Lp (пространство)
(также встречается обозначение ; читается «эль-пэ»; также — лебеговы пространства) — это пространства измеримых функций, таких, что их -я степень интегрируема, где .
— важнейший класс банаховых пространств. (читается «эль-два») — классический пример гильбертова пространства.
Построение
Для построения пространств используются
-пространства. Пространство
для пространства с мерой
и
— множество измеримых функций, определённых на этом пространстве, таких что:
.
Как следует из элементарных свойств интеграла Лебега и неравенства Минковского, пространство линейно.
На линейном пространстве вводится полунорма:
.
Неотрицательность и однородность следуют напрямую из свойств интеграла Лебега, а неравенство Минковского является неравенством треугольника для этой полунормы[1]
Далее, на вводится отношение эквивалентности:
, если
почти всюду. Это отношение разбивает пространство
на непересекающиеся классы эквивалентности, причём полунормы любых двух представителей одного и того же класса совпадают. На построенном факторпространстве (то есть семействе классов эквивалентности)
можно ввести норму, равную полунорме любого представителя данного класса. По определению, все аксиомы полунормы сохранятся, и вдобавок в силу изложенного построения оказывается выполненной и положительная определённость.
Факторпространство с построенной на нём нормой, и называется пространством
или просто
.
Чаще всего данное построение имеют в виду, но не упоминают явно, а элементами называют не классы эквивалентности функций, а сами функции, определённые «с точностью до меры нуль».
При
не образуют нормированного пространства, так как не выполняется неравенство треугольника[2], однако образуют метрические пространства. В этих пространствах нет нетривиальных линейных непрерывных операторов.
Полнота
Норма на вместе с линейной структурой порождает метрику:
,
а следовательно, на пространствах возможно определить сходимость: последовательность функций называют сходящейся к функции
, если:
при
.
По определению, пространство полно, когда любая фундаментальная последовательность в
сходится к элементу этого же пространства. Таким образом
— банахово пространство.
Пространство L²
В случае норма порождается скалярным произведением. Таким образом, вместе с понятием «длины» здесь имеет смысл и понятие «угла», а следовательно и смежные понятия, такие как ортогональность, проекция.
Скалярное произведение на пространстве вводится следующим образом:
,
в случае, если рассматриваемые функции комплекснозначные, или:
,
если они вещественные. Тогда, очевидно:
,
то есть норма порождается скалярным произведением. Ввиду полноты любого следует, что
— гильбертово.
Пространство L∞
Пространство строится из пространства
измеримых функций, ограниченных почти всюду, отождествлением между собой функций, различающиеся лишь на множестве меры нуль, и, положив по определению:
, где
— существенный супремум функции.
Метрика, порождаемая нормой , называется равномерной. Также называется и сходимость, порождённая такой метрикой:
в
, если
при
.
Свойства
- Сходимость функций почти всюду не влечёт сходимость в пространстве
. Пусть
при
и
при
,
. Тогда
почти всюду. Но
. Обратное также неверно.
- Если
при
, то существует подпоследовательность
, такая что
почти всюду.
функции на числовой прямой могут быть приближены гладкими функциями. Пусть
— подмножество
, состоящее из бесконечно гладких функций. Тогда
всюду плотно в
.
— сепарабельно при
.
- Если
— конечная мера, например, вероятность, и
, то
. В частности,
, то есть случайная величина с конечным вторым моментом имеет конечный первый момент.
Сопряжённые пространства
Для пространств , сопряжённое к
(пространств линейных функционалов на
) имеет место следующее свойство: если
, то
изоморфно
(
), где
. Любой линейный функционал на
имеет вид:
где .
В силу симметрии уравнения , само пространство
дуально (с точностью до изоморфизма) к
, а следовательно:
Этот результат справедлив и для случая , то есть
. Однако
и, в частности,
.
Пространства ℓp
Пусть , где
— счётная мера на
, то есть
. Тогда если
, то пространство
представляет собой семейство последовательностей вида
, таких что:
.
Соответственно, норма на этом пространстве задаётся
.
Получившееся нормированное пространство обозначается .
Если , то рассматривается пространство ограниченных последовательностей с нормой:
.
Получившееся пространство называется , оно является примером несепарабельного пространства.
Как и в общем случае, положив , получается гильбертово пространство
, чья норма порождена скалярным произведением:
,
если последовательности комплекснозначные, и:
если они вещественны.
Пространство, сопряжённое с , где
изоморфно
,
. Для
. Однако
.
Примечания
Литература
- Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. — изд. четвёртое, переработанное. — М.: Наука, 1976. — 544 с.
- Треногин В. А. Функциональный анализ. — М.: Наука, 1980. — 495 с.