Геометрическай прогрессия

2 чыыһыла натуральнай көрдөрөөччүлэрдээх степеннэрэ чилиэннэрдээх утуму^[1] көрүөҕүҥ: ${\displaystyle 2;\ 2^{2};\ 2^{3};\ 2^{4};\ 2^{5};\ 2^{6};\ ...\ .}$

Бу утум^[1] хас биирдии чилиэнэ, иккистэн саҕалаан, ол иннинээҕи чилиэни 2-гэ төгүллээн ылыллар. Бу утум^[1] - геометрическай прогрессия^[2] холобура.

Быһаарыы. Геометрическай прогрессия^[2] диэн хас биирдии чилиэнэ, иккистэн саҕалаан, ол иннинээҕи чилиэн мэлдьи биир чыыһылаҕа төгүллэммитигэр тэҥ буолар, нультан атын чыыһылалар утумнара^[1] ааттанар.

Атыннык эттэххэ, ${\displaystyle (b_{n})}$ утум^[1], ханнык баҕарар натуральнай n-ҥэ ${\displaystyle b_{n}\neq 0}$ уонна ${\displaystyle b_{n+1}=b_{n}\centerdot q}$ усулуобуйалар туолар буоллахтарына (манна q - хайа эрэ чыыһыла), - геометрическай прогрессия^[2]. Холобур, нь чыыһыла натуральнай степеннэрин утумун^[1] ${\displaystyle (b_{n})}$ диэн бэлиэтиэҕиҥ. Бу түбэлтэҕэ ханнык баҕарар натуральнай n-ҥэ ${\displaystyle b_{n+1}=b_{n}\centerdot 2}$ тэҥнэһии сөптөөх (манна q=2).

Геометрическай прогрессия^[2] быһаарыытыттан тахсар: прогрессия^[2] ханнык баҕарар чилиэнин, иккистэн саҕалаан, ол иннинээҕи чилиэҥҥэ сыһыана q тэҥ, а.э., ханнык баҕарар натуральнай n-ҥэ ${\displaystyle {\frac {b_{n+1}}{b_{n}}}=q}$ тэҥнэһии сөптөөх.

q чыыһыла геометрическай прогрессия^[2] көрдөрүгэ дэнэр.

Геометрическай прогрессия^[2] көрдөрүгэ нульга тэҥэ суоҕа дьэҥкэ.

Геометрическай прогрессияны^[2] биэрэргэ, прогрессия^[2] маҥнайгы чилиэнин уонна көрдөрүгүн ыйыахха эрэ наада.

Холобурда аҕалыаҕыҥ.

${\displaystyle b_{1}=1}$ уонна ${\displaystyle q=0,1}$ буоллаҕына, ${\displaystyle 1;\ 0,1;\ 0,01;\ 0,001;\ 0,0001;\ \ldots }$ геометрическай прогрессия^[2] тахсар.

${\displaystyle b_{1}=-5}$ уонна ${\displaystyle q=2}$ усулуобуйаларынан ${\displaystyle -5;\ -10;\ -20;\ -40;\ -80;\ \ldots }$ геометрическай прогрессия^[2] бэриллэр.

${\displaystyle b_{1}=2}$ уонна ${\displaystyle q=-3}$ буоллаҕына ${\displaystyle 2;\ -6;\ 18;\ -54;\ 162;\ \ldots }$ геометрическай прогрессия^[2] ылыллар.

${\displaystyle b_{1}=8}$ уонна ${\displaystyle q=1}$ буоллаҕына, ${\displaystyle 8;\ 8;\ 8;\ 8;\ 8;\ \ldots }$ геометрическай прогрессия^[2] тахсар.

Геометрическай прогрессия^[2] маҥнайгы чилиэнэ уонна көрдөрүгэ биллэр буоллаҕына, прогрессия^[2] иккис, үһүс уо.д.а. ханнык баҕарар чилиэнин утуу-субуу булуохха сөп:

${\displaystyle b_{2}=b_{1}q}$ ,

${\displaystyle b_{3}=b_{2}q=(b_{1}q)q=b_{1}q^{2}}$ , 

${\displaystyle b_{4}=b_{3}q=(b_{1}q^{2})q=b_{1}q^{3}}$ , 

${\displaystyle b_{5}=b_{4}q=(b_{1}q^{3})q=b_{1}q^{4}}$ .

Ситинник гынан, булабыт: ${\displaystyle b_{6}=b_{1}q^{5}}$ , ${\displaystyle b_{7}=b_{1}q^{6}\ \ldots }$ Уопсайынан, ${\displaystyle b_{n}}$ -һи буларга, ${\displaystyle b_{1}}$ -һи ${\displaystyle q^{n-1}}$ -гэр төгүллүөххэ наада, а.э., ${\displaystyle b_{n}=b_{1}q^{n-1}}$ .

Биһиги геометрическай прогрессия^[2] n-ис чилиэнин формулатынан^[3] ыллыбыт.

Задачалары бу формуланы^[3] туттан суоттааһын холобурдарын көрүөҕүҥ.

1 холобур. Геометрическай прогрессияҕа^[2] ${\displaystyle b_{1}=12,8}$ уонна ${\displaystyle q={\frac {1}{4}}}$ . ${\displaystyle b_{7}}$ булуоҕуҥ.

Геометрическай прогрессия^[2] n-ис чилиэнин формулатынан^[3] ${\displaystyle b_{7}=12,8\centerdot \left({\frac {1}{4}}\right)^{6}={\frac {128}{10}}\centerdot {\frac {1}{4^{6}}}={\frac {2^{7}}{10\centerdot 2^{12}}}={\frac {1}{2^{5}\centerdot 10}}={\frac {1}{320}}}$ .

2 холобур. ${\displaystyle b_{1}=162}$ , ${\displaystyle b_{3}=18}$ буоллаҕына, ${\displaystyle (b_{n})}$ геометрическай прогрессия^[2] ахсыс чилиэнин булуоҕуҥ.

Геометрическай прогрессия^[2] маҥнайгы, үһүс чилиэннэрэ биллэринэн прогрессия^[2] көрдөрүгүн буолуохха сөп. ${\displaystyle b_{3}=b_{1}q^{2}}$ , онон ${\displaystyle q^{2}={\frac {b_{3}}{b_{1}}}={\frac {18}{162}}={\frac {1}{9}}}$ . ${\displaystyle q^{2}={\frac {1}{9}}}$ тэҥнэбили суоттаан, ылабыт: ${\displaystyle q={\frac {1}{3}}}$ эбэтэр ${\displaystyle q=-{\frac {1}{3}}}$ .

Иннэ гынан, задача усулуобуйатыгар сөп түбэһэр икки прогрессия^[2] баар.

${\displaystyle q={\frac {1}{3}}}$ буоллаҕына, ${\displaystyle b_{8}=b_{1}q^{7}=162\centerdot \left({\frac {1}{3}}\right)^{7}={\frac {2\centerdot 3^{4}}{3^{7}}}={\frac {2}{27}}}$ .

${\displaystyle q=-{\frac {1}{3}}}$ буоллаҕына, ${\displaystyle b_{8}=b_{1}q^{7}=162\centerdot \left(-{\frac {1}{3}}\right)^{7}=-{\frac {2\centerdot 3^{4}}{3^{7}}}=-{\frac {2}{27}}}$ .

Задача икки тахсыылаах: ${\displaystyle b_{8}={\frac {2}{27}}}$ эбэтэр ${\displaystyle b_{8}=-{\frac {2}{27}}}$ .

3 холобур. Носуос хас обордоҕун ахсын иһиккэ баар салгын 20%-на көҕүрүүр. Иһит иһигэр салгын баттааһына бастаан рт. ост. 760 мм буоллаҕына, носуос алтата оборбутун кэннэ салгын баттааһына төһө буолбутун булуоҕуҥ.

Носуос хас обордоҕун ахсын иһиккэ баар салгын 80%-на хаалар. Носуос хас обордоҕун ахсын иһит иһигэр салгын баттааһына төһө буолбутун билэргэ салгын ол иннинээҕи оборуу кэнниттэн баттааһынын 0,8-гэ төгүллүөххэ наада.

Онон маҥнайгы чилиэнэ 760-ҥа тэҥ, көрдөрүгэ 0,8-гэ тэҥ геометрическай прогрессия^[2] тахсар. Носуос алтата оборбутун кэннэ иһит иһигэр салгын баттааһына (рт.ост.мм) төһө буолбутун көрдөрөр чыыһыла - прогрессия^[2] сэттис чилиэнэ. Бу чыыһыла тэҥ: ${\displaystyle 760\centerdot (0,8)^{6}}$ .

Суоттааһыннары оҥорон, ылабыт: ${\displaystyle 760\centerdot (0,8)^{6}\approx 200}$ .

• Алгебра 9 кылаас. Автордара Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К.И. Нешков, С. Б. Суворова. Нууччалыыттан сахалыы тыбаастата И.Г. Егоров.

Ыстатыйаны суруйда Егоров Алексей ФИИТ-17

• Арифметическай прогрессия