Теорема Фенхеля о повороте кривой
Теорема Фенхеля утверждает, что вариация поворота любой замкнутой кривой не меньше и равенство достигается только в случае выпуклой плоской кривой.В частности, средняя кривизна замкнутой кривой длины не может быть меньше .
Теорема доказана Вернером Фенхелем.[1]
О доказательстве
Обычно доказательство строится на утверждении, что сферическая кривая длины меньше чем лежит в открытой полусфере.Это утверждение можно доказать например применением формулы Крофтона, но известны и более элементарные доказательства.
Остаётся заметить что кривая образованная единичными касательными векторами (касательная индикатриса) к исходной кривой не может лежать в открытой полусфере.Значит её длина не меньше , длина же этой кривой совпадает с интегралом кривизны.
Вариации и обобщения
- Лемма Решетняка о хорде. Если регулярная гладкая
подходит к своей хорде
под углами
и
, то поворот кривой
хотя бы
.
- Это утверждение легко следует из теоремы Фенхеля, но зачастую его удобней использовать. Например сама теорема Фенхеля следует если применить лемму к разбиению замкнутой кривой на две дуги.
Примечания
Литература
- Топоногов, В. А. Дифференциальная геометрия кривых и поверхностей. — Физматкнига, 2012. — ISBN 978-5-89155-213-5.
🔥 Top keywords: Заглавная страницаЯндексЦивилёва, Анна ЕвгеньевнаБотулизмСлужебная:ПоискЧемпионат Европы по футболу 2024Годовщины свадьбыYouTubeГорнин, Леонид ВладимировичЦивилёв, Сергей ЕвгеньевичШевцова, Татьяна ВикторовнаКурбан-байрамЧемпионат Европы по футболу 2020Фрадков, Михаил ЕфимовичБРИКССпортивные игры БРИКС 2024Список умерших в 2024 годуДом Дракона (2-й сезон)Мбаппе, КилианПопов, Павел АнатольевичРоссияСавельев, Олег ГенриховичЧемпионат Европы по футболуЦаликов, Руслан ХаджисмеловичСборная Украины по футболуБриджертоныПацаны (4-й сезон)Путин, Владимир ВладимировичКлеопатраЛепс, Григорий ВикторовичЛукаку, РомелуДом ДраконаГоловоломка 2Криштиану РоналдуТедеско, ДоменикоСборная Румынии по футболуРебров, Сергей СтаниславовичЧикатило, Андрей РомановичСборная Франции по футболу