улитки Паскаля будет
r ( φ ) = 2 a cos φ − l . {\displaystyle r(\varphi )=2a\cos \varphi -l.} Поскольку
r ( φ ) = 2 a cos φ + l = 2 a cos ( π + φ ) − l , {\displaystyle r(\varphi )=2a\cos \varphi +l=2a\cos(\pi +\varphi )-l,} то ветви улитки Паскаля как конхоиды окружности совпадают, что показано на рисунках ниже, и в качестве уравнения улитки Паскаля можно взять уравнение одной из ветвей, обычно берут первое:
r ( φ ) = 2 a cos φ + l . {\displaystyle r(\varphi )=2a\cos \varphi +l.} Для первой ветви при повороте радиус-вектора от 0 ∘ {\displaystyle 0^{\circ }} до 180 ∘ {\displaystyle 180^{\circ }} конец увеличенного радиус-вектора описывает верхнюю половину большой дуги улитки Паскаля и нижнюю половину петли, если она есть. При дальнейшем повороте радиус-вектора получаются остальные части первой ветви улитки Паскаля. Даже если радиус-вектор первой ветви отрицательный, то его увеличение откладывается от его конца всё равно в положительном направлении. Картина аналогична для второй ветви, когда уменьшение радиус-вектора всегда откладывается в отрицательном направлении[3] . На рисунках ниже показаны три серии построения:
обеих ветвей улитки Паскаля, имеющей петлю (трисектрисы), отдельно в четырёх квадрантах плоскости ; улитки Паскаля, имеющей петлю (трисектрисы), для случая, когда её радиус-вектор всегда неотрицателен, то есть при r ( φ ) = 2 a cos φ + l ⩾ 0 ; {\displaystyle r(\varphi )=2a\cos \varphi +l\geqslant 0;} Если улитка Паскаля не имеет петли, то её первая ветвь всегда имеет неотрицательный радиус-вектор, а вторая ветвь — неположительный.
Конхоидное преобразование улитки Паскаля (не окружности)
r ( φ ) = 2 a cos φ + l {\displaystyle r(\varphi )=2a\cos \varphi +l} с полюсом этой же улитки и с модулем l ′ {\displaystyle l'} есть снова улитка Паскаля
r ( φ ) = 2 a cos φ + l ± l ′ {\displaystyle r(\varphi )=2a\cos \varphi +l\pm l'} ,но в этом случае ветви всегда будут разные, причём если l ′ = l {\displaystyle l'=l} , то вторая ветвь будет окружностью.
Первая ветвь улитки Паскаля (трисектрисы) для квадрантов плоскости r ( φ ) = 2 a cos φ + l , {\displaystyle r(\varphi )=2a\cos \varphi +l,} 0 ∘ ⩽ φ ⩽ 90 ∘ {\displaystyle 0^{\circ }\leqslant \varphi \leqslant 90^{\circ }} r ( φ ) = 2 a cos φ + l , {\displaystyle r(\varphi )=2a\cos \varphi +l,} 90 ∘ ⩽ φ ⩽ 180 ∘ {\displaystyle 90^{\circ }\leqslant \varphi \leqslant 180^{\circ }} r ( φ ) = 2 a cos φ + l , {\displaystyle r(\varphi )=2a\cos \varphi +l,} 180 ∘ ⩽ φ ⩽ 270 ∘ {\displaystyle 180^{\circ }\leqslant \varphi \leqslant 270^{\circ }} r ( φ ) = 2 a cos φ + l , {\displaystyle r(\varphi )=2a\cos \varphi +l,} 270 ∘ ⩽ φ ⩽ 360 ∘ {\displaystyle 270^{\circ }\leqslant \varphi \leqslant 360^{\circ }}
Вторая ветвь улитки Паскаля (трисектрисы) для квадрантов плоскости r ( φ ) = 2 a cos φ − l , {\displaystyle r(\varphi )=2a\cos \varphi -l,} 0 ∘ ⩽ φ ⩽ 90 ∘ {\displaystyle 0^{\circ }\leqslant \varphi \leqslant 90^{\circ }} r ( φ ) = 2 a cos φ − l , {\displaystyle r(\varphi )=2a\cos \varphi -l,} 90 ∘ ⩽ φ ⩽ 180 ∘ {\displaystyle 90^{\circ }\leqslant \varphi \leqslant 180^{\circ }} r ( φ ) = 2 a cos φ − l , {\displaystyle r(\varphi )=2a\cos \varphi -l,} 180 ∘ ⩽ φ ⩽ 270 ∘ {\displaystyle 180^{\circ }\leqslant \varphi \leqslant 270^{\circ }} r ( φ ) = 2 a cos φ − l , {\displaystyle r(\varphi )=2a\cos \varphi -l,} 270 ∘ ⩽ φ ⩽ 360 ∘ {\displaystyle 270^{\circ }\leqslant \varphi \leqslant 360^{\circ }}
Обе ветви улитки Паскаля (трисектрисы) для квадрантов плоскости при неотрицательном радиус-векторе r ( φ ) = 2 a cos φ + l , {\displaystyle r(\varphi )=2a\cos \varphi +l,} r ( φ ) ⩾ 0 , {\displaystyle r(\varphi )\geqslant 0,} 0 ∘ ⩽ φ ⩽ 180 ∘ {\displaystyle 0^{\circ }\leqslant \varphi \leqslant 180^{\circ }} r ( φ ) = 2 a cos φ + l , {\displaystyle r(\varphi )=2a\cos \varphi +l,} r ( φ ) ⩾ 0 , {\displaystyle r(\varphi )\geqslant 0,} 180 ∘ ⩽ φ ⩽ 360 ∘ {\displaystyle 180^{\circ }\leqslant \varphi \leqslant 360^{\circ }} r ( φ ) = 2 a cos φ − l , {\displaystyle r(\varphi )=2a\cos \varphi -l,} r ( φ ) ⩾ 0 , {\displaystyle r(\varphi )\geqslant 0,} 0 ∘ ⩽ φ ⩽ 180 ∘ {\displaystyle 0^{\circ }\leqslant \varphi \leqslant 180^{\circ }} r ( φ ) = 2 a cos φ − l , {\displaystyle r(\varphi )=2a\cos \varphi -l,} r ( φ ) ⩾ 0 , {\displaystyle r(\varphi )\geqslant 0,} 180 ∘ ⩽ φ ⩽ 360 ∘ {\displaystyle 180^{\circ }\leqslant \varphi \leqslant 360^{\circ }}
Уравнение в других координатных системах Для перевода уравнения кривой из полярной системы координат ( r , φ ) {\displaystyle (r,\,\varphi )} в декартовую ( x , y ) {\displaystyle (x,\,y)} (и обратно) используют соотношения
x = r cos φ , {\displaystyle x=r\cos \varphi ,\,} y = r sin φ , {\displaystyle y=r\sin \varphi ,\,} x 2 + y 2 = r 2 , {\displaystyle x^{2}+y^{2}=r^{2},} поэтому декартовое уравнение улитки Паскаля будет следующим[1] [2] [3] [19] [5] [7] :
r ( φ ) = 2 a cos φ + l , {\displaystyle r(\varphi )=2a\cos \varphi +l,} x 2 + y 2 = 2 a x + l x 2 + y 2 , {\displaystyle x^{2}+y^{2}=2ax+l{\sqrt {x^{2}+y^{2}}},} ( x 2 + y 2 − 2 a x ) 2 = l 2 ( x 2 + y 2 ) . {\displaystyle (x^{2}+y^{2}-2ax)^{2}=l^{2}(x^{2}+y^{2}).} Используя те же формулы
x = r cos φ , {\displaystyle x=r\cos \varphi ,\,} y = r sin φ , {\displaystyle y=r\sin \varphi ,} параметрические декартовые уравнения улитки Паскаля можно также получить из полярного уравнения[20] [5] :
r ( φ ) = 2 a cos φ + l , {\displaystyle r(\varphi )=2a\cos \varphi +l,} x = 2 a cos 2 t + l cos t = a cos 2 t + l cos t + a , {\displaystyle x=2a\cos ^{2}t+l\cos t=a\cos 2t+l\cos t+a,} y = 2 a cos t sin t + l sin t = a sin 2 t + l sin t . {\displaystyle y=2a\cos t\sin t+l\sin t=a\sin 2t+l\sin t.} Декартовы параметрические уравнения улитки Паскаля могут быть и следующие[5] :
x = ( 1 − t 2 ) ( l + 2 a + ( l − 2 a ) t 2 ) ( 1 + t 2 ) 2 , {\displaystyle x={\frac {(1-t^{2})(l+2a+(l-2a)t^{2})}{(1+t^{2})^{2}}},} y = 2 t ( l + 2 a + ( l − 2 a ) t 2 ) ( 1 + t 2 ) 2 . {\displaystyle y={\frac {2t(l+2a+(l-2a)t^{2})}{(1+t^{2})^{2}}}.} Комплексное параметрическое уравнение улитки Паскаля так же получается из полярного уравнения с использованием соотношений
z ( φ ) = r ( φ ) e i φ , cos φ = 1 2 ( e i φ + e − i φ ) {\displaystyle z(\varphi )=r(\varphi )e^{i\varphi },\,\cos \varphi ={\frac {1}{2}}(e^{i\varphi }+e^{-i\varphi })} и имеет следующий вид[7] [21] :
r ( φ ) = 2 a cos φ + l , {\displaystyle r(\varphi )=2a\cos \varphi +l,} r e i t = ( 2 a cos φ + l ) e i t , {\displaystyle re^{it}=(2a\cos \varphi +l)e^{it},} z = a ( 1 + e 2 i t ) + l e i t . {\displaystyle z=a(1+e^{2it})+le^{it}.} В случае ℓ = a {\displaystyle \ell =a} улитка Паскаля также называется трисектри́са . Такое название она получила из-за того, что если на плоскости задана трисектриса, то трисекцию угла можно построить с помощью циркуля и линейки . Уравнение трисектрисы:
z = b ( e i t + e 2 i t ) = b e 3 i t 2 ( e i t 2 + e − i t 2 ) = 2 b e 3 i t 2 cos t 2 , {\displaystyle z=b(e^{it}+e^{2it})=be^{\frac {3it}{2}}\left(e^{\frac {it}{2}}+e^{\frac {-it}{2}}\right)=2be^{\frac {3it}{2}}\cos {\frac {t}{2}},} в полярных координатах:
r = 2 b cos θ 3 . {\displaystyle r=2b\cos {\frac {\theta }{3}}.} Виды улиток Паскаля Примечательные точки улитки Паскаля Существуют три вида улиток Паскаля: гиперболические, параболические (кардиоиды) и эллиптические[7] . Будем использовать уравнение улитки Паскаля
r ( φ ) = 2 a cos φ + l . {\displaystyle r(\varphi )=2a\cos \varphi +l.} Гиперболические улитки Паскаля r ( φ ) = 2 a cos φ + l , {\displaystyle r(\varphi )=2a\cos \varphi +l,\,} l < 2 a {\displaystyle l<2a} с примечательными точками и касателными в точках самопересечения Две касательные прямые всех улиток Паскаля в особой точке — полюсе конхоиды, он же начало координат r = 0 , {\displaystyle r=0,} — имеют следующее уравнение[22] :
4 a 2 cos 2 φ − l 2 = 0 , {\displaystyle 4a^{2}\cos ^{2}\varphi -l^{2}=0,} поэтому (см. рисунки справа):
если l < 2 a , {\displaystyle l<2a,} то касательные действительные, и особая точка — точка самопересечения параболической улитки Паскаля; если l = 2 a , {\displaystyle l=2a,} то касательные совпадают с осью абсцисс, и особая точка — касп кардиоиды; если l > 2 a , {\displaystyle l>2a,} то касательные мнимые, и особая точка — изолированная эллиптической улитки Паскаля. Вершины всех видов улиток Паскаля, если они есть, удовлетворяют следующему уравнению, полученному приравниванием нулю производной
κ ′ ( φ ) = 12 a 2 l sin φ ( l cos φ + 2 a ) ( 4 a l cos φ + 4 a 2 + l 2 ) 5 {\displaystyle \kappa '(\varphi )={\frac {12a^{2}l\sin \varphi (l\cos \varphi +2a)}{({\sqrt {4al\cos \varphi +4a^{2}+l^{2}}})^{5}}}} кривизны [23]
κ ( φ ) = 6 a l cos φ + 8 a 2 + l 2 ( 4 a l cos φ + 4 a 2 + l 2 ) 3 , {\displaystyle \kappa (\varphi )={\frac {6al\cos \varphi +8a^{2}+l^{2}}{({\sqrt {4al\cos \varphi +4a^{2}+l^{2}}})^{3}}},} то есть это необходимое условие быть вершиной (но не достаточное)[16] :
sin φ ( l cos φ + 2 a ) = 0. {\displaystyle \sin \varphi (l\cos \varphi +2a)=0.} Вывод уравнения кривизны и её производной
Перейдём от уравнения в полярных координатах
r ( φ ) = 2 a cos φ + l . {\displaystyle r(\varphi )=2a\cos \varphi +l.} к параметрическому уравнению, взяв в качестве уравнений проекции улитки Паскаля на декартовы координаты[23] :
x = ( 2 a cos φ + l ) cos φ , {\displaystyle x=(2a\cos \varphi +l)\cos \varphi ,} y = ( 2 a cos φ + l ) sin φ . {\displaystyle y=(2a\cos \varphi +l)\sin \varphi .} Вычислим производные этих уравнений[23] :
x ′ = − ( 4 a cos φ + l ) sin φ , {\displaystyle x'=-(4a\cos \varphi +l)\sin \varphi ,} y ′ = 4 a cos 2 φ + l cos φ − 2 a , {\displaystyle y'=4a\cos ^{2}\varphi +l\cos \varphi -2a,} x ″ = − 8 a cos 2 φ + l cos φ − 4 a , {\displaystyle x''=-8a\cos ^{2}\varphi +l\cos \varphi -4a,} y ″ = − ( 8 a cos φ + l ) sin φ {\displaystyle y''=-(8a\cos \varphi +l)\sin \varphi } и получим уравнение кривизны
κ ( φ ) = x ′ y ″ − x ″ y ′ ( x ′ 2 + y ′ 2 ) 3 , {\displaystyle \kappa (\varphi )={\frac {x'y''-x''y'}{({\sqrt {x'^{2}+y'^{2}}})^{3}}},} x ′ y ″ − x ″ y ′ = 32 a 2 cos 2 φ + 12 a l cos φ + l 2 − {\displaystyle x'y''-x''y'=32a^{2}\cos ^{2}\varphi +12al\cos \varphi +l^{2}-{}} − 32 a 2 cos 4 φ − 12 a l cos 3 φ − l 2 cos 2 φ + {\displaystyle {}-32a^{2}\cos ^{4}\varphi -12al\cos ^{3}\varphi -l^{2}\cos ^{2}\varphi +{}} + 32 a 2 cos 4 φ + 8 a l cos 3 φ − 16 a 2 cos 2 φ + {\displaystyle {}+32a^{2}\cos ^{4}\varphi +8al\cos ^{3}\varphi -16a^{2}\cos ^{2}\varphi +{}} + 4 a l cos 3 φ + l 2 cos 2 φ − 2 a l cos φ − {\displaystyle {}+4al\cos ^{3}\varphi +l^{2}\cos ^{2}\varphi -2al\cos \varphi -{}} − 16 a 2 cos 2 φ − 4 a l cos φ + 8 a 2 = {\displaystyle {}-16a^{2}\cos ^{2}\varphi -4al\cos \varphi +8a^{2}=} = 6 a l cos φ + l 2 + 8 a 2 , {\displaystyle =6al\cos \varphi +l^{2}+8a^{2},} x ′ 2 + y ′ 2 = 16 a 2 cos 2 φ + 8 a l cos φ + l 2 − {\displaystyle x'^{2}+y'^{2}=16a^{2}\cos ^{2}\varphi +8al\cos \varphi +l^{2}-{}} − 16 a 2 cos 4 φ − 8 a l cos 3 φ − l 2 cos 2 φ + {\displaystyle {}-16a^{2}\cos ^{4}\varphi -8al\cos ^{3}\varphi -l^{2}\cos ^{2}\varphi +{}} + 16 a 2 cos 4 φ + 8 a l cos 3 φ + l 2 cos 2 φ − {\displaystyle {}+16a^{2}\cos ^{4}\varphi +8al\cos ^{3}\varphi +l^{2}\cos ^{2}\varphi -{}} − 16 a 2 cos 2 φ − 4 a l cos φ + 4 a 2 = {\displaystyle {}-16a^{2}\cos ^{2}\varphi -4al\cos \varphi +4a^{2}=} = 4 a l cos φ + l 2 + 4 a 2 , {\displaystyle =4al\cos \varphi +l^{2}+4a^{2},} κ ( φ ) = 6 a l cos φ + 8 a 2 + l 2 ( 4 a l cos φ + 4 a 2 + l 2 ) 3 . {\displaystyle \kappa (\varphi )={\frac {6al\cos \varphi +8a^{2}+l^{2}}{({\sqrt {4al\cos \varphi +4a^{2}+l^{2}}})^{3}}}.} Осталось найти производную кривизны
κ ′ ( φ ) = ( 6 a l cos φ + 8 a 2 + l 2 ( 4 a l cos φ + 4 a 2 + l 2 ) 3 ) ′ = {\displaystyle \kappa '(\varphi )=\left({\frac {6al\cos \varphi +8a^{2}+l^{2}}{({\sqrt {4al\cos \varphi +4a^{2}+l^{2}}})^{3}}}\right)'=} = − 6 a l sin φ ( 4 a l cos φ + 4 a 2 + l 2 ) 3 + {\displaystyle ={\frac {-6al\sin \varphi }{({\sqrt {4al\cos \varphi +4a^{2}+l^{2}}})^{3}}}+{}} + 3 ( 6 a l cos φ + 8 a 2 + l 2 ) ( 4 a l sin φ ) 2 ( 4 a l cos φ + 4 a 2 + l 2 ) 5 = {\displaystyle {}+{\frac {3(6al\cos \varphi +8a^{2}+l^{2})(4al\sin \varphi )}{2({\sqrt {4al\cos \varphi +4a^{2}+l^{2}}})^{5}}}=} = − 48 a 2 l 2 cos φ sin φ − 48 a 3 l sin φ − 12 a l 3 sin φ 2 ( 4 a l cos φ + 4 a 2 + l 2 ) 5 + {\displaystyle ={\frac {-48a^{2}l^{2}\cos \varphi \sin \varphi -48a^{3}l\sin \varphi -12al^{3}\sin \varphi }{2({\sqrt {4al\cos \varphi +4a^{2}+l^{2}}})^{5}}}+{}} + 72 a 2 l 2 cos φ sin φ + 96 a 3 l sin φ + 12 a l 3 sin φ 2 ( 4 a l cos φ + 4 a 2 + l 2 ) 5 = {\displaystyle {}+{\frac {72a^{2}l^{2}\cos \varphi \sin \varphi +96a^{3}l\sin \varphi +12al^{3}\sin \varphi }{2({\sqrt {4al\cos \varphi +4a^{2}+l^{2}}})^{5}}}=} = 12 a 2 l 2 cos φ sin φ + 24 a 3 l sin φ ( 4 a l cos φ + 4 a 2 + l 2 ) 5 = {\displaystyle ={\frac {12a^{2}l^{2}\cos \varphi \sin \varphi +24a^{3}l\sin \varphi }{({\sqrt {4al\cos \varphi +4a^{2}+l^{2}}})^{5}}}=} = 12 a 2 l sin φ ( l cos φ + 2 a ) ( 4 a l cos φ + 4 a 2 + l 2 ) 5 . {\displaystyle ={\frac {12a^{2}l\sin \varphi (l\cos \varphi +2a)}{({\sqrt {4al\cos \varphi +4a^{2}+l^{2}}})^{5}}}.} Эллиптические улитки Паскаля r ( φ ) = 2 a cos φ + l , {\displaystyle r(\varphi )=2a\cos \varphi +l,\,} l > 2 a {\displaystyle l>2a} с примечательными точками Последнее уравнение есть совокупность уравнений
[ sin φ = 0 , l cos φ + 2 a = 0 , {\displaystyle \left[{\begin{array}{rcl}\sin \varphi =0,\\l\cos \varphi +2a=0,\end{array}}\right.} откуда вершины, если они есть, имеют координаты (см. рисунки справа)
[ sin φ = 0 , r = l ± 2 a , cos φ = − 2 a l , r = l − 4 a 2 l {\displaystyle \left[{\begin{array}{lcl}\sin \varphi =0,\quad r=l\pm 2a,\\\displaystyle \cos \varphi =-{\frac {2a}{l}},\quad r=l-{\frac {4a^{2}}{l}}\end{array}}\right.} и лежат на прямой и циссоиде Диокла (см. рисунок справа)
[ sin φ = 0 , r = 2 a ( cos φ − 1 cos φ ) = − 2 a sin 2 φ cos φ . {\displaystyle \left[{\begin{array}{lcl}\sin \varphi =0,\\\displaystyle r=2a\left(\cos \varphi -{\frac {1}{\cos \varphi }}\right)=-{\frac {2a\sin ^{2}\varphi }{\cos \varphi }}.\end{array}}\right.} Грушевидная квартика, составленная из точек перегиба эллиптических улиток Паскаля r ( φ ) = 2 a cos φ + l , {\displaystyle r(\varphi )=2a\cos \varphi +l,\,} l > 2 a {\displaystyle l>2a} Точки перегиба эллиптических улиток Паскаля, если они есть, удовлетворяют следующему уравнению, полученному приравниванием нулю кривизны, то есть это необходимое условие быть точкой перегиба (но не достаточное)[16] :
6 a l cos φ + l 2 + 8 a 2 = 0 , {\displaystyle 6al\cos \varphi +l^{2}+8a^{2}=0,} откуда точки перегиба, если они есть, имеют координаты (см. рисунки справа)
cos φ = − l 2 + 8 a 2 6 a l , {\displaystyle \cos \varphi =-{\frac {l^{2}+8a^{2}}{6al}},} r = l − l 2 + 8 a 2 3 l = 2 l 2 − 8 a 2 3 l . {\displaystyle r=l-{\frac {l^{2}+8a^{2}}{3l}}={\frac {2l^{2}-8a^{2}}{3l}}.} и лежат на обобщённой грушевидной квартике [24] (см. рисунок справа)
r 2 + 2 a r cos φ − 8 a 2 cos 2 φ + 8 a 2 = 0 , {\displaystyle r^{2}+2ar\cos \varphi -8a^{2}\cos ^{2}\varphi +8a^{2}=0,} или
r 2 + 2 a r cos φ + 8 a 2 sin 2 φ = 0 , {\displaystyle r^{2}+2ar\cos \varphi +8a^{2}\sin ^{2}\varphi =0,} или
( r + a cos φ ) 2 + a 2 ( 8 sin 2 φ − cos 2 φ ) = 0. {\displaystyle (r+a\cos \varphi )^{2}+a^{2}(8\sin ^{2}\varphi -\cos ^{2}\varphi )=0.} Гиперболическая улитка Паскаля Трисектриса r ( φ ) = a ( 2 cos φ + 1 ) , {\displaystyle r(\varphi )=a(2\cos \varphi +1),\,} a = 2 {\displaystyle a=2} с точкой самопересечения и двумя вершинами Гиперболическая улитка (англ. hyperbolic limacon ) — улитка Паскаля, у которой параметры отвечают следующему неравенству[7] :
l < 2 a . {\displaystyle l<2a.} Синоним:
улитка с петлёй (англ. limacon with a loop; crunodal limacon )[7] .Частные случаи[7] :
улитка Паскаля вырождается в окружность радиуса a {\displaystyle a} при l = 0 , {\displaystyle l=0,} то есть уравнение окружности r ( φ ) = 2 a cos φ ; {\displaystyle r(\varphi )=2a\cos \varphi ;} улитка Паскаля есть трисектриса (англ. trisectrix ; англ. limaçon trisectrix [11] ) при l = a , {\displaystyle l=a,} то есть её уравнение r ( φ ) = a ( 2 cos φ + 1 ) . {\displaystyle r(\varphi )=a(2\cos \varphi +1).} Перечислим примечательные точки трисектрисы как типичного представителя улитки с петлёй (см. рисунок справа)[25] :
трисектриса имеет точку самопересечения в начале координат r = 0 ; {\displaystyle r=0;} радиальные координаты кандидатов в точки перегиба cos φ = − 3 2 < − 1 , {\displaystyle \cos \varphi =-{\frac {3}{2}}<-1,\,} r = 2 l 2 − 8 a 2 3 l = − 2 a , {\displaystyle r={\frac {2l^{2}-8a^{2}}{3l}}=-2a,} поэтому точек перегиба нет; из вершин попадают на кардиоиду и не попадают на точку самопересечения только две точки φ = 0 , r = 3 a {\displaystyle \varphi =0,\,r=3a} и φ = π , r = − a . {\displaystyle \varphi =\pi ,\,r=-a.} Параболическая улитка Паскаля Кардиоида r ( φ ) = 2 a ( cos φ + 1 ) , {\displaystyle r(\varphi )=2a(\cos \varphi +1),\,} a = 2 {\displaystyle a=2} с каспом и вершиной Параболическая улитка (англ. parabolic limacon ) — улитка Паскаля, у которой параметры отвечают следующему равенству[7] :
l = 2 a , {\displaystyle l=2a,} то есть её уравнение
r ( φ ) = 2 a ( cos φ + 1 ) . {\displaystyle r(\varphi )=2a(\cos \varphi +1).} Синонимы:
Перечислим примечательные точки кардиоиды (см. рисунок справа)[25] :
кардиоида имеет касп в начале координат r = 0 ; {\displaystyle r=0;} радиальная координата кандидата в точки перегиба r = 2 l 2 − 8 a 2 3 l = 0 , {\displaystyle r={\frac {2l^{2}-8a^{2}}{3l}}=0,} поэтому точек перегиба нет, точка r = 0 {\displaystyle r=0} — это касп; из вершин попадает на кардиоиду и не попадает на касп только точка φ = 0 , r = 4 a . {\displaystyle \varphi =0,\quad r=4a.} Эллиптическая улитка Паскаля Эллиптическая улитка (англ. elliptic limacon ) — улитка Паскаля, у которой параметры отвечают следующему неравенству[7] :
l > 2 a . {\displaystyle l>2a.} Синонимы:
Частные случаи[7] :
улитка в форме фасолины (англ. limacon with the shape of a bean ) при 2 a < l < 4 a ; {\displaystyle 2a<l<4a;} l = 4 a ; {\displaystyle l=4a;} 4 a < l < ∞ ; {\displaystyle 4a<l<\infty ;} улитка Паскаля вырождается в окружность бесконечного радиуса при l → ∞ . {\displaystyle l\rightarrow \infty .} Перечислим примечательные точки представителя улитки в форме фасолины с l = 4 a {\displaystyle l=4a} (см. рисунок ниже)[25] :
улитка в форме фасолины имеет изолированную точку в начале координат r = 0 ; {\displaystyle r=0;} из точек перегиба присутствуют все две точки cos φ = − 17 18 , {\displaystyle \cos \varphi =-{\frac {17}{18}},\,} r = 10 9 a ; {\displaystyle r={\frac {10}{9}}a;} из вершин попадают на улитку в форме фасолины все четыре точки [ φ = 0 , r = 5 a и φ = π , r = a , cos φ = − 2 3 , r = 5 3 a . {\displaystyle \left[{\begin{array}{lcl}\varphi =0,\,r=5a\,\,{\mbox{и}}\,\,\varphi =\pi ,\,r=a,\\\displaystyle \cos \varphi =-{\frac {2}{3}},\,r={\frac {5}{3}}a.\end{array}}\right.} Перечислим примечательные точки представителя улитки с параболической точкой распрямления с l = 3 a {\displaystyle l=3a} (см. рисунок ниже)[25] :
улитка с параболической точкой распрямления имеет изолированную точку в начале координат r = 0 ; {\displaystyle r=0;} две точки перегиба сливаются в одну параболическую точку распрямления (слияние и исчезновение точек перегиба и вершин типично для кривых, при слиянии «качество» точки меняется в более «сильную» сторону) cos φ = − 1 , {\displaystyle \cos \varphi =-1,\,} r = 2 a ; {\displaystyle r=2a;} из вершин попадают на улитку с параболической точкой распрямления все четыре точки, но одна попадает на параболическую точку распрямления [ φ = 0 , r = 6 a и φ = π , r = 2 a , cos φ = − 1 2 , r = 3 a . {\displaystyle \left[{\begin{array}{lcl}\varphi =0,\,r=6a\,\,{\mbox{и}}\,\,\varphi =\pi ,\,r=2a,\\\displaystyle \cos \varphi =-{\frac {1}{2}},\,r=3a.\end{array}}\right.} Перечислим примечательные точки представителя выпуклой улитки с l = 5 a {\displaystyle l=5a} (см. рисунок ниже)[25] :
выпуклая улитка имеет изолированную точку в начале координат r = 0 ; {\displaystyle r=0;} радиальные координаты кандидатов в точки перегиба cos φ = − 11 10 < − 1 , {\displaystyle \cos \varphi =-{\frac {11}{10}}<-1,\,} r = 42 15 a , {\displaystyle r={\frac {42}{15}}a,} поэтому точек перегиба нет; из вершин попадают на выпуклую улитку все четыре точки [ φ = 0 , r = 7 a и φ = π , r = 3 a , cos φ = − 2 5 , r = 21 5 a . {\displaystyle \left[{\begin{array}{lcl}\varphi =0,\,r=7a\,\,{\mbox{и}}\,\,\varphi =\pi ,\,r=3a,\\\displaystyle \cos \varphi =-{\frac {2}{5}},\,r={\frac {21}{5}}a.\end{array}}\right.} Формы эллиптической улитки Паскаля
Свойства Анимация подеры окружности Построение улитки Паскаля Улитка Паскаля является подерой окружности относительно любой точки, кроме центра окружности. Улитка Паскаля является частным случаем Декартова овала . Улитка Паскаля является частным случаем эпитрохоиды . Улитка Паскаля является примером эквихордной кривой . Длина дуги выражается эллиптическим интегралом 2-го рода. Площадь, ограниченная улиткой Паскаля: S = π a 2 2 + π ℓ 2 . {\displaystyle S={\frac {\pi a^{2}}{2}}+\pi \ell ^{2}.} При a > ℓ {\displaystyle a>\ell } площадь внутренней петли при вычислении по этой формуле считается дважды. Применение в технике Эксцентрик в виде эллиптической улитки Паскаля Стержень , скользящий эксцентрику с профилем эллиптической улитки Паскаля, совершает гармонические колебания . В самом деле, пусть S {\displaystyle S} — это поступательное движение точки M {\displaystyle M} соприкосновения стрежня и эксцентрика (см. рисунок справа), тогда
S = ρ = 2 r cos ω t + l , {\displaystyle S=\rho =2r\cos \omega t+l,} где ω {\displaystyle \omega } — угловая скорость эксцентрика, а
v = S ′ = − 2 r ω sin ω t {\displaystyle v=S'=-2r\omega \sin \omega t} —скорость возвратно-поступательного движения стержня, которая изменяется без скачков, совершая гармонические колебания[26] .
Такие изменения без скачков скорости движения стержня по эксцентрику, очерченному по улитке Паскаля, существенно выгоднее, чем движение стержня по эксцентрику, очерченному по спирали Архимеда . Последнее по причине своей постоянной скорости v {\displaystyle v} в конце каждого хода испытывает удары , при которых скорость скачком меняется с v {\displaystyle v} на − v {\displaystyle -v} . Такие удары влекут быстрое изнашивание этого механизма[26] .
В семафоре на железной дороге одна из частей механизма очерчена по улитке Паскаля. По этой причине скорость поднятия или опускания крыла семафора [26] :
минимальна в начале поднятия или опускания; достигает максимального значения в середине хода. Такое поведение скорости движения крыла семафора[26] :
обеспечивает её плавность с незначительными начальными и конечными толчками; способствует преодолению сил инерции и трения , особенно сильных в начале работы привода крыла. Примечания Источники Брус Дж., Джиблин П. [англ.] Кривые и особенности: Геометрическое введение в теорию особенностей: Пер. с англ. И. Г. Щербак под ред. В. И. Арнольда . М.: Мир, 1988. 262 с, ил. (Современная математика. Вводные курсы) ISBN 5-03-001194-3 . [J. William Bruce, Peter G. Giblin. Curves and Singularities. A geometrical introduction to singularity theory. Cambridge: Cambridge University Press, 1984.]Линия // Большая советская энциклопедия . (В 30 томах) Гл. ред. А. М. Прохоров . Изд. 3-е. М.: «Советская энциклопедия », 1973. Т. 14. Куна — Ломами. 1973. 624 с. с илл., 32 л. илл., 6 л. карт. С. 466—470.Паскаля улитка // Математический энциклопедический словарь / Гл. ред. Ю. В. Прохоров ; Ред. Кол.: С. И. Адян , Н. С. Бахвалов , В. И. Битюцков, А. П. Ершов , Л. Д. Кудрявцев , А. Л. Онищик , А. П. Юшкевич . М.: «Советская энциклопедия », 1988. 847 с., ил. С. 452.Савелов А. А. Плоские кривые. Систематика, свойства, применения. (Справочное руководство) / Под ред. А. П. Нордена . М.: Физматлит, 1960. 293 с., ил.Соколов Д. Д. Паскаля улитка // Математическая энциклопедия : Гл. ред. И. М. Виноградов , т. 4 Ок—Сло. М.: «Советская Энциклопедия», 1984. 1216 стб., ил. Стб. 226—227.Улитка Паскаля // Энциклопедический словарь / Гл. ред. Б. А. Введенский , т. 3 Пращур—Яя. М.: «Большая Советская энциклопедия », 1955. 744 с., ил. С. 472—473.Шикин Е. В., Франк-Каменецкий М. М. Кривые на плоскости и в пространстве. Справочник с приложенипем дискеты «Плоские кривые». М.: ФАЗИС, 1997. 334 с., ил. ISBN 5-7036-0027-8 .Albrecht Dürer Underweysung der Messung, 1525.Ferréol Robert. Conchoid // ENCYCLOPÉDIE DES FORMES MATHÉMATIQUES REMARQUABLES Архивная копия от 6 марта 2023 на Wayback Machine Ferréol Robert. Limaçon (or snail) of Pascal // ENCYCLOPÉDIE DES FORMES MATHÉMATIQUES REMARQUABLES Архивная копия от 12 января 2024 на Wayback Machine Alfred Gray . Modern differential geometry of curves and surfaces with Mathematica . Third Edition by Elsa Abbena and Simon Salamon. Studies in Advanced Mathematics: Chapman and Hall/CRC, 2006. 982 p.Lawrence J. D. A Catalog of Special Plane Curves. New York: Dover Publications, Inc., 1972. 218 p.jan wassenaar limaçon // mathematical curves Архивная копия от 23 июля 2023 на Wayback Machine Weisstein Eric W. Limaçon // Wolfram MathWorld Архивная копия от 6 ноября 2020 на Wayback Machine Zwikker C. [англ.] The Advanced Geometry of Plane Curves and Their Applications [англ.] The Advanced Geometry of Plane Curves and Their Applications. New York: Dover Publications, Inc., 1963. 299 p. ISBN 10: 0486610780. ISBN 13: 9780486610788.Литература