Полиформа
Полифо́рма — плоская или пространственная геометрическая фигура, образованная путём соединения одинаковых ячеек — многоугольников или многогранников. Обычно ячейка представляет собой выпуклый многоугольник, способный замостить плоскость — например, квадрат или правильный треугольник. Некоторые виды полиформ имеют свои названия; например, полиформа, состоящая из равносторонних треугольников — полиамонд[5].
Первыми полиформами, использованными в занимательной математике, стали полимино — связные фигуры, состоящие из клеток бесконечной шахматной доски[6][7]. Название «полимино» было придумано Соломоном Голомбом в 1953 году и популяризировано Мартином Гарднером[8][9].
Полиформа, состоящая из n ячеек, может обозначаться как n-форма. Для указания числа ячеек в фигуре используются стандартные греческие и латинские приставки моно-, до-, три-, тетра-, пента-, гекса- и т. д.[7][10]
Правила соединения
Правила соединения ячеек могут быть различными и должны быть указаны в конкретном случае. Обычно принимаются следующие правила:
- Ячейки полиформы не должны перекрываться.
- Две соседние многоугольные (многогранные) ячейки должны иметь общее ребро (для трёхмерных полиформ - общую грань).
- Если допустить, что соседние ячейки могут иметь лишь общий угол (на плоскости) или общие ребро или вершину (в пространстве), то полиформа называется псевдополиформой (англ. pseudopolyform, pseudo-n-form)[7].
- Полиформа, состоящая из произвольных не обязательно связанных между собой ячеек на плоскости или в пространстве, называется квазиполиформой (англ. quasipolyform, quasi-n-form)[7].
Симметрии
В зависимости от того, разрешены ли вращения и зеркальные отражения, различаются следующие типы полиформ[7][11]:
- свободная (англ. free) или двусторонняя (англ. two-sided) полиформа — фигура, которую разрешено вращать и зеркально отображать;
- односторонняя (англ. one-sided) полиформа — плоская фигура, которую разрешено только вращать в плоскости, но нельзя переворачивать;
- фиксированная (англ. fixed) полиформа — фигура, которую не разрешено ни зеркально отображать, ни вращать.
Виды и применение полиформ
Полиформы могут использоваться в играх, головоломках, моделях. Одной из основных комбинаторных проблем, связанной с полиформами, является перечисление полиформ заданного вида. Другой задачей является укладка фигур из заданного набора (часто это всевозможные полиформы определённого вида, например, 12 пентамино) в заданную область (в случае пентамино это может быть прямоугольник 6×10).
Среди популярных головоломок и игр, основанных на полиформах — пентамино, кубики сома, тетрис, некоторые варианты судоку.
Форма ячейки (моноформа) Связность фигуры Полиформа 
квадрат сторона полимино (англ. polyomino)[7][11] сторона, угол псевдополимино[7][12]
полиплет (англ. polyplet)[13]
правильный треугольник сторона полиамонд (англ. polyiamond, polyamond)[7][14] 
правильный шестиугольник сторона полигекс (англ. polyhex)[7][15] 
куб грань поликуб (англ. polycube)[7][16] 
треугольник 45-45-90 сторона полиаболо (англ. polyabolo)[17] 
треугольник 30-60-90 сторона полидрафтер[англ.] (англ. polydrafter)[18] 
квадрат
(в трёхмерном пространстве)ребро (90°, 180°) полиминоид (англ. polyominoid) 
ромбододекаэдр грань полирон (англ. polyrhon)[1][2] 
отрезок конец (90°, 180°) полистик[англ.] (англ. polystick)[19]
Полиформы на гиперболических паркетах
На евклидовой плоскости существует лишь три правильных паркета — квадратный паркет, треугольный паркет и шестиугольный паркет. На этих трёх паркетах размещаются три наиболее «популярных» типа полиформ — полимино, полиамонды и полигексы соответственно.
На гиперболической плоскости существует бесконечное множество правильных паркетов, каждому из которых соответствует по меньшей мере один тип полиформ. На паркетах, в каждой вершине которых сходятся три многоугольника, существует один тип полиформ — объединения многоугольников, соединённых сторонами. На паркетах с четырьмя и более многоугольниками, сходящимися в вершине, можно рассматривать также аналоги псевдополимино — фигуры, образующиеся при соединении вершин многоугольников.
Сведения о количестве «гиперболических» полиформ и составлении из них фигур немногочисленны[22][21]. Так, на квадратном паркете порядка 5[20] существует 1 мономино, 1 домино, 2 тримино (они совпадают с «евклидовыми» мономино, домино и тримино), 5 тетрамино[21]. На правильном семиугольном паркете порядка 3[23] существует 10 тетрагептов — фигур, состоящих из четырёх связанных семиугольников[22], причём 7 из этих 10 тетрагептов можно уложить на евклидовой плоскости без перекрытия семиугольников[24].
Примечания
Литература
- Голомб С.В. Полимино = Polyominoes / Пер. с англ. В. Фирсова. Предисл. и ред. И. Яглома. — М.: Мир, 1975. — 207 с.
Ссылки
- Andrew Clarke The Poly Pages Архивная копия от 22 февраля 2015 на Wayback Machine (англ.)
- David Eppstein The Geometry Junkyard Архивная копия от 3 июля 2015 на Wayback Machine (англ.)
- Peter F. Esser Peter's Puzzle and Polyform Pages Архивная копия от 31 мая 2015 на Wayback Machine (англ.)
- Jaap Scherphuis PolyForm Puzzle Solver Архивная копия от 15 мая 2015 на Wayback Machine (англ.)
- George Sicherman Polyform Curiosities Архивная копия от 14 декабря 2014 на Wayback Machine (англ.)
- Miroslav Vicher Miroslav Vicher's Puzzles Pages Архивная копия от 4 апреля 2015 на Wayback Machine (англ.)
- Aad van de Wetering Letters en cijfers Архивная копия от 3 февраля 2020 на Wayback Machine (нид.)
- Livio Zucca PolyMultiForms Архивная копия от 17 августа 2015 на Wayback Machine (англ.)
- Kadon Enterprises, Inc. Polyform Puzzles Архивная копия от 15 октября 2015 на Wayback Machine (англ.)
- Alexandre Owen Muñiz Math at First Sight Архивная копия от 15 октября 2015 на Wayback Machine (англ.)