Тензор энергии-импульса

Тензор энергии-импульса может быть записан в виде действительной симметричной матрицы 4x4:

${\displaystyle T^{\mu \nu }\ =\ \left({\begin{matrix}T^{00}&T^{01}&T^{02}&T^{03}\\T^{10}&T^{11}&T^{12}&T^{13}\\T^{20}&T^{21}&T^{22}&T^{23}\\T^{30}&T^{31}&T^{32}&T^{33}\end{matrix}}\right).}$

В нём обнаруживаются следующие физические величины:

• T⁰⁰ — объёмная плотность энергии. Как правило, она должна быть положительной, однако теоретически допускается существование локальных пространственных областей с отрицательной плотностью энергии. В частности, подобную область можно создать с помощью эффекта Казимира^[2].
• T¹⁰, T²⁰, T³⁰ — компоненты импульса плотности, умноженные на c.
• T⁰¹, T⁰², T⁰³ — компоненты потока энергии (вектора Пойнтинга), делённые на c. В силу симметрии T^μν соблюдается равенство: T^0μ = T^μ0
• Подматрица 3 x 3 из чисто пространственных компонент

${\displaystyle T^{ik}\ =\ \left({\begin{matrix}T^{11}&T^{12}&T^{13}\\T^{21}&T^{22}&T^{23}\\T^{31}&T^{32}&T^{33}\end{matrix}}\right)}$

есть 3-мерный тензор плотности потока импульса, или тензор напряжений со знаком минус.

Таким образом, компоненты тензора энергии-импульса имеют размерность ML⁻¹T⁻² (как у давления или плотности энергии).

Частные случаи

В механике жидкости диагональные её компоненты соответствуют давлению, а прочие составляющие — тангенциальным усилиям (напряжениям или в старой терминологии — натяжениям), вызванным вязкостью.

Для жидкости в покое тензор энергии-импульса сводится к диагональной матрице ${\displaystyle {\rm {diag}}({{\rho }c^{2}},~p,~p,~p)}$ , где ${\displaystyle {\rho }}$ есть плотность массы, а ${\displaystyle p}$  — гидростатическое давление.

• В простом случае пылевидной материи тензор энергии-импульса записывается как

${\displaystyle T^{ik}=\rho \,u^{i}u^{k}}$

где ${\displaystyle \rho }$  — плотность массы (покоя), ${\displaystyle u^{i},u^{k}}$  — компоненты 4-скорости — записано также для простейшего случая, когда все пылевые частицы движутся с одинаковой скоростью хотя бы локально, а если последнее не так, выражение надо ещё суммировать (интегрировать) по скоростям.

В специальной теории относительности физические законы одинаковы во всех точках пространства-времени, поэтому трансляции 4-координат не должны изменять уравнений движения поля. Таким образом, согласно теореме Нётер, бесконечно малым пространственно-временным трансляциям должен соответствовать сохраняющийся нётеровский поток, который в данном случае называется каноническим ТЭИ.

Для лагранжиана (плотности функции Лагранжа) ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{\mathrm {M} }={\mathcal {L}}_{\mathrm {M} }(\phi _{i},\partial _{\mu }\phi _{i})}$ , зависящего от полевых функций ${\displaystyle \phi _{i}}$ и их первых производных, но не зависящего от координат, функционал действия будет инвариантен относительно трансляций:

${\displaystyle {\begin{cases}x^{\mu }\to x^{\prime \mu }=x^{\mu }+\delta x^{\mu }\\\phi _{i}(x)\to \phi _{i}^{\prime }(x^{\prime })=\phi _{i}(x).\end{cases}}}$

Из теоремы Нётер будет следовать закон сохранение канонического ТЭИ (записан в галилеевых координатах)

${\displaystyle {{T_{c}}^{\mu }}_{\nu }(x)=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial {\mathcal {L}}_{\mathrm {M} }}{\partial (\partial _{\mu }\phi _{i})}}\partial _{\nu }\phi _{i}-{\mathcal {L}}_{\mathrm {M} }\delta _{\nu }^{\mu },}$

который имеет вид

${\displaystyle \partial _{\mu }{T^{\mu }}_{\nu }\equiv T_{\nu ,\;\mu }^{\mu }=0.}$

Канонический ТЭИ в полностью контравариантном виде имеет форму

${\displaystyle T^{\mu \nu }=g^{\nu \rho }\,{T^{\mu }}_{\rho }=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial {\mathcal {L}}_{\mathrm {M} }}{\partial (\partial _{\mu }\phi _{i})}}\partial ^{\nu }\phi _{i}-{\mathcal {L}}_{\mathrm {M} }g^{\mu \nu }.}$

Этот тензор неоднозначен. Свойство неоднозначности можно использовать для приведения, вообще говоря, несимметричного тензора ${\displaystyle T^{\mu \nu }}$ к симметризованному виду добавлением тензорной величины ${\displaystyle {\frac {\partial \psi ^{\mu \nu \lambda }}{\partial x^{\lambda }}}\;,}$ где тензор ${\displaystyle \psi ^{\mu \nu \lambda }\;}$ антисимметричен по двум последним индексам ${\displaystyle \psi ^{\mu \nu \lambda }=-\psi ^{\mu \lambda \nu }}$ . Действительно, для симметризованного ТЭИ

${\displaystyle \Theta ^{\mu \nu }=T^{\mu \nu }+\partial _{\lambda }\psi ^{\mu \nu \lambda }}$

автоматически следует закон сохранения ${\displaystyle \partial _{\nu }\Theta ^{\mu \nu }=0.}$

В общей теории относительности так называемый метрический ТЭИ ${\displaystyle T^{\mu \nu }(x)}$ выражается через вариационную производную по метрическому тензору ${\displaystyle g_{\mu \nu }}$ в точке ${\displaystyle x}$ пространства-времени от инвариантной относительно замен координат лагранжевой плотности функционала действия:

${\displaystyle {T_{m}}^{\mu \nu }(x)={\frac {2}{\sqrt {-g}}}{\frac {\delta ({\sqrt {-g}}{\mathcal {L}}_{\mathrm {M} })}{\delta g_{\mu \nu }(x)}}=g^{\mu \nu }{\mathcal {L}}_{\mathrm {M} }-2{\frac {\delta {\mathcal {L}}_{\mathrm {M} }}{\delta g_{\mu \nu }}}=}$

${\displaystyle ={\frac {2}{\sqrt {-g}}}\left({\frac {\partial ({\sqrt {-g}}{\mathcal {L}}_{\mathrm {M} })}{\partial g_{\mu \nu }(x)}}-{\frac {\partial }{\partial x^{\lambda }}}{\frac {\partial ({\sqrt {-g}}{\mathcal {L}}_{\mathrm {M} })}{\partial \displaystyle {\frac {\partial g_{\mu \nu }(x)}{\partial x^{\lambda }}}}}+\ldots \right),}$

где ${\displaystyle g(x)=\det \left(g_{\mu \nu }(x)\right).}$ Этот тензор энергии-импульса очевидно симметричен. В уравнения Эйнштейна метрический ТЭИ входит в качестве внешнего источника гравитационного поля:

${\displaystyle {\frac {c^{4}}{8\pi G}}\left(R_{\mu \nu }-{\frac {1}{2}}g_{\mu \nu }R+\Lambda g_{\mu \nu }\right)=T_{\mu \nu }(x),}$

где ${\displaystyle R_{\mu \nu }}$  — тензор Риччи, ${\displaystyle R=g^{\mu \nu }R_{\mu \nu }}$  — скалярная кривизна. Для этого тензора в силу инвариантности действия относительно координатных подстановок справедлив дифференциальный закон сохранения в виде

${\displaystyle T_{\nu ;\mu }^{\mu }=0.}$

В классической электродинамике тензор энергии-импульса электромагнитного поля в Международной системе единиц (СИ) имеет вид:

${\displaystyle T_{00}={\frac {\mathbf {E} \cdot \mathbf {D} }{2}}+{\frac {\mathbf {B} \cdot \mathbf {H} }{2}}}$

${\displaystyle {\begin{pmatrix}T_{01}&T_{02}&T_{03}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}T_{10}&T_{20}&T_{30}\end{pmatrix}}={\frac {1}{c}}\left[\mathbf {E} \times \mathbf {H} \right]}$

${\displaystyle T_{ij}=E_{i}D_{j}+B_{i}H_{j}-{\frac {1}{2}}\delta _{ij}(\mathbf {E} \cdot \mathbf {D} +\mathbf {B} \cdot \mathbf {H} )=E_{i}D_{j}+B_{i}H_{j}-\delta _{ij}T_{00}.}$

Пространственные компоненты ${\displaystyle T_{ij}}$ образуют трёхмерный тензор, который называют максвелловским тензором напряжений^[3] или тензором натяжений Максвелла^[4].

В ковариантной форме можно записать:

${\displaystyle T^{\mu \nu }=-{\frac {1}{\mu _{0}}}[F^{\mu \alpha }F_{\alpha }{}^{\nu }+{\frac {1}{4}}\eta ^{\mu \nu }F_{\alpha \beta }F^{\alpha \beta }]\,.}$

• Тензор кривизны
• Тензор Эйнштейна

• Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Теория поля. — Издание 8-е, стереотипное. — М.: Физматлит, 2001. — 534 с. — («Теоретическая физика», том II). — ISBN 5-9221-0056-4.
  • § 32 — канонический ТЭИ
  • § 94 — метрический ТЭИ.