დისპერსია

თუ ${\displaystyle \scriptstyle X}$ შემთხვევითი სიდიდეა, მაშინ მისი დისპერსია აღინიშნება, როგორც ${\displaystyle \scriptstyle D(X)}$ და

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {D} (X)&=\operatorname {E} [(X-\mu )^{2}]\,.\end{aligned}}}$

სადაც ${\displaystyle \mu =E[X]}$ არის ${\displaystyle \scriptstyle X}$ შემთხვევითი სიდიდის ლოდინი. შემდგომი მარტივი გარდაქმნებით დისპერსია შესაძლებელია შემდეგ სახეზე იქნას მიყვანილი:

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {D} (X)&=\operatorname {E} [(X-\mu )^{2}]\\&=\operatorname {E} [X^{2}-2\mu X+\mu ^{2}]\\&=\operatorname {E} [X^{2}]-2\mu \,\operatorname {E} [X]+\mu ^{2}\\&=\operatorname {E} [X^{2}]-2\mu ^{2}+\mu ^{2}\\&=\operatorname {E} [X^{2}]-\mu ^{2}\\&=\operatorname {E} [X^{2}]-(\operatorname {E} [X])^{2}.\end{aligned}}}$

როგორც წესი, დისპერსია აღინიშნება, როგორც ${\displaystyle \scriptstyle \sigma _{X}^{2}}$ ან, თუ ცხადია, რომელი შემთხვევითი სიდიდის დისპერსიაზეა ლაპარაკი, უბრალოდ ${\displaystyle \scriptstyle \sigma ^{2}}$ (სიგმა კვადრატი), სადაც ${\displaystyle \scriptstyle \sigma }$ საშუალო სტანდარტული გადახრაა. დასავლურ ლიტერატურაში მიღებულია ტერმინი „ვარიაცია“ და შემდეგი ფორმალური ჩაწერა: ${\displaystyle \operatorname {Var} (X)}$ .

• დისპერსია ყოველთვის არაუარყოფითია: ${\displaystyle D[X]\geqslant 0;}$
• თუ შემთხვევითი სიდიდის დისპერსია სასრულია, მაშინ მისი მათემატიკური ლოდინიც სასრულია;
• თუ შემთხვევითი სიდიდე მუდმივია, მაშინ მისი დისპერსია ნულის ტოლია: ${\displaystyle D[a]=0.}$ სამართლიანია შებრუნებულიც: თუ ${\displaystyle D[X]=0,}$ მაშინ ${\displaystyle X=E[X]}$ თითქმის ყველგან;
• ორი შემთხვევით სიდიდის ჯამის დისპერსია შემდეგნაირად გამოითვლება:

  ${\displaystyle \!D[X+Y]=D[X]+D[Y]+2\,{\text{cov}}(X,Y)}$ , სადაც ${\displaystyle \!{\text{cov}}(X,Y)}$  — ამ შემთხვევით სიდიდეთა კოვარიაციაა;

• ზოგადად, ნებისმიერი რაოდენობა შემთხვევითი სიდიდეების წრფივი კომბინაციისთვის სამართლიანია შემდეგი ტოლობა:

  ${\displaystyle \!D\left[\sum _{i=1}^{n}c_{i}X_{i}\right]=\sum _{i=1}^{n}c_{i}^{2}D[X_{i}]+2\sum _{1\leqslant i<j\leqslant n}c_{i}c_{j}\,{\text{cov}}(X_{i},X_{j})}$ , სადაც ${\displaystyle c_{i}\in \mathbb {R} }$ ;

კერძოდ, ${\displaystyle \displaystyle D[X_{1}+...+X_{n}]=D[X_{1}]+...+D[X_{n}]}$ , თუ შემთხვევითი სიდიდეები ${\displaystyle \displaystyle X_{1},...,X_{n}}$ დამოუკიდებლებია (ამ შემთხვევაში მათი კოვარიაცია ნულის ტოლია);

• ${\displaystyle D\left[aX\right]=a^{2}D[X];}$
• ${\displaystyle D\left[-X\right]=D[X];}$
• ${\displaystyle D\left[X+b\right]=D[X].}$

ვთქვათ, მოცემულია ${\displaystyle \displaystyle [0,1]}$ სეგმენტზე თანაბრად განაწილებული შემთხვევითი სიდიდე ${\displaystyle \displaystyle X}$ , ანუ განაწილების სიმკვრივეს აქვს შემდეგი სახე:

${\displaystyle f_{X}(x)=\left\{{\begin{matrix}1,&x\in [0,1]\\0,&x\not \in [0,1].\end{matrix}}\right.}$

გამოვთვალოთ ამ შემთხვევითი სიდიდის დისპერსია.

${\displaystyle E\left[X^{2}\right]=\int \limits _{0}^{1}\!x^{2}\,dx=\left.{\frac {x^{3}}{3}}\right\vert _{0}^{1}={\frac {1}{3}},}$

${\displaystyle E\left[X\right]=\int \limits _{0}^{1}\!x\,dx=\left.{\frac {x^{2}}{2}}\right\vert _{0}^{1}={\frac {1}{2}}.}$

საბოლოოდ:

${\displaystyle D[X]=E\left[X^{2}\right]-(E[X])^{2}={\frac {1}{3}}-\left({\frac {1}{2}}\right)^{2}={\frac {1}{12}}.}$

• შერჩევითი დისპერსია
• საშუალო სტანდარტული გადახრა
• მომენტი
• კოვარიაცია
• მათემატიკური ლოდინი

• ე. ნადარაია, რ. აბსავა, მ. ფაცაცია, ალბათობის თეორია – თსუ, 2005
• Ширяев А.Н, Вероятность - Наука, Москва, 1989 ISBN 5-02-013955-6

• მათემატიკა, მარტივად ამოხსნის ხელოვნება ^{[მკვდარი ბმული]}