Varianca

Varianca e një ndryshoreje rasti ${\displaystyle X}$ është vlera e pritur e devijimit nga mesatarja në katror e ${\displaystyle X}$ , ${\displaystyle \mu =\operatorname {E} [X]}$  :

${\displaystyle \operatorname {Var} (X)=\operatorname {E} \left[(X-\mu )^{2}\right].}$

Ky përkufizim përfshin ndryshore rasti që krijohen nga procese që janë diskrete, të vazhdueshme, as ose të përziera. Varianca mund të konsiderohet gjithashtu si kovarianca e një ndryshoreje të rastësishme me vetveten:

${\displaystyle \operatorname {Var} (X)=\operatorname {Cov} (X,X).}$

Një tjetër formulë për dispersionin merret si më poshtë:

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Var} (X)&=\operatorname {E} \left[(X-\operatorname {E} [X])^{2}\right]\\[4pt]&=\operatorname {E} \left[X^{2}-2X\operatorname {E} [X]+\operatorname {E} [X]^{2}\right]\\[4pt]&=\operatorname {E} \left[X^{2}\right]-2\operatorname {E} [X]\operatorname {E} [X]+\operatorname {E} [X]^{2}\\[4pt]&=\operatorname {E} \left[X^{2}\right]-\operatorname {E} [X]^{2}\end{aligned}}}$

Me fjalë të tjera, varianca e X është e barabartë me mesataren e n.r ${\displaystyle X}$ të ngritur në katror minus katrorin e mesatares së ${\displaystyle X}$ . Ky ekuacion nuk duhet të përdoret për llogaritjet duke përdorur aritmetikën me pikë lundruese, sepse vuan nga anulimi katastrofik nëse dy komponentët e ekuacionit janë të ngjashëm në madhësi. Për alternativa të tjera numerikisht të qëndrueshme, shihni Algoritmet për llogaritjen e variancës .

Ndryshore e rastit diskrete

Nëse ndryshorja e rastit ${\displaystyle X}$ është diskrete me funksion mase probabiliteti ${\displaystyle x_{1}\mapsto p_{1},x_{2}\mapsto p_{2},\ldots ,x_{n}\mapsto p_{n}}$ , atëherë

${\displaystyle \operatorname {Var} (X)=\sum _{i=1}^{n}p_{i}\cdot (x_{i}-\mu )^{2},}$

ku ${\displaystyle \mu }$ është vlera e pritur. Kjo është,

${\displaystyle \mu =\sum _{i=1}^{n}p_{i}x_{i}.}$

Varianca e një bashkësie të ${\displaystyle n}$ vlerash njëlloj të mundshme shkruhet edhe si:

${\displaystyle \operatorname {Var} (X)={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-\mu )^{2}}$

ku ${\displaystyle \mu }$ është vlera mesatare. Kjo është,

${\displaystyle \mu ={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}x_{i}.}$

Ndryshoret e rastit absolutisht të vazhdueshme

Nëse ndryshorja e rastit ${\displaystyle X}$ ka një funksion të densitetit të probabilitetit ${\displaystyle f(x)}$ , dhe ${\displaystyle F(x)}$ është funksioni përkatës i shpërndarjes mbledhëse, atëherë

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Var} (X)=\sigma ^{2}&=\int _{\mathbb {R} }(x-\mu )^{2}f(x)\,dx\\[4pt]&=\int _{\mathbb {R} }x^{2}f(x)\,dx-2\mu \int _{\mathbb {R} }xf(x)\,dx+\mu ^{2}\int _{\mathbb {R} }f(x)\,dx\\[4pt]&=\int _{\mathbb {R} }x^{2}\,dF(x)-2\mu \int _{\mathbb {R} }x\,dF(x)+\mu ^{2}\int _{\mathbb {R} }\,dF(x)\\[4pt]&=\int _{\mathbb {R} }x^{2}\,dF(x)-2\mu \cdot \mu +\mu ^{2}\cdot 1\\[4pt]&=\int _{\mathbb {R} }x^{2}\,dF(x)-\mu ^{2},\end{aligned}}}$

ose në mënyrë të njëvlershme,

${\displaystyle \operatorname {Var} (X)=\int _{\mathbb {R} }x^{2}f(x)\,dx-\mu ^{2},}$

Shpërndarja eksponenciale

Shpërndarja eksponenciale me parametërrin ${\displaystyle \lambda }$ është një shpërndarje e vazhdueshme, funksioni i densitetit të probabilitetit të së cilës është dhënë nga

${\displaystyle f(x)=\lambda e^{-\lambda x}}$

në intervalin [0, ∞ ) . Mesatarja e kësaj shpërndarje mund të tregohet se është

${\displaystyle \operatorname {E} [X]=\int _{0}^{\infty }\lambda xe^{-\lambda x}\,dx={\frac {1}{\lambda }}.}$

Duke përdorur integrimin me pjesë dhe duke përdorur pritje matematike tashmë të llogaritur, ne kemi:

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {E} \left[X^{2}\right]&=\int _{0}^{\infty }\lambda x^{2}e^{-\lambda x}\,dx\\&=\left[-x^{2}e^{-\lambda x}\right]_{0}^{\infty }+\int _{0}^{\infty }2xe^{-\lambda x}\,dx\\&=0+{\frac {2}{\lambda }}\operatorname {E} [X]\\&={\frac {2}{\lambda ^{2}}}.\end{aligned}}}$

Kështu, varianca e ${\displaystyle X}$ jepet nga

${\displaystyle \operatorname {Var} (X)=\operatorname {E} \left[X^{2}\right]-\operatorname {E} [X]^{2}={\frac {2}{\lambda ^{2}}}-\left({\frac {1}{\lambda }}\right)^{2}={\frac {1}{\lambda ^{2}}}.}$

Zari i drejtë

Hedhja e një zari të drejtë mund të modelohet si n.r diskrete, ${\displaystyle X}$ , me rezultate nga 1 deri tek 6, secila me probabilitet të njëjtë 1/6. Pritja matematike e ${\displaystyle X}$ është${\displaystyle (1+2+3+4+5+6)/6=7/2.}$ Kështu që, varianca e ${\displaystyle X}$ është

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Var} (X)&=\sum _{i=1}^{6}{\frac {1}{6}}\left(i-{\frac {7}{2}}\right)^{2}\\[5pt]&={\frac {1}{6}}\left((-5/2)^{2}+(-3/2)^{2}+(-1/2)^{2}+(1/2)^{2}+(3/2)^{2}+(5/2)^{2}\right)\\[5pt]&={\frac {35}{12}}\approx 2.92.\end{aligned}}}$

Shpërndarjet e probabilitetit të përdorura zakonisht

Emri i shpërndarjes së probabilitetit	Funksioni i shpërndarjes së probabilitetit	Mesatarja	Varianca
Shpërndarja binomiale	${\displaystyle \Pr \,(X=k)={\binom {n}{k}}p^{k}(1-p)^{n-k}}$	${\displaystyle np}$	${\displaystyle np(1-p)}$
Shpërndarja gjeometrike	${\displaystyle \Pr \,(X=k)=(1-p)^{k-1}p}$	${\displaystyle {\frac {1}{p}}}$	${\displaystyle {\frac {(1-p)}{p^{2}}}}$
Shpërndarja normale	${\displaystyle f\left(x\mid \mu ,\sigma ^{2}\right)={\frac {1}{\sqrt {2\pi \sigma ^{2}}}}e^{-{\frac {(x-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}}}$	${\displaystyle \mu }$	${\displaystyle \sigma ^{2}}$
Shpërndarja uniforme (e vazhdueshme)	${\displaystyle f(x\mid a,b)={\begin{cases}{\frac {1}{b-a}}&{\text{for }}a\leq x\leq b,\\[3pt]0&{\text{for }}x<a{\text{ or }}x>b\end{cases}}}$	${\displaystyle {\frac {a+b}{2}}}$	${\displaystyle {\frac {(b-a)^{2}}{12}}}$
Shpërndarja eksponenciale	${\displaystyle f(x\mid \lambda )=\lambda e^{-\lambda x}}$	${\displaystyle {\frac {1}{\lambda }}}$	${\displaystyle {\frac {1}{\lambda ^{2}}}}$
Shpërndarja Poisson	${\displaystyle f(k\mid \lambda )={\frac {e^{-\lambda }\lambda ^{k}}{k!}}}$	${\displaystyle \lambda }$	${\displaystyle \lambda }$

Vetitë themelore

Varianca është jo negative sepse madhësitë e ngritura në katror janë gjithmonë pozitive ose zero:

${\displaystyle \operatorname {Var} (X)\geq 0.}$

Varianca e një konstante është zero.

${\displaystyle \operatorname {Var} (a)=0.}$

Çështja e pafundësisë

Nëse një shpërndarje nuk ka pritje matematike të fundme, siç është rasti për shpërndarjen Cauchy, atëherë edhe varianca nuk mund të jetë e fundme. Megjithatë, disa shpërndarje mund të mos kenë një variancë të fundme, pavarësisht se pritja matematike është e fundme. Një shembull i tillë është një shpërndarje Pareto, indeksi i së cilës ${\displaystyle k}$ plotëson kushtin ${\displaystyle 1<k\leq 2.}$

Njësitë matëse

Ndryshe nga devijimi absolut i pritur, varianca e një ndryshore ka njësi që janë katrori i njësive të vetë ndryshores. Për shembull, një ndryshore e matur në metra do të ketë një variancë të matur në metra katrorë. Për këtë arsye, përshkrimi i grupeve të të dhënave nëpërmjet devijimit të tyre standard ose devijimit mesatar katror nën rrënjë shpesh preferohet ndaj përdorimit të variancës. Në shembullin e zareve, devijimi standard është ${\displaystyle {\sqrt {2,9}}\approx 1,7}$ , pak më i madh se devijimi absolut i pritur, 1.5.

Mbledhja dhe shumëzimi me një konstante

Varianca është e pandjeshme ndaj ndryshimeve në një parametër vendndodhjeje . Kjo do të thotë se nëse një konstante u shtohet të gjitha vlerave të ndryshores, varianca mbetet e pandryshuar:

${\displaystyle \operatorname {Var} (X+a)=\operatorname {Var} (X).}$

Nëse të gjitha vlerat shkallëzohen me një konstante, varianca shkallëzohet me katrorin e asaj konstante:

${\displaystyle \operatorname {Var} (aX)=a^{2}\operatorname {Var} (X).}$

Varianca e shumës së dy ndryshoreve të rastit jepet nga barazimi

${\displaystyle \operatorname {Var} (aX+bY)=a^{2}\operatorname {Var} (X)+b^{2}\operatorname {Var} (Y)+2ab\,\operatorname {Cov} (X,Y)=(a\sigma _{X}+b\sigma _{Y})^{2}}$

${\displaystyle \operatorname {Var} (aX-bY)=a^{2}\operatorname {Var} (X)+b^{2}\operatorname {Var} (Y)-2ab\,\operatorname {Cov} (X,Y)=(a\sigma _{X}-b\sigma _{Y})^{2}}$

ku ${\displaystyle \operatorname {Cov} (X,Y)}$ është kovarianca dhe ${\displaystyle \sigma _{X}}$ është devijimi standard i ${\displaystyle X}$ .

Kombinimet lineare

Në përgjithësi, për shumën e ${\displaystyle N}$ ndryshoreve të rastit ${\displaystyle \{X_{1},\dots ,X_{N}\}}$ , varianca gjendet si:

${\displaystyle \operatorname {Var} \left(\sum _{i=1}^{N}X_{i}\right)=\sum _{i,j=1}^{N}\operatorname {Cov} (X_{i},X_{j})=\sum _{i=1}^{N}\operatorname {Var} (X_{i})+\sum _{i\neq j}\operatorname {Cov} (X_{i},X_{j}),}$

Këto rezultate çojnë në variancën e një kombinimi linear të gjetur si:

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Var} \left(\sum _{i=1}^{N}a_{i}X_{i}\right)&=\sum _{i,j=1}^{N}a_{i}a_{j}\operatorname {Cov} (X_{i},X_{j})\\&=\sum _{i=1}^{N}a_{i}^{2}\operatorname {Var} (X_{i})+\sum _{i\not =j}a_{i}a_{j}\operatorname {Cov} (X_{i},X_{j})\\&=\sum _{i=1}^{N}a_{i}^{2}\operatorname {Var} (X_{i})+2\sum _{1\leq i<j\leq N}a_{i}a_{j}\operatorname {Cov} (X_{i},X_{j}).\end{aligned}}}$

Nëse ndryshoret e rastit ${\displaystyle X_{1},\dots ,X_{N}}$ janë të tilla që

${\displaystyle \operatorname {Cov} (X_{i},X_{j})=0\ ,\ \forall \ (i\neq j),}$

atëherë thuhet se janë të pakorreluara . Kështu që për to mund të shkruhet:

${\displaystyle \operatorname {Var} \left(\sum _{i=1}^{N}X_{i}\right)=\sum _{i=1}^{N}\operatorname {Var} (X_{i}).}$

Prodhimi ndryshoreve

Prodhimi i ndryshoreve të pavarura

Nëse dy ndryshore ${\displaystyle X}$ dhe ${\displaystyle Y}$ janë të pavarura, varianca e prodhimit të tyre jepet nga ^[2]

${\displaystyle \operatorname {Var} (XY)=[\operatorname {E} (X)]^{2}\operatorname {Var} (Y)+[\operatorname {E} (Y)]^{2}\operatorname {Var} (X)+\operatorname {Var} (X)\operatorname {Var} (Y).}$

Në mënyrë të njëvlerëshme, duke përdorur vetitë themelore të pritjes matematike, ajo jepet nga

${\displaystyle \operatorname {Var} (XY)=\operatorname {E} \left(X^{2}\right)\operatorname {E} \left(Y^{2}\right)-[\operatorname {E} (X)]^{2}[\operatorname {E} (Y)]^{2}.}$

Produkt i ndryshoreve statistikisht të varura

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Var} (XY)={}&\operatorname {E} \left[X^{2}Y^{2}\right]-[\operatorname {E} (XY)]^{2}\\[5pt]={}&\operatorname {Cov} \left(X^{2},Y^{2}\right)+\operatorname {E} (X^{2})\operatorname {E} \left(Y^{2}\right)-[\operatorname {E} (XY)]^{2}\\[5pt]={}&\operatorname {Cov} \left(X^{2},Y^{2}\right)+\left(\operatorname {Var} (X)+[\operatorname {E} (X)]^{2}\right)\left(\operatorname {Var} (Y)+[\operatorname {E} (Y)]^{2}\right)\\[5pt]&-[\operatorname {Cov} (X,Y)+\operatorname {E} (X)\operatorname {E} (Y)]^{2}\end{aligned}}}$

Vëzhgimet e botës reale të tilla si matjet e shiut të djeshëm gjatë gjithë ditës zakonisht nuk mund të jenë grupe të plota të të gjitha vëzhgimeve të mundshme. Si e tillë, varianca e llogaritur nga bashkësia e fundme në përgjithësi nuk do të përputhet me variancën që do të ishte llogaritur nga popullata e plotë e vëzhgimeve të mundshme. Kjo do të thotë që vlerësohet mesatarja dhe varianca nga një bashkësi e kufizuar vëzhgimesh duke përdorur një ekuacion vlerësues . Vlerësuesi është një funksion i zgjedhjes së ${\displaystyle n}$ vëzhgimeve të nxjerra pa paragjykime vëzhguese nga e gjithë popullata e vëzhgimeve të mundshme. Në këtë shembull ajo zgjedhje do të ishte grupi i matjeve të reshjeve të djeshme nga matësat në gatishmëri.

Vlerësuesit më të thjeshtë për mesataren e popullsisë dhe variancën e popullsisë janë thjesht mesatarja dhe varianca e zgjedhjes/kampionit, mesatarja e zgjedhjes dhe varianca (e pakorrigjuar) e zgjedhjes- këta janë vlerësues të qëndrueshëm (ata konvergjojnë në vlerën e saktë teksa numri i zgjedhjeve rritet), por mund të të përmirësohet. Vlerësimi i variancës së popullatës duke marrë variancën e zgjedhjes është afër optimales në përgjithësi, por mund të përmirësohet në dy mënyra. Më thjeshtë, varianca e kampionit llogaritet si një mesatare e devijimeve në katror rreth mesatares (së kampionit), duke e pjesëtuar me ${\displaystyle n}$ . Megjithatë, përdorimi i vlerave të tjera përveç ${\displaystyle n}$ përmirëson vlerësuesin në mënyra të ndryshme. Katër vlera për emëruesin janë ${\displaystyle n}$ , ${\displaystyle n-1}$ , ${\displaystyle n+1}$ , dhe ${\displaystyle n-1,5}$ : ${\displaystyle n}$ është më e thjeshta (varianca e popullsisë së kampionit), ${\displaystyle n-1}$ eliminon paragjykimet, ${\displaystyle n+1}$ minimizon gabimin mesatar në katror për shpërndarjen normale, dhe ${\displaystyle n-1,5}$ më së shumti eliminon zjvendosjet/anësinë në vlerësimin e paanshëm të devijimit standard për shpërndarjen normale.

Varianca e popullsisë

Në përgjithësi, varianca e popullsisë së një popullate të fundme me madhësi ${\displaystyle N}$ me vlera ${\displaystyle x_{i}}$ jepet nga

$${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma ^{2}&={\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}\left(x_{i}-\mu \right)^{2}={\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}\left(x_{i}^{2}-2\mu x_{i}+\mu ^{2}\right)\\[5pt]&=\left({\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}x_{i}^{2}\right)-2\mu \left({\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}x_{i}\right)+\mu ^{2}\\[5pt]&=\left({\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}x_{i}^{2}\right)-\mu ^{2}\end{aligned}}}$$

ku mesatarja e popullësisë është

${\displaystyle \mu ={\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}x_{i}.}$

Varianca e popullsisë gjithashtu mund të llogaritet duke përdorur

${\displaystyle \sigma ^{2}={\frac {1}{N^{2}}}\sum _{i<j}\left(x_{i}-x_{j}\right)^{2}={\frac {1}{2N^{2}}}\sum _{i,j=1}^{N}\left(x_{i}-x_{j}\right)^{2}.}$

Varianca e kampionit

Varianca e pazhvendosur e kampionit

Në shumë situata praktike, varianca e vërtetë e një popullate nuk dihet apriori dhe duhet të llogaritet sipas ndonjë mënyre. Kur kemi të bëjmë me popullata jashtëzakonisht të mëdha, nuk është e mundur të numërohet çdo objekt i popullatës, kështu që llogaritja duhet të kryhet në një zgjedhje të popullsisë. ^[3] Kjo zakonisht quhet variancë e zgjedhjes ose variancë empirike . Varianca e zgjedhjes mund të zbatohet gjithashtu për vlerësimin e variancës së një shpërndarjeje të vazhdueshme nga një kampion i asaj shpërndarjeje.

Marrim një kampion me zëvendësim të ${\displaystyle n}$ vlerave ${\displaystyle Y_{1},...,Y_{n}}$ nga popullsia, ku ${\displaystyle n<N}$ , dhe vlerësojmë variancën në bazë të këtij kampioni. ^[4] Marrja e drejtpërdrejtë e variancës së të dhënave të mostrës jep mesataren e devijimeve në katror :

${\displaystyle {\tilde {S}}_{Y}^{2}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}\left(Y_{i}-{\overline {Y}}\right)^{2}=\left({\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}Y_{i}^{2}\right)-{\overline {Y}}^{2}={\frac {1}{n^{2}}}\sum _{i,j\,:\,i<j}\left(Y_{i}-Y_{j}\right)^{2}.}$

Këtu, ${\displaystyle {\overline {Y}}}$ tregon mesataren e mostrës :

${\displaystyle {\overline {Y}}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}Y_{i}.}$

Meqenëse Y _i zgjidhen rastësisht, të dyja ${\displaystyle {\overline {Y}}}$ dhe ${\displaystyle {\tilde {S}}_{Y}^{2}}$ janë ndryshore të rastit. Pritjet matematike të tyre mund të vlerësohen duke marrë një mesatare mbi grupin e të gjitha kampioneve të mundshme ${\displaystyle \{Y_{i}\}}$ me madhësi n nga popullata. Për ${\displaystyle {\tilde {S}}_{Y}^{2}}$ kjo jep:

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {E} [{\tilde {S}}_{Y}^{2}]&=\operatorname {E} \left[{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}\left(Y_{i}-{\frac {1}{n}}\sum _{j=1}^{n}Y_{j}\right)^{2}\right]\\[5pt]&={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}\operatorname {E} \left[Y_{i}^{2}-{\frac {2}{n}}Y_{i}\sum _{j=1}^{n}Y_{j}+{\frac {1}{n^{2}}}\sum _{j=1}^{n}Y_{j}\sum _{k=1}^{n}Y_{k}\right]\\[5pt]&={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}\left({\frac {n-2}{n}}\operatorname {E} \left[Y_{i}^{2}\right]-{\frac {2}{n}}\sum _{j\neq i}\operatorname {E} \left[Y_{i}Y_{j}\right]+{\frac {1}{n^{2}}}\sum _{j=1}^{n}\sum _{k\neq j}^{n}\operatorname {E} \left[Y_{j}Y_{k}\right]+{\frac {1}{n^{2}}}\sum _{j=1}^{n}\operatorname {E} \left[Y_{j}^{2}\right]\right)\\[5pt]&={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}\left[{\frac {n-2}{n}}\left(\sigma ^{2}+\mu ^{2}\right)-{\frac {2}{n}}(n-1)\mu ^{2}+{\frac {1}{n^{2}}}n(n-1)\mu ^{2}+{\frac {1}{n}}\left(\sigma ^{2}+\mu ^{2}\right)\right]\\[5pt]&={\frac {n-1}{n}}\sigma ^{2}.\end{aligned}}}$

Prandaj ${\displaystyle {\tilde {S}}_{Y}^{2}}$ jep një vlerësim të variancës së popullatës që është e njëanshme/ e zhvendosur me një faktor prej ${\displaystyle {\frac {n-1}{n}}}$ . Per kete arsye, ${\displaystyle {\tilde {S}}_{Y}^{2}}$ referohet si varianca e mostrës së njëanshme .

Varianca e pazhvendosur e zgjedhjes

Korrigjimi për këtë anësi jep variancën e pazhvendosur të mostrës, të shënuar ${\displaystyle S^{2}}$  :

${\displaystyle S^{2}={\frac {n}{n-1}}{\tilde {S}}_{Y}^{2}={\frac {n}{n-1}}\left[{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}\left(Y_{i}-{\overline {Y}}\right)^{2}\right]={\frac {1}{n-1}}\sum _{i=1}^{n}\left(Y_{i}-{\overline {Y}}\right)^{2}}$

Secili vlerësues mund të referohet thjesht si varianca e kampionit kur versioni mund të përcaktohet nga konteksti.