Квадратный паркет

Существует 9 различных однородных раскрасок квадратной мозаики. Цвета 4 квадратов по индексам цвета вокруг вершины: 1111, 1112(i), 1112(ii), 1122, 1123(i), 1123(ii), 1212, 1213, 1234. Помечены через (i) случаи с простой зеркальной симметрией и через (ii) случаи со скользящей зеркальной симметрией. Три из этих вариантов можно рассматривать в той же фундаментальной области как редуцированные раскраски — 1112_i получается из 1213, 1123_i из 1234, а 1112_ii из 1123_ii.

9 однородных раскрасок
1111	1212	1213	1112i	1122
p4m (*442)		p4m (*442)		pmm (*2222)
1234	1123i	1123ii	1112ii
pmm (*2222)		cmm (2*22)

Шахматная раскраска (цвета 1212) является основой для многих игр и головоломок, например, поле шахматной доски представляет собой квадратный паркет, также и для многих других игр на клетчатом поле, кроссвордов, полимино, модели «Жизнь» и других двумерных клеточных автоматов и т. п.

Доска одного цвета (цвета 1111) используется, например, в игре Го.

Эта мозаика топологически является частью последовательности правильных многогранников и мозаик, продолжающейся в гиперболической плоскости: {4,p}, p=3,4,5…

Варианты симметрии *n42 правильных мозаик: {4,n}
Сферические	Евклидовы	Компактные гиперболические				Паракомпактные
{4,3}	{4,4}	{4,5}	{4,6}	{4,7}	{4,8}...	{4,∞}

Квадратная мозаика являются частью последовательности правильных многогранников и мозаик, имеющих четыре грани на вершину. Последовательность начинается с октаэдра, символы Шлефли последовательности — {n,4}, а диаграммы Коксетера — при n, стремящемся к бесконечности.

Варианты симметрии *n42 правильных мозаик {n,4}
Сферические		Евклидовы	Гиперболические мозаики
24	34	44	54	64	74	84	...∞4

Варианты симметрии *n42 квазиправильных двойственных мозаик: V(4.n)2
Симметрия *4n2 [n,4]	Сферические	Евклидовы	Компактные гиперболические				Паракомпактные	Некомпактные
	*342 [3,4]	*442 [4,4]	*542 [5,4]	*642 [6,4]	*742 [7,4]	*842 [8,4]...	*∞42 [∞,4]	[iπ/λ,4]
Мозаика   Конф.	V4.3.4.3	V4.4.4.4	V4.5.4.5	V4.6.4.6	V4.7.4.7	V4.8.4.8	V4.∞.4.∞	V4.∞.4.∞

Варианты симметрии *n42 расширенных мозаик: n.4.4.4
Симметрия [n,4], (*n42)	Сферические	Евклидовы	Компактные гиперболические				Паракомпактные
	*342 [3,4]	*442 [4,4]	*542 [5,4]	*642 [6,4]	*742 [7,4]	*842 [8,4]	*∞42 [∞,4]
Расширенные тела
Конфиг.	3.4.4.4	4.4.4.4	5.4.4.4	6.4.4.4	7.4.4.4	8.4.4.4	∞.4.4.4
Ромбические тела конфиг.	V3.4.4.4	V4.4.4.4	V5.4.4.4	V6.4.4.4	V7.4.4.4	V8.4.4.4	V∞.4.4.4

Подобно однородным многогранникам существует восемь однородных мозаик^[англ.], имеющих в основе правильную квадратную мозаику.

Рисуя оригинальные грани красным цветом, оригинальные вершины жёлтым, а оригинальные рёбра синим, получим 8 различных мозаик. Однако существует только три топологически различных мозаики — квадратная мозаика, усечённая квадратная мозаика и плосконосая квадратная мозаика.

Однородные мозаики на основе симметрии квадратной мозаики
Симметрия: [4,4], (*442)							[4,4]+, (442)	[4,4+], (4*2)
{4,4}	t{4,4}	r{4,4}	t{4,4}	{4,4}	rr{4,4}	tr{4,4}	sr{4,4}	s{4,4}
Uniform duals
V4.4.4.4	V4.8.8	V4.4.4.4	V4.8.8	V4.4.4.4	V4.4.4.4	V4.8.8	V3.3.4.3.4

Другие четырёхугольные мозаики могут быть топологически эквивалентны квадратным мозаикам (4 четырёхугольника при каждой вершине).

Изоэдральные мозаики имеют одинаковые грани (транзитивность по граням) и они вершинно транзитивны. Имеется 18 вариантов, при этом 6 имеют треугольные грани, не соединяющиеся ребро-к-ребру, и ещё 6 состоят из четырёхугольников с двумя параллельными рёбрами (трапеций). Приведённая симметрия предполагает, что все грани выкрашены в один цвет^[2].

Изоэдральные четырёхугольные мозаики

Квадрат p4m, (*442)	Четырёхугольник p4g, (4*2)	Прямоугольник pmm, (*2222)	Параллелограмм p2, (2222)	Параллелограмм pmg, (22*)	Ромб cmm, (2*22)	Ромб pmg, (22*)
Трапеция cmm, (2*22)		Четырёхугольник pgg, (22×)	Дельтоид pmg, (22*)	Четырёхугольник pgg, (22×)	Четырёхугольник p2, (2222)

Вырожденные четырёхугольники или треугольники, не соприкасающиеся ребро-к-ребру

Равнобедренный pmg, (22*)	Равнобедренный pgg, (22×)		Неравносторонний pgg, (22×)		Неравносторонний p2, (2222)

Квадратную мозаику можно использовать для упаковки кругов, если размещать круги одинакового диаметра с центрами в вершинах квадратов. Каждый круг соприкасается с четырьмя другими кругами упаковки (контактное число)^[3]. Плотность упаковки равна ${\displaystyle \pi /4\approx 78{,}54\%}$ . Существует 4 однородных раскраски упаковки кругов.

Существует 3 правильных комплексных апейрогона, имеющих те же вершины, что и квадратная мозаика. Правильные комплексные апейрогоны имеют вершины и рёбра, при этом рёбра могут содержать 2 и более вершин. Правильные апейрогоны p{q}r ограничены выражением 1/p + 2/q + 1/r = 1. Здесь предполагается, что рёбра содержат p вершин, а вершинная фигура r-гональна^[4].

Самодвойственные	Двойственные
4{4}4 или	2{8}4 или	4{8}2 или

• Список правильных многомерных многогранников и соединений
• Список однородных мозаик^[англ.]
• Квадратная решётка
• Мозаики из выпуклых правильных многоугольников на евклидовой плоскости

• Weisstein, Eric W. Square Grid (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
• Weisstein, Eric W. Regular tessellation (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
• Weisstein, Eric W. Uniform tessellation (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.