Тропическая геометрия
Тропическая геометрия — появившаяся в 2000-е годы область в математике, исходно возникшая в информатике, и связанная с алгебраической и симплектической геометрией. Исследуемые в ней объекты являются пределом образов амёб обычных алгебраических многообразий при вырождении последних.[1]
Название «тропическая» отдаёт честь бразильской школе[1] — пионерским работам бразильского математика венгерского происхождения Имре Шимона[порт.][2][3][4], исследовавшего тропическое полукольцо в связи с вопросами информатики и теории оптимизации[5].
Независимо от бразильской школы термин «тропическая» к тому же разделу математики с середины 1980-х годов применял В. П. Маслов. По его мысли, «идемпотентный (тропический) анализ» через посредство термодинамики описывал с экономической точки зрения европейскую колонизацию тропической Африки. Термин «идемпотентный» в научной среде не прижился, а термин «тропическая» применительно к новой математике, как более благозвучный и ёмкий, оказался очень популярным, хотя разные школы вкладывают в него разный смысл[6][7].
Основные понятия
- Тропическое полукольцо (или тропическое полуполе) — множество вещественных чисел , снабжённое операциями тропического сложения и тропического умножения
- Тропический многочлен степени на плоскости — кусочно-аффинная функция вида
Аналогично, тропический многочлен в общем случае — кусочно-аффинная функция вида
- Тропическая кривая на плоскости, соответствующая данному тропическому многочлену степени — граф на плоскости, вершины и рёбра (конечные и бесконечные) которого образуют множество точек негладкости функции . Рёбра этого графа считаются снабжёнными кратностями: ребро, разделяющее области линейности, отвечающие набору степеней и , снабжается кратностью, равной наибольшему общему делителю разностей и .
- В частности, тропическая прямая есть объединение трёх лучей, исходящих из некоторой точки и направленных вниз, влево и вправо-вверх под 45°. Тропические прямые обладают свойствами, аналогичными свойствам обычных прямых: через любые две точки общего положения проходит ровно одна тропическая прямая, и две тропические прямые общего положения пересекаются в единственной точке.
Примечания
Литература
- Itenberg I., Mikhalkin G., Shustin E. Tropical algebraic geometry. — Basel: Springer, 2009. — viii+104 с. — (Oberwolfach Seminars).
- М. Э. Казарян. Тропическая геометрия. — М.: МЦНМО, 2012. — 43 с. — (Летняя школа «Современная математика»). — 1000 экз. — ISBN 978-5-94057-966-3.