Фрактал

Слова «фрактал» часта нясе розныя сэнсы для непрафесіяналаў і матэматыкаў. Грамадскасць звычайна больш знаёмая з фрактальным мастацтвам, чым з матэматычным паняццем. Для спрашчэння разумення мы будзем апісваць паняцце па яго ключавых рысах, не па яго навуковым вызначэнні.

Так, рысу «самападабенства» лёгка зразумець па аналогіі з павелічэннем з дапамогай аб’ектыва або іншай прылады, якая павялічвае лічбавыя выявы, каб выявіць больш тонкія, раней нябачныя новыя прыкметы. Калі гэта робіцца на фракталах, новыя дэталі не з’яўляюцца; нічога не мяняецца, і амаль адна і тая ж карціна паўтараецца зноў. Самападабенства само па сабе не абавязкова з’яўляецца супрацьінтуітыўным (так, людзі разважалі аб самападабенстве нефармальна, напрыклад, у бясконцым шэрагу адлюстраванняў у паралельных люстэрках, або ў Гамункуле, маленькім чалавеку ў галаве маленькага чалавека ў галаве…). Розніца для фракталаў заключаецца ў тым, што выяўлены ўзор павінен быць дэталізаваны. ^{[1] [2] [15]}

Гэтая ідэя дэталізацыі звязана з іншай рысай, якую можна зразумець без спецыяльнай матэматычнай падрыхтоўкі. Фрактальная памернасць, большая за тапалагічную памернасць, значыць, што фрактал маштабуецца троху інакш, чым звычайныя геаметрычныя фігуры. Прамая лінія, напрыклад, звычайна разумеецца як аднамерная; калі такую фігуру разбіць на кавалкі, кожны памерам 1/3 даўжыні арыгінала, то заўсёды застаецца тры роўныя часткі. Суцэльны квадрат разумеецца як двухмерны; калі такую фігуру разбіць на кавалкі, кожная паменшаная ў 1/3 у абодвух вымярэннях, агулам атрымаецца 3² = 9 частак.

Мы бачым, што для звычайных самападобных аб’ектаў n-мернасць азначае, што, калі іх разбіваць на кавалкі, кожны з якіх памяншаецца на каэфіцыент 1/r, агулам застаецца rⁿ частак. Разгледзім крывую Коха. Яе можна разбіць на чатыры часткі, кожная у маштабе 1/3. Такім чынам, строга па аналогіі, мы можам разглядаць «памернасць» крывой Коха як сапраўдны лік D, які задавальняе 3^D = 4. Матэматыкі называюць гэты лік фрактальнай памернасцю крывой Коха. Вядома, гэта не тое, што звычайна ўспрымаецца як памернасць крывой (гэты лік нават не цэлы!). Так, крывая Коха мае фрактальную памернасць, якая адрозніваецца ад яе звычайна зразумелай памернасці (або яе тапалагічнай памернасці), і гэта вызначае яе як фрактал.

Гэта таксама прыводзіць да разумення трэцяй асаблівасці, што фракталы як матэматычныя ўраўненні «нідзе не дыферэнцыруюцца». У канкрэтным сэнсе гэта азначае, што традыцыйныя спосабы вымярэння недастатковыя для фракталаў. ^{[1] [4]} Спрабуючы вылічыць даўжыню хвалістай нефрактальнай крывой, можна знайсці прамыя адрэзкі нейкага вымяральнага інструмента, дастаткова малыя, каб палажыць іх упрытык да хваляў. Кавалкі могуць быць дастаткова малымі, каб лічыцца шчыльна і дакладна дапасаванымі да хвалістай крывой, падобна да звычайнага спосабу вымярэння рулеткай.

Пры вымярэнні бясконца «хілістай» фрактальнай крывой, такой як сняжынка Коха, ніколі не знойдзецца досыць малы прамы адрэзак, каб адпавядаць крывой. Няроўны ўзор заўсёды будзе з’яўляцца зноўку, у як заўгодна малых маштабах. Гэты ўзор кожны раз будзе цягнуць больш і больш рулеткі ў агульную даўжыню, калі вы паспрабуеце прыкласці рулетку ўсё шчыльней і шчыльней да крывой. У выніку спатрэбіцца бясконцая стужка, каб ідэальна пакрыць усю крывую, г. зн. сняжынка мае бясконцы перыметр. ^[1]

У 1904 годзе Хельге фон Кох, пашыраючы ідэі Пуанкарэ і незадаволены абстрактным і аналітычным вызначэннем Вейерштраса, даў больш геаметрычнае вызначэнне, уключаючы намаляваныя ад рукі выявы падобнай функцыі, якая цяпер называецца сняжынкай Коха. ^{[8]:25 [9]} У 1915 годзе Вацлаў Сярпінскі пабудаваў свой знакаміты трохкутнік, а праз год — дыван. Да 1918 г. два французскія матэматыкі, П’ер Фату і Гастон Жуліа, хоць і працавалі незалежна адзін ад аднаго, па сутнасці, адначасова прыйшлі да вынікаў, якія апісваюць тое, што цяпер разглядаецца як фрактальныя паводзіны, звязаныя з адлюстраваннем комплексных лікаў і ітэрацыйных функцый. Гэтыя фрактальныя рысы падказалі далейшыя ідэі аб атрактарах і рэпелерах (г. зн. кропках, якія прыцягваюць або адштурхваюць іншыя кропкі), якія сталі наступнай вехай у вывучэнні фракталаў. ^{[4] [8] [9]}

Неўзабаве пасля таго, як гэтая праца была прадстаўлена, у сакавіку 1918 года Фелікс Хаўсдорф пашырыў вызначэнне «размернасці», істотна для эвалюцыі вызначэння фракталаў, каб дазволіць мноствам мець нецэлалікі памер. ^[9] Ідэю самападобных крывых удасканаліў Поль Леві, які ў сваёй працы 1938 года «Крывыя і паверхні ў плоскасці або прасторы, якія складаюцца з частак, падобных да цэлага», апісаў новую фрактальную крывую — крывую Леві C.

Без дапамогі сучаснай камп’ютарнай графікі першыя даследчыкі былі абмежаваныя тым, што маглі адлюстраваць у ручных малюнках. Нялёгка было візуалізаваць прыгажосць і ацаніць некаторыя наступствы многіх выяўленых імі ўзораў. Набор Жуліа можна было ўявіць толькі праз некалькі ітэрацый як вельмі простыя малюнкі. ^{[1] [16] [9]} У 1960-х гадах Бенуа Мандэльброт пачаў пісаць пра самападабенства ў такіх артыкулах, як «Даўжыня ўзбярэжжа Брытаніі», «Статыстычная самападобнасць і дробавае вымярэнне», ^{[17] [18]} якія пашыралі даследаванні і ідэі, закладзеныя ў ранейшай працы Льюіса Фрая Рычардсана.

У 1975 г. ^[15] Мандэльброт крышталізаваў сотні гадоў мыслення і матэматычнага развіцця, стварыўшы слова «фрактал». Ён праілюстраваў сваё матэматычнае вызначэнне з дапамогай уражваючых камп’ютарных візуалізацый. Гэтыя выявы, напрыклад, яго кананічны набор Мандэльброта, захапілі думкі матэматычнай супольнасці. Многія выявы былі заснаваныя на рэкурсіі, што прывяло да папулярнага значэння тэрміна «фрактал». ^{[19] [16] [8] [20]}

У 1980 годзе Лорэн Карпентэр выступіў з прэзентацыяй на SIGGRAPH, дзе ён прадставіў сваё праграмнае забеспячэнне для стварэння і візуалізацыі фрактальна генераваных ландшафтаў. ^[21]

Часта цытуецца апісанне, якое Мандэльброт апублікаваў для характарызацыі геаметрычных фракталаў, — гэта «няроўная або фрагментаваная геаметрычная фігура, якую можна падзяліць на часткі, кожная з якіх з’яўляецца (прынамсі прыблізна) паменшанай копіяй цэлага». Хоць гэтае вызначэнне звычайна карыснае, яно абмежаванае. Аўтары разыходзяцца ў меркаванні адносна дакладнага вызначэння фрактала, але часцей за ўсё ўдакладняюць асноўныя ідэі самападабенства і незвычайныя адносіны, якія фракталы маюць з прасторай, дзе яны знаходзяцца. ^[1]

Навукоўцы згаджаюцца, што фрактальныя ўзоры характарызуюцца фрактальнымі памерамі. Памеры колькасна вызначаюць складанасць — змяненне дэталяў са змяненнем маштабу. Памеры не апісваюць і не вызначаюць дэталяў таго, як пабудаваць канкрэтныя фрактальныя мадэлі. ^[22] У 1975 годзе, калі Мандэльброт прыдумаў слова «фрактал», ён зрабіў гэта для абазначэння аб’екта, памернасць Хаўсдорфа-Безіковіча якога большая за тапалагічную памернасць. ^[15] Аднак гэтаму патрабаванню не адпавядаюць крывыя, якія запаўняюць прастору, такія як крывая Гільберта.

З-за праблем, звязаных з пошукам агульнапрымальнага вызначэння для фракталаў, некаторыя сцвярджаюць, што фракталы не павінны быць строга вызначанымі. Паводле Фальконера, фракталы мусяць нідзе не быць дыферэнцыяванымі, мець фрактальную памернасць і характарызавацца гештальтам толькі наступных прыкмет: ^[2]

• Самападабенства, якое можа ўключаць у сябе:

• Дакладнае самападабенства: аднолькавае ва ўсіх маштабах, напрыклад, сняжынка Коха.
• Квазі-самападабенства: набліжае тую ж карціну ў розных маштабах; можа ўтрымліваць невялікія копіі ўсяго фрактала ў скажоных і выраджаных формах. Напрыклад, спадарожнікі мноства Мандэльброта з’яўляюцца набліжэннямі ўсяго набору, але не дакладнымі копіямі.
• Статыстычнае самападабенства: паўтарае шаблон стахастычна, так што лікавыя або статыстычныя паказчыкі захоўваюцца ў розных маштабах; напрыклад, выпадкова згенераваныя фракталы, як добра вядомы прыклад берагавой лініі Брытаніі. Для такога падабенства немагчыма знайсці маштабаваны і паўтораны сегмент так жа акуратна, як паўтаральная адзінка у вызначэнні сняжынкі Коха. ^[4]
• Якаснае самападабенства: як у часовым шэрагу. ^[23]
• Мультыфрактальнае маштабаванне: характарызуецца больш чым адным фрактальным вымярэннем або правілам маштабавання.

• Тонкая, або дэталёвая структура ў заўгодна малых маштабах. Следствам такой структуры з’яўляецца тое, што фракталы могуць мець раптоўна ўзнікаючыя ўласцівасці, ^[24] звязаныя з наступным крытэрыем у гэтым спісе.
• Няправільнасць лакальна і глабальна, якую няпроста апісаць традыцыйнай эўклідавай геаметрычнай мовай. Для выяваў фрактальных узораў гэта выражалася такімі фразамі, як «гладка нагрувашчваючыяся паверхні» і «завітыя на віхуры». ^[6]Фрактальнае мноства — гэта мноства, для якога фрактальная памернасць (Хаўсдорфа-Безіковіча) строга перавышае тапалагічную памернасць
• Простыя і, «магчыма, рэкурсіўныя» азначэнні; гл. Распаўсюджаныя метады генерацыі фракталаў.

Як група, гэтыя крытэрыі ўтвараюць кіруючыя прынцыпы для выключэння пэўных выпадкаў, напрыклад тых, якія могуць быць самападобнымі, не маючы іншых тыповых фрактальных асаблівасцяў. Прамая лінія, напрыклад, самападобная, але не фрактальная, таму што яна не мае дэталяў, лёгка апісваецца на эўклідавай мове, мае тую ж памернасць Хаўсдорфа, што і тапалагічная, і цалкам вызначана без неабходнасці рэкурсіі. ^{[1] [4]}

Выявы фракталаў могуць быць створаны з дапамогай праграм генерацыі фракталаў. З-за эфекту матылька невялікая змена адной пераменнай можа мець непрадказальны вынік.

• Сістэмы паўторных функцый (IFS) — выкарыстоўваюць фіксаваныя геаметрычныя правілы замены; могуць быць стахастычнымі або дэтэрмінаванымі; напрыклад, сняжынка Коха, набор Кантара, дыван Хафермана, дыван Сярпінскага, сурвэтка Сярпінскага, крывая Пеана, крывая дракона Хартэра-Хайвэя, Т-квадрат, губка Менгера.
• Дзіўныя атрактары — выкарыстоўваюць ітэрацыі карты або рашэнні сістэмы дыферэнцыяльных або рознасных ураўненняў з пачатковым значэннем, якія дэманструюць хаос (напрыклад, гл. мультыфрактальны малюнак або лагістычную карту).
• L-сістэмы — выкарыстоўваюць перапісванне ланцужкоў^[en]; могуць нагадваць узоры галінавання, напрыклад, у раслін, біялагічных клетак (напрыклад, нейронаў і клетак імуннай сістэмы), крывяносных сасудаў, структуры лёгкіх і г.д. або узораў «чарапахавай» графікі^[en], такіх як крывыя і пліткі, якія запаўняюць прастору.

• Фракталы часу ўцёкаў — выкарыстоўваюць формулу або рэкурэнтныя суадносіны ў кожнай кропцы прасторы (напрыклад, у комплекснай плоскасці); звычайна квазі-самападобныя; таксама вядомы як фракталы «арбіта»; напрыклад, мноства Мандэльброта, мноства Жуліа, фрактал Burning Ship, фрактал Нова і фрактал Ляпунова. Плоскасцевыя вектарныя палі, створаныя адной або дзвюма ітэрацыямі формул часу ўцёкаў, таксама ўтвараюць фрактальную форму, калі кропкі (або піксельныя дадзеныя) праходзяць праз гэта поле паўторна.
• Выпадковыя фракталы — выкарыстоўваюць стахастычныя правілы; напрыклад, палёт Леві, кластары перкаляцыі, самапазбягаючыя прагулкі, фрактальныя ландшафты, траекторыі броўнаўскага руху і броўнаўскага дрэва (г. зн. дэндрытныя фракталы, створаныя мадэлямі кластарный агрэгацыі з абмежаванай дыфузіяй або з абмежаванай рэакцыяй).

• Правілы канечнага падраздзялення — выкарыстоўваюць рэкурсіўны тапалагічны алгарытм для ўдакладнення разрэзаў ^[26]. Вынік алгарытму адлюстроўвае фігуры, графічна падобныя да працэсу дзялення клетак. ^[27] Ітэрацыйныя працэсы, якія выкарыстоўваюцца пры стварэнні мноства Кантара, дывана Сярпінскага і барыцэнтрычнага падраздзялення, з’яўляюцца прыкладамі правілаў канечнага падраздзялення.

Фрактальныя ўзоры мадэляваліся шырока, хоць і ў межах дыяпазону маштабаў, але не бясконца, з-за практычных межаў фізічнага часу і прасторы. Мадэлі могуць мадэляваць тэарэтычныя фракталы або прыродныя з’явы з фрактальнымі асаблівасцямі. Вынікі працэсу мадэлявання могуць быць высокамастацкімі візуалізацыямі, вынікамі для расследавання або эталонамі для фрактальнага аналізу. Выявы і іншыя вынікі мадэлявання звычайна называюць «фракталамі», нават калі яны не маюць строга фрактальных характарыстык, напрыклад, калі можна павялічыць вобласць фрактальнага малюнка, якая не праяўляе ніякіх фрактальных уласцівасцяў. Акрамя таго, яны могуць уключаць разлік або адлюстраванне артэфактаў, якія не з’яўляюцца характарыстыкамі сапраўдных фракталаў.

Змадэляванымі фракталамі могуць быць гукі, ^[28] лічбавыя выявы, электрахімічныя ўзоры, сутачныя рытмы ^[29] і г.д. Аднаўленне фрактальных мадэляў у фізічнай 3-мернай прасторы ^[30]:10 на практыцы часта называецца мадэляваннем «in silico». ^[31] Мадэлі фракталаў, як правіла, ствараюцца з дапамогай праграмнага забеспячэння для стварэння фракталаў, якое рэалізуе апісаныя вышэй метады. ^{[4] [23] [30]} У якасці ілюстрацыі, дрэвы, папараць, клеткі нервовай сістэмы ^[25], сасуды крыві і лёгкіх ^[31] і іншыя схемы галінавання ў прыродзе можна змадэляваць на камп’ютары з дапамогай рэкурсіўных алгарытмаў і метадаў L-сістэм. ^[25]

Рэкурсіўнасць некаторых узораў відавочная ў пэўных прыкладах — галінка з дрэва або лісток папараці з’яўляецца мініяцюрнай копіяй цэлага: не тоеснага, але падобнага па сваёй прыродзе. Аналагічным чынам, выпадковыя фракталы выкарыстоўваліся для апісання / стварэння многіх вельмі нерэгулярных аб’ектаў рэальнага свету. Падабенства фрактальнай мадэлі з прыроднай з’явай не сведчыць аб падабенстве прыроднага працэсу ўтварэння гэтай з’явы да фрактальнага алгарытму.

Прыблізныя фракталы, знойдзеныя ў прыродзе, дэманструюць самападабенства ў пашыраных, але канчатковых дыяпазонах маштабу. Сувязь паміж фракталамі і лісцем, напрыклад, у цяперашні час выкарыстоўваецца, каб вызначыць, колькі вугляроду змяшчаецца ў дрэвах. ^[32] З’явы, якія маюць фрактальныя асаблівасці, уключаюць:

• 
  Фрактальныя ўзоры крышталёў інею натуральным чынам сустракаюцца на халодным шкле
• 
  Фрактальная мяжа басейна ў геаметрычнай аптычнай сістэме^[33]
• 
  Фрактал утвараецца пры расцягванні двух пакрытых клеем лістоў з акрылу
• 
  Прабой высокага напружання ў блоку акрылавага шкла 4 in (100 мм) стварае фрактал фігура Ліхтэнберга
• 
  Брокалі Romanesco паказвае самападобную форму, якая набліжаецца да натуральнага фрактала
• 
  Фрактальныя ўзоры размарожвання на палярным Марсе. Узоры ўтвараюцца шляхам сублімацыі замарожанага CO₂. Шырыня малюнка каля кіламетра.
• 
  Слізевая цвіль Brefeldia maxima фрактальна расце на дрэве

Фракталы ў біялогіі клетак

Фракталы часта з’яўляюцца ў свеце жывых арганізмаў, дзе яны ўзнікаюць у выніку працэсаў галінавання і іншых складаных патэрнаў. Ян Вонг і яго супрацоўнікі паказалі, што мігруючыя клеткі могуць утвараць фракталы шляхам кластарызацыі і разгалінавання. ^[34] Нервовыя клеткі функцыянуюць праз працэсы на паверхні клеткі, са з’явамі, якія ўзмацняюцца за кошт значнага павелічэння суадносін паверхні да аб’ёму. Як следства, нервовыя клеткі часта ўтвараюцца ў фрактальныя ўзоры. ^[35] Гэтыя працэсы маюць вырашальнае значэнне ў фізіялогіі клетак і розных паталогіях. ^[36]

Выяўлена таксама, што некалькі субклеткавых структур збіраюцца ў фракталы. Дыега Крапф паказаў, што праз працэсы разгалінавання актынавыя ніткі ў клетках чалавека збіраюцца ў фрактальныя ўзоры. Аналагічным чынам Маціас Вайс паказаў, што эндаплазматычная сетка мае фрактальныя асаблівасці. ^[37] Цяперашняе разуменне заключаецца ў тым, што фракталы ўсюдыісныя ў біялогіі клетак, ад бялкоў да арганэл і цэлых клетак.

З 1999 года больш за 10 навуковых груп правялі фрактальны аналіз больш за 50 карцін Джэксана Полака (1912—1956), якія былі створаны шляхам налівання фарбы непасрэдна на яго гарызантальныя палотны ^{[38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50]} У апошні час фрактальны аналіз быў выкарыстаны для дасягнення 93 % поспеху ў адрозненні сапраўдных твораў Полака ад імітацый. ^[51] Кагнітыўныя нейранавукоўцы паказалі, што фракталы Полака выклікаюць такое ж зніжэнне стрэсу ў назіральнікаў, як і фракталы, створаныя камп’ютарам, і фракталы прыроды. ^[52]

Дэкалькаманія, тэхніка, якую выкарыстоўваюць такія мастакі, як Макс Эрнст, можа ствараць фрактальныя ўзоры. ^[53] Яна ўключае ў сябе націсканне фарбы паміж дзвюма паверхнямі і іх раз’яднанне.

Кібернетык Рон Эглаш выказаў здагадку, што фрактальная геаметрыя і матэматыка з’яўляюцца распаўсюджанымі ў афрыканскім мастацтве, гульнях, варажбе, гандлі і архітэктуры. Круглыя дамы з’яўляюцца ў колах кругоў, прастакутныя — у прастакутніках з прастакутнікаў і г.д. Такія маштабаваныя ўзоры таксама можна сустрэць у афрыканскім тэкстылі, скульптуры, і нават у панкаўскай касе пад кукурузны радок. ^{[54] [55]} Хокі Сітунгкір таксама заўважыў падобныя ўласцівасці ў традыцыйным мастацтве Інданезіі, батыку і арнаментах, якія сустракаюцца ў традыцыйных дамах. ^{[56] [57]}

Этнаматэматык Рон Эглаш абмеркаваў запланаваную планіроўку горада Беніна з выкарыстаннем фракталаў у якасці асновы не толькі ў самім горадзе і вёсках, але нават у пакоях дамоў. Ён пракаментаваў: «Калі еўрапейцы ўпершыню прыехалі ў Афрыку, яны палічылі архітэктуру вельмі неарганізаванай і, такім чынам, прымітыўнай. Ім і ў галаву не прыходзіла, што афрыканцы, магчыма, выкарыстоўвалі такую форму матэматыкі, якую яны яшчэ нават не адкрылі». ^[58]

У інтэрв’ю Майкла Сільверблата ў 1996 годзе Дэвід Фостэр Уолес прызнаўся, што структура першага чарнавіка «Бясконцага жарту», якую ён даў свайму рэдактару Майклу Пітчу, была натхнёная фракталамі, у прыватнасці трохкутнікам Сярпінскага (ён жа сурвэтка Сярпінскага), але адрэдагаваны раман «больш падобны на аднабокую сурвэтку Сярпінскага». ^[59]

Некаторыя працы галандскага мастака Эшэра, такія як Circle Limit III, утрымліваюць фігуры, якія паўтараюцца да бясконцасці і становяцца ўсё меншымі і меншымі па меры набліжэння да краёў, у малюнку, які заўсёды будзе выглядаць аднолькава, калі яго павялічыць.

• 
  Фрактал, які мадэлюе паверхню гары (анімацыя)
• 
  3D рэкурсіўны малюнак
• 
  Рэкурсіўны фрактальны малюнак - матылі
• 
  Фрактальнае полымя

Здаецца, людзі асабліва добра прыстасаваныя да апрацоўкі фрактальных патэрнаў са значэннямі D ад 1,3 да 1,5. ^[60] Калі людзі праглядаюць фрактальныя мадэлі са значэннямі D ад 1,3 да 1,5, гэта памяншае фізіялагічны стрэс. ^{[61] [62]}

Іённы рух

Калі двухмерныя фракталы паўтараюцца шмат разоў, перыметр фрактала павялічваецца да бясконцасці, але плошча ніколі не можа перавышаць пэўнае значэнне. Фрактал у трохмернай прасторы мае падобную ўласцвасць; такі фрактал можа мець бясконцую плошчу паверхні, але ніколі не перавышаць пэўны аб’ём. Гэта можа быць выкарыстана для максімальнай эфектыўнасці іённага руху пры выбары канструкцыі і матэрыялу электроннага эмітэра. Такім чынам можа быць дасягнута максімальная эфектыўнасць працэсу выкіду.

• Масштабаванне і фракталы Архівавана 1 сакавіка 2021. прадстаўлены Шлома Хаўлінам, Універсітэт Бар-Ілана
• Паляванне на схаванае вымярэнне, PBS NOVA, упершыню выйшла ў эфір 24 жніўня 2011 г.
• Бенуа Мандэльброт: Фракталы і мастацтва шурпатасці Архівавана 17 лютага 2014., TED, люты 2010 г.
• Тэхнічная бібліятэка па фракталах для кіравання вадкасцю
• Ўраўненні самааднагоднай фрактальнай меры, заснаваныя на вылічэнні дробавага парадку (2007)