Фрактал

Термин «фрактал» был введён математиком Бенуа Мандельбротом в 1975 году^[1]. Мандельброт описал введение термина следующим образом:

"Я создал термин фрактал от латинского прилагательного fractus. Соответствующий латинский глагол frangere означает «разрывать, прерывать»: создавать нерегулярные фрагменты. Это, следовательно, имеет (подходящее для нас!) значение дополнительное к термину «фрагментированный» (как и к фракция (fraction), рефракция (refraction)), fractus также «нерегулярный», оба значения сохраняются в термине fragment.Правильнее произносить — frac’tal — с ударением таким же, как и в слове fraction.Сочетание «фрактальное множество» (fractal set) будет определена строго, но сочетание «природный фрактал» (nature fractal) будет подано свободно — для определения природных примеров, которые полезно репрезентировать с помощью фрактальных множеств. Например, броуновская кривая — это фрактальное множество, а физическое броуновское движение — это природный фрактал.

— ^[2]

Самоподобные множества с необычными свойствами в математике

Начиная с конца XIX века, в математике появляются примеры самоподобных объектов с патологическими с точки зрения классического анализа свойствами. К ним можно отнести следующие:

• множество Кантора — нигде не плотное несчётное совершённое множество. Модифицировав процедуру, можно также получить нигде не плотное множество положительной длины;
• треугольник Серпинского («скатерть») и ковёр Серпинского — аналоги множества Кантора на плоскости;
• губка Менгера — аналог ковра Серпинского в трёхмерном пространстве;
• Ковёр Аполлония — множество всевозможных последовательностей окружностей, каждая из которых касается трёх уже построенных;
• примеры Вейерштрасса и Ван дер Вардена нигде не дифференцируемой непрерывной функции;
• кривая Коха — несамопересекающаяся непрерывная кривая бесконечной длины, не имеющая касательной ни в одной точке;
• кривая Пеано — непрерывная кривая, проходящая через все точки квадрата;
• траектория броуновской частицы также с вероятностью 1 нигде не дифференцируема. Её хаусдорфова размерность равна двум^[3].

Рекурсивная процедура получения фрактальных кривых

Существует простая рекурсивная процедура получения фрактальных кривых на плоскости. Зададим произвольную ломаную с конечным числом звеньев, называемую генератором. Далее заменим в ней каждый отрезок генератором (точнее, ломаной, подобной генератору). В получившейся ломаной вновь заменим каждый отрезок генератором. Продолжая до бесконечности, в пределе получим фрактальную кривую. На рисунке справа приведены первый, второй и четвёртый шаги этой процедуры для кривой Коха.

Примерами таких кривых служат:

• кривая Коха (снежинка Коха),
• кривая Леви,
• кривая Минковского,
• кривая Гильберта
• Ломаная (кривая) дракона (Фрактал Хартера-Хейтуэя),
• кривая Пеано.
• Кривая Мякишева

С помощью похожей процедуры получается дерево Пифагора.

Фракталы как неподвижные точки сжимающих отображений

Свойство самоподобия можно математически строго выразить следующим образом. Пусть ${\displaystyle \psi _{i},\,i=1,\dots ,n}$  — сжимающие отображения плоскости. Рассмотрим следующее отображение на множестве всех компактных (замкнутых и ограниченных) подмножеств плоскости:${\displaystyle \Psi \colon K\mapsto \cup _{i=1}^{n}\psi _{i}(K)}$

Можно показать, что отображение ${\displaystyle \Psi }$ является сжимающим отображением на множестве компактов с метрикой Хаусдорфа. Следовательно, по теореме Банаха, это отображение имеет единственную неподвижную точку. Эта неподвижная точка и будет нашим фракталом.

Рекурсивная процедура получения фрактальных кривых, описанная выше, является частным случаем данной конструкции. В ней все отображения ${\displaystyle \psi _{i},\,i=1,\dots ,n}$  — отображения подобия, а ${\displaystyle n}$  — число звеньев генератора.

Для треугольника Серпинского ${\displaystyle n=3}$ и отображения ${\displaystyle \psi _{1}}$ , ${\displaystyle \psi _{2}}$ , ${\displaystyle \psi _{3}}$  — гомотетии с центрами в вершинах правильного треугольника и коэффициентом 1/2. Легко видеть, что треугольник Серпинского переходит в себя при отображении ${\displaystyle \Psi }$ .

В случае, когда отображения ${\displaystyle \psi _{i}}$  — преобразования подобия с коэффициентами ${\displaystyle r_{i}>0}$ , размерность ${\displaystyle s}$ фрактала (при некоторых дополнительных технических условиях) может быть вычислена как решение уравнения ${\displaystyle r_{1}^{s}+r_{2}^{s}+\dots +r_{n}^{s}=1}$ . Так, для треугольника Серпинского получаем ${\displaystyle s=\ln 3/\ln 2}$ .

По той же теореме Банаха, начав с любого компактного множества и применяя к нему итерации отображения ${\displaystyle \Psi }$ , мы получим последовательность компактов, сходящихся (в смысле метрики Хаусдорфа) к нашему фракталу.

Фракталы в комплексной динамике

Фракталы естественным образом возникают при изучении нелинейных динамических систем. Наиболее изучен случай, когда динамическая система задаётся итерациями многочлена или голоморфной функции комплексной переменной на плоскости. Первые исследования в этой области относятся к началу 20 века и связаны с именами Фату и Жюлиа.

Пусть ${\displaystyle F(z)}$  — многочлен, ${\displaystyle z_{0}}$  — комплексное число. Рассмотрим следующую последовательность: ${\displaystyle z_{0},z_{1}=F(z_{0}),z_{2}=F(F(z_{0}))=F(z_{1}),z_{3}=F(F(F(z_{0})))=F(z_{2}),...}$

Нас интересует поведение этой последовательности при стремлении ${\displaystyle n}$ к бесконечности. Эта последовательность может:

• стремиться к бесконечности,
• стремиться к конечному пределу,
• демонстрировать в пределе циклическое поведение, например: ${\displaystyle z_{1},z_{2},z_{3},z_{1},z_{2},z_{3},...}$
• вести себя хаотично, то есть не демонстрировать ни один из трёх упомянутых типов поведения.

Множества значений ${\displaystyle z_{0}}$ , для которых последовательность демонстрирует один конкретный тип поведения, а также множества точек бифуркации между различными типами, часто обладают фрактальными свойствами.

Так, множество Жюлиа — множество точек бифуркации для многочлена ${\displaystyle F(z)=z^{2}+c}$ (или другой похожей функции), то есть тех значений ${\displaystyle z_{0}}$ , для которых поведение последовательности ${\displaystyle z_{n}}$ может резко меняться при сколь угодно малых изменениях ${\displaystyle z_{0}}$ .

Другой вариант получения фрактальных множеств — введение параметра в многочлен ${\displaystyle F(z)}$ и рассмотрение множества тех значений параметра, при которых последовательность ${\displaystyle z_{n}}$ демонстрирует определённое поведение при фиксированном ${\displaystyle z_{0}}$ . Так, множество Мандельброта — это множество всех ${\displaystyle c\in \mathbb {C} }$ , при которых ${\displaystyle z_{n}}$ для ${\displaystyle F(z)=z^{2}+c}$ и ${\displaystyle z_{0}}$ не стремится к бесконечности.

Ещё один известный пример такого рода — бассейны Ньютона.

Популярно создание красивых графических образов на основе комплексной динамики путём раскрашивания точек плоскости в зависимости от поведения соответствующих динамических систем. Например, для дополнения множества Мандельброта можно раскрасить точки в зависимости от скорости стремления ${\displaystyle z_{n}}$ к бесконечности (определяемой, скажем, как наименьший номер ${\displaystyle n}$ , при котором ${\displaystyle |z_{n}|}$ превысит фиксированную большую величину ${\displaystyle A}$ ).

Биоморфы — фракталы, построенные на основе комплексной динамики и напоминающие живые организмы.

Стохастические фракталы

Природные объекты часто имеют фрактальную форму. Для их моделирования могут применяться стохастические (случайные) фракталы. Примеры стохастических фракталов:

• траектория броуновского движения на плоскости и в пространстве;
• граница траектории броуновского движения на плоскости. В 2001 году Лоулер, Шрамм и Вернер доказали предположение Мандельброта о том, что её размерность равна 4/3.
• эволюции Шрамма-Лёвнера  (англ.) (рус. — конформно-инвариантные фрактальные кривые, возникающие в критических двумерных моделях статистической механики, например, в модели Изинга и перколяции.
• различные виды рандомизированных фракталов, то есть фракталов, полученных с помощью рекурсивной процедуры, в которую на каждом шаге введён случайный параметр. Плазма — пример использования такого фрактала в компьютерной графике.

Природные объекты, обладающие фрактальными свойствами

Природные объекты (квазифракталы) отличаются от идеальных абстрактных фракталов неполнотой и неточностью повторений структуры. Большинство встречающихся в природе фракталоподобных структур (линия берега, деревья, листья растений, кораллы, …) являются квазифракталами, поскольку на некотором малом масштабе фрактальная структура исчезает. Природные структуры не могут быть идеальными фракталами из-за ограничений, накладываемых размерами живой клетки и, в конечном итоге, размерами молекул.

• В живой природе:
  • Кораллы
  • Морские звезды и ежи
  • Морские раковины
  • Цветы и растения (брокколи, капуста)
  • Кроны деревьев и листья растений
  • Плоды (ананас)
  • Система кровообращения и бронхи людей и животных
• В неживой природе:
  • Границы географических объектов (стран, областей, городов)
  • Береговые линии
  • Горные хребты
  • Снежинки
  • Облака
  • Молнии
  • Морозные узоры на оконных стёклах
  • Кристаллы
  • Сталактиты, сталагмиты, геликтиты.

Естественные науки

В физике фракталы естественным образом возникают при моделировании нелинейных процессов, таких как турбулентное течение жидкости, сложные процессы диффузии-адсорбции, пламя, облака и тому подобное. Фракталы используются при моделировании пористых материалов, например, в нефтехимии. В биологии они применяются для моделирования популяций и для описания систем внутренних органов (система кровеносных сосудов). После создания кривой Коха было предложено использовать её при вычислении протяжённости береговой линии.

Радиотехника

Фрактальные антенны

Использование фрактальной геометрии при проектировании антенных устройств было впервые применено американским инженером Натаном Коэном, который тогда жил в центре Бостона, где была запрещена установка внешних антенн на здания. Натан вырезал из алюминиевой фольги фигуру в форме кривой Коха и наклеил её на лист бумаги, затем присоединил к приёмнику.

Коэн основал собственную компанию и наладил серийный выпуск своих антенн. C тех пор теория фрактальных антенн продолжает интенсивно развиваться.^[4][5][6]Преимуществом таких антенн является многодиапазонность и сравнительная широкополосность.

Информатика

Сжатие изображений

Существуют алгоритмы сжатия изображения с помощью фракталов. Они основаны на идее о том, что вместо самого изображения можно хранить сжимающее отображение, для которого это изображение (или некоторое близкое к нему) является неподвижной точкой. Один из вариантов данного алгоритма был использован^[7] фирмой Microsoft при издании своей энциклопедии, но большого распространения эти алгоритмы не получили.

Компьютерная графика

Фракталы широко применяются в компьютерной графике для построения изображений природных объектов, таких как деревья, кусты, горные ландшафты, поверхности морей и так далее. Существует множество программ, служащих для генерации фрактальных изображений, см. Генератор фракталов (программа).

Децентрализованные сети

Система назначения IP-адресов в сети Netsukuku использует принцип фрактального сжатия информации для компактного сохранения информации об узлах сети. Каждый узел сети Netsukuku хранит всего 4 Кб информации о состоянии соседних узлов, при этом любой новый узел подключается к общей сети без необходимости в центральном регулировании раздачи IP-адресов, что, например, характерно для сети Интернет. Таким образом, принцип фрактального сжатия информации гарантирует полностью децентрализованную, а следовательно, максимально устойчивую работу всей сети.

• Фракталы и Хаос — Проект издательства научно-популярной литературы «СТРАТА», СПб
• Системы Линденмайера (L-Системы). Онлайн инструмент для генерации геометрических фракталов.
• Фракталы в простых числах — Статья Сергея Герасимова на habrahabr
• Статья о фракталах. Приведены примеры расчёта и построения графической интерпретации некоторых алгебраических и геометрических фракталов. Имеются ссылки на онлайн генераторы и исходные коды на C#.
• Надежда Атаева, Фрактальные множества (Санкт-Петербургский государственный университет: ПМ-ПУ)
• Обаяние самоподобия. Лампочка Мандельброта и многое другое в галерее фракталов от Ленты. Ру // Лента. Ру, 27 фото.
• Фракталы — геометрия природы. Реализация фракталов в delphi и многое другое в Клубе программистов.
• «Фракталы. Поиски новых размерностей» (англ. Fractals. Hunting The Hidden Dimension) — научно-популярный фильм, снятый в 2008 г.
• Фракталы на Элементы.ру
• J. J. O'Connor, E. F. Robertson. A History of Fractal Geometry  (неопр.). MacTutor History of Mathematics archive. School of Mathematics and Statistics, University of St Andrews, Scotland (февраль 2009).
• Гелашвили Д.Б., Иудин Д.И., Розенберг Г.С., Якимов В.Н., Солнцев Л.А. Фракталы и мультифракталы в биоэкологии. Нижний Новгород: Изд-во Нижегородского госуниверситета, 2013. 370 с.