Энергия-импульсның тензоры - матдәнең кырлары энергиясе һәм импульсы тыгызлыгын һәм агымын тасвирлаучы һәм гравитацион кыр белән тәэсир итешүне билгеләүче икенче ранглы симметрик тензор .
Энергия-импульсның тензоры Кыскача исем ТЭИ Канун яки назарияне тасвирлаучы фурмула T μ ν = − 2 det g δ S δ g μ ν = − 2 det g ∂ ( det g L ) ∂ g μ ν = − 2 ∂ L ∂ g μ ν + g μ ν L {\displaystyle T_{\mu \nu }=-{\frac {2}{\sqrt {\det g}}}{\frac {\delta S}{\delta g^{\mu \nu }}}=-{\frac {2}{\sqrt {\det g}}}{\frac {\partial ({\sqrt {\det g}}{\mathcal {L}})}{\partial g^{\mu \nu }}}=-2{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial g^{\mu \nu }}}+g_{\mu \nu }{\mathcal {L}}} Обозначение в формуле T μ ν {\displaystyle T_{\mu \nu }} , S {\displaystyle S} , g {\displaystyle g} һәм det g {\displaystyle {\sqrt {\det g}}} Нинди вики-проектка керә Проект:Математика[d]
Энергия-импульсның тензорының контрвариант компонентлары Махсус чагыштырмалылык теориясендә охшаш төшенчә - Энергия-импульсның 4-векторы бар.
Тасвир Энергия-импульс тензорының компонентлары 4x4 симметрик чын сандагы матрица төрендә язылып була:
T μ ν = ( T 00 T 01 T 02 T 03 T 10 T 11 T 12 T 13 T 20 T 21 T 22 T 23 T 30 T 31 T 32 T 33 ) . {\displaystyle T^{\mu \nu }\ =\ \left({\begin{matrix}T^{00}&T^{01}&T^{02}&T^{03}\\T^{10}&T^{11}&T^{12}&T^{13}\\T^{20}&T^{21}&T^{22}&T^{23}\\T^{30}&T^{31}&T^{32}&T^{33}\end{matrix}}\right).}
Бу тензорда физик зурлыклар күрсәтелгән:
T00 — энергиянең күләмдәге тыгызлыгы, гадәттә ул уңай булырга тиеш, ләкин теориядә тискәре энергия белән өлкәләр исәпкә алыналар. Мисал өчен бу өлкә Казимир эффектында булдырыла. T01 , T02 , T03 — энергиянең агымы (Пойнтинг векторы) компонентлары яктылык тизлегенә бүленгән. Tμν симметрисе буенча : T0μ = Tμ0 3 x 3 асматрицасы тик фәзаның компонентларыннан тора: T i k = ( T 11 T 12 T 13 T 21 T 22 T 23 T 31 T 32 T 33 ) {\displaystyle T^{ik}\ =\ \left({\begin{matrix}T^{11}&T^{12}&T^{13}\\T^{21}&T^{22}&T^{23}\\T^{31}&T^{32}&T^{33}\end{matrix}}\right)}
- бу импульсның агымы тыгызлыгының 3-үлчәмле тензоры, яки тискәре көчәнешләр тензоры.
Сыеклыкның механикасында тензорның диагональ компонентлары - басымга туры килә, ә бүтән компонентлары - тангенциаль көчләргә - көчәнешләргә туры килә, алар үзлелек белән булдырыла.
Сыеклык өчен Энергия-импульсның тензоры диагональ матрицага туры килә: d i a g ( ρ c 2 , p , p , p ) {\displaystyle ~{\rm {diag}}({{\rho }c^{2}},~p,~p,~p)} , биредә ρ {\displaystyle ~{\rho }} массаның тыгызлыгы, а p {\displaystyle ~p} — гидростатик басым.
Гади очракта: тузан сыман матдә өчен Энергия-импульсның тензоры болай бирелә: T i k = ρ u i u k {\displaystyle T^{ik}=\rho \,u^{i}u^{k}} биредә ρ {\displaystyle \rho } — тикторыш массаның тыгызлыгы, u i , u k {\displaystyle u^{i},u^{k}} — 4-тизлекнең компонентлары , биредә барлык кисәкчекләр бертигез тизлекләр белән хәрәкәт итәләр.
Каноник энергия-импульсның тензоры Махсус чагыштырмалылык теориясендә физик кануннар фәза-вакытның барлык юнәлешләрендә бертигез булырга тиеш, шуңа күрә координатларның күчүе кануннарны үзгәртмәскә тиеш. Нөтер теоремасы буенча фәза-вакытның кечкенә күчүенә саклана торган Нөтер агымы туры килә.
Лангранжиан тыгызлыгы L M = L M ( ϕ i , ∂ μ ϕ i ) {\displaystyle {\mathcal {L}}_{\mathrm {M} }={\mathcal {L}}_{\mathrm {M} }(\phi _{i},\partial _{\mu }\phi _{i})} кечкенә күчүләргә карата инвариант була:
{ x μ → x ′ μ = x μ + δ x μ ϕ i ( x ) → ϕ i ′ ( x ′ ) = ϕ i ( x ) . {\displaystyle {\begin{cases}x^{\mu }\to x^{\prime \mu }=x^{\mu }+\delta x^{\mu }\\\phi _{i}(x)\to \phi _{i}^{\prime }(x^{\prime })=\phi _{i}(x).\end{cases}}} Нөтер теоремасы буенча каноник Энергия-импульсның тензоры саклану кануны чыга:
T c μ ν ( x ) = ∑ i = 1 n ∂ L M ∂ ( ∂ μ ϕ i ) ∂ ν ϕ i − L M δ ν μ , {\displaystyle {{T_{c}}^{\mu }}_{\nu }(x)=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial {\mathcal {L}}_{\mathrm {M} }}{\partial (\partial _{\mu }\phi _{i})}}\partial _{\nu }\phi _{i}-{\mathcal {L}}_{\mathrm {M} }\delta _{\nu }^{\mu },} Энергия-импульсның тензоры:
∂ μ T μ ν ≡ T ν , μ μ = 0. {\displaystyle \partial _{\mu }{T^{\mu }}_{\nu }\equiv T_{\nu ,\;\mu }^{\mu }=0.} Контрвариант төрендә Энергия-импульсның тензоры:
T μ ν = g ν ρ T μ ρ = ∑ i = 1 n ∂ L M ∂ ( ∂ μ ϕ i ) ∂ ν ϕ i − L M g μ ν . {\displaystyle T^{\mu \nu }=g^{\nu \rho }\,{T^{\mu }}_{\rho }=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial {\mathcal {L}}_{\mathrm {M} }}{\partial (\partial _{\mu }\phi _{i})}}\partial ^{\nu }\phi _{i}-{\mathcal {L}}_{\mathrm {M} }g^{\mu \nu }.} Классик электродинамикада энергия-импульс тензоры СИ системасында электромагнит кырының энергия-импульс тензоры:
T 00 = E ⋅ D 2 + B ⋅ H 2 {\displaystyle T_{00}={\frac {\mathbf {E} \cdot \mathbf {D} }{2}}+{\frac {\mathbf {B} \cdot \mathbf {H} }{2}}} ( T 01 T 02 T 03 ) = ( T 10 T 20 T 30 ) = 1 c [ E × H ] {\displaystyle {\begin{pmatrix}T_{01}&T_{02}&T_{03}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}T_{10}&T_{20}&T_{30}\end{pmatrix}}={\frac {1}{c}}\left[\mathbf {E} \times \mathbf {H} \right]} T i j = E i D j + B i H j − 1 2 δ i j ( E ⋅ D + B ⋅ H ) = E i D j + B i H j − δ i j T 00 . {\displaystyle T_{ij}=E_{i}D_{j}+B_{i}H_{j}-{\frac {1}{2}}\delta _{ij}(\mathbf {E} \cdot \mathbf {D} +\mathbf {B} \cdot \mathbf {H} )=E_{i}D_{j}+B_{i}H_{j}-\delta _{ij}T_{00}.} T i j {\displaystyle T_{ij}} - өч үлчәмле Максвелл көчәнешләр тензоры
Ковариант төрендә ул болай күренә:
T μ ν = − 1 μ 0 [ F μ α F α ν + 1 4 η μ ν F α β F α β ] . {\displaystyle T^{\mu \nu }=-{\frac {1}{\mu _{0}}}[F^{\mu \alpha }F_{\alpha }{}^{\nu }+{\frac {1}{4}}\eta ^{\mu \nu }F_{\alpha \beta }F^{\alpha \beta }]\,.}
Искәрмәләр Әдәбият Ландау, Л. Д., Лифшиц, Е. М. Теория поля. — Издание 8-е, стереотипное. — М.: Физматлит, 2001. — 534 с. — («Теоретическая физика», том II). — ISBN 5-9221-0056-4 . § 32 — канонический ТЭИ § 94 — метрический ТЭИ.