Формула Крофтона
Текущая версия страницы пока не проверялась опытными участниками и может значительно отличаться от версии, проверенной 25 апреля 2021 года; проверки требует 1 правка.
Формула Крофтона — классический результат интегральной геометрии.Связывает длину кривой со средним числом пересечений с прямыми.
Названа в честь Моргана Крофтона.
Формулировка
Пусть — спрямляемая плоская кривая.Для прямой , обозначим через число точек, в которых и пересекаются.Мы можем параметризовать ориентированные прямые углом к выбранному направлению и расстоянием от начала координат, взятым со знаком.Тогда длина кривой равна
Замечания
- инвариантна относительно движений плоскости. Таким образом, она даёт естественную меру для интегрирования.
- Формула Крофтона эквивалентна следующему утверждению: Длина кривой прямо пропорциональна средней длине её ортогональных проекций. При этом длина проекции считается с учётом кратности.
Приложения
Формула Крофтона даёт доказательства следующих результатов:
- Если замкнутая плоская кривая обходит вокруг выпуклой кривой, то эта выпуклая кривая имеет меньшую длину.
- Теорема Барбье: Кривая постоянной ширины имеет периметр .
- Изопериметрические неравенства: среди замкнутых кривых с заданным периметром, круг имеет максимальную площадь.
- Если сферическая кривая имеет длину меньше , то она лежит в открытой полусфере. Это утверждение является ключевым в доказательстве теоремы Фенхеля о повороте кривой.
Вариации и обобщения
- Формула Крофтона обобщается для любой римановой поверхности; при этом для интегрирования используется естественная мера на пространстве геодезических фиксированной длины.
- Например, длина кривой на единичной сфере равна , где обозначает среднее число пересечений кривой с окружностями большого круга.
- Преобразование Радона может рассматриваться как обобщение формулы Крофтона в теории меры.
- Формула Сантало
Литература
- Tabachnikov, Serge[англ.]. Geometry and Billiards (англ.). — AMS, 2005. — P. 36—40. — ISBN 0-8218-3919-5.
- Santalo, L. A. Introduction to Integral Geometry (англ.). — 1953. — P. 12—13, 54.
- Лекция 19 в Табачников С.Л.. Фукс Д.Б. Математический дивертисмент. — МЦНМО, 2011. — 512 с. — 2000 экз. — ISBN 978-5-94057-731-7.
🔥 Top keywords: Заглавная страницаЯндексНовая КаледонияСлужебная:ПоискСтанкович, ДеянYouTubeБелоусов, Андрей РэмовичДюмин, Алексей ГеннадьевичЯсукэАндрияка, Сергей НиколаевичШойгу, Сергей КужугетовичФицо, РобертГодовщины свадьбыПопков, Михаил ВикторовичВолчанск (Украина)ВКонтактеПутин, Владимир ВладимировичРоссияМинистерство неджентльменских делСписок умерших в 2024 годуЕвровидение-2024TelegramФоллаут (телесериал)Чемпионат мира по хоккею с шайбой 2024Покушение на Роберта ФицоХарьковМинистр обороны Российской ФедерацииСловакияFallout (серия игр)Вторжение России на Украину (с 2022)КлеопатраNemo (певец)Усик, Александр АлександровичМедведев, Дмитрий АнатольевичФьюри, ТайсонЧикатило, Андрей Романович16 маяСлужебная:Моё обсуждениеГазель (автомобиль)