Вектор

Концепт вектора какав је данас познат, развијао се постепено током више од 200 година. Око десетак људи дало је значајан допринос.^[7]

Гиусто Белавитис је 1835. апстраховао основну идеју када је успоставио концепт еквиполенције. Радећи у Еуклидској равни, он је учинио еквиполентним било који пар линијских сегмената исте дужине и оријентације. У суштини, остварио је однос еквиваленције на паровима тачака (битачкама) у равни и тако успоставио први векторски простор у равни.^{[7]‍:52–4}

Вектор може бити дефинисан уређеним паром тачака. Рецимо да су то A и B из Rⁿ. Тада је:

${\displaystyle {\overrightarrow {AB}}=\left(B_{1}-A_{1},B_{2}-A_{2},\dots ,B_{n}-A_{n}\right)}$ , а

${\displaystyle {\overrightarrow {BA}}=\left(A_{1}-B_{1},A_{2}-B_{2},\dots ,A_{n}-B_{n}\right)}$

Вектор се може представити и са полазном тачком, јединичним вектором који одређује његов смер и интензитетом:

${\displaystyle {\overrightarrow {AB}}=A+||AB||\cdot {\frac {\overrightarrow {AB}}{||{\overrightarrow {AB}}||}}}$

Ако овде ||AB|| заменимо са λ које може бити било који број из R дефинисали смо праву која пролази кроз тачку A а за вектор правца има вектор AB. Уколико је λ само не-негативно или само не-позитивно, дефинисана је полуправа, са почетком у тачки A.

Уколико је λ неки број различит од ||AB||, резултат је вектор који је са претходним колинеаран. Ако је нови вектор AB' ово значи да важи:

${\displaystyle {\overrightarrow {AB}}\times {\overrightarrow {AB'}}={\overrightarrow {0}}}$

Нула-вектор

Нула-вектор a₀ је вектор чији је интензитет једнак нули. Обележава се као нула са назнаком за вектор.

${\displaystyle {\overrightarrow {a_{0}}}={\overrightarrow {0}},\;|{\overrightarrow {a_{0}}}|=0}$

Јединични вектор

Јединични вектор (орт) је вектор чији је интензитет једнак јединици. За сваки не-нула вектор a се може одредити одговарајући јединични вектор v истог правца и смера.

${\displaystyle {\overrightarrow {v}}={\frac {\overrightarrow {a}}{|{\overrightarrow {a}}|}},\;{\overrightarrow {a}}\neq {\overrightarrow {0}}}$

Овај поступак се зове нормирање вектора.

Над векторима, као и свим осталим елементима аналитичке математике, се могу увести аритметичке операције. При томе се вектор представља као уређена н-торка скалара који припадају неком пољу K. На пример:

${\displaystyle a=(a_{1},a_{2},a_{3},...,a_{n}),\;a_{i}\in K}$ , ${\displaystyle i=1,...,n}$

Је један n-димензионални вектор над пољем K. Појам n-димензионални долази од чињенице да је вектор дефинисан помоћу n скалара. Простор ових вектора се још назива Kⁿ, а скалари који чине вектор заједно са информацијом о њиховој позицији у уређеној n-торки координате вектора. На пример a₁ је прва координата вектора, a₂ је друга координата вектора итд.

Следе основне операције над векторима, које се у принципу дефинишу над векторима истих димензија.

Интензитет вектора

Интензитет вектора се у еуклидској геометрији дефинише као квадратни корен збира квадрата његових координата.

${\displaystyle {\overrightarrow {a}}=(a_{1},a_{2},...,a_{n})\in K^{n}}$

${\displaystyle |a|={\sqrt {\sum _{k=1}^{n}{a_{i}}^{2}}}={\sqrt {a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+...+a_{n}^{2}}}}$

Множење вектора скаларом

Множење вектора ${\displaystyle {\overrightarrow {a}}\in K^{n}}$ неким скаларом ${\displaystyle \alpha \in K}$ је дефинисано као множење сваке координате ток вектора тим скаларом. Ова операција је комутативна.

${\displaystyle \alpha \cdot {\overrightarrow {a}}}$ = ${\displaystyle \alpha \cdot (a_{1},a_{2},a_{3},...,a_{n})}$ = :${\displaystyle (\alpha \cdot a_{1},\alpha \cdot a_{2},...,\alpha \cdot a_{n}).}$

Сабирање вектора

Узмимо два вектора ${\displaystyle a,b\in K^{n}\,}$ :

${\displaystyle {\overrightarrow {a}}=(a_{1},...,a_{n})}$

${\displaystyle {\overrightarrow {b}}=(b_{1},...,b_{n})}$

Њихово сабирање се дефинише као сабирање компоненти са истим индексима.

${\displaystyle +:(K^{n},K^{n})\rightarrow K^{n}\,}$

${\displaystyle {\overrightarrow {c}}={\overrightarrow {a}}+{\overrightarrow {b}}}$ ,

${\displaystyle c_{i}=a_{i}+b_{i}\,}$ , где је ${\displaystyle i=1,...,n\,}$

При чему ће вектор c бити из простора ${\displaystyle K^{n}\,}$ . Одузимање вектора би се вршило по сличном принципу:

${\displaystyle {\overrightarrow {c}}={\overrightarrow {a}}+(-{\overrightarrow {b}})}$

При чему ${\displaystyle -{\overrightarrow {b}}=(-b_{1},-b_{2},...,-b_{n})}$ .

Скаларно множење вектора

Слично сабирању, скаларно множење вектора се дефинише као збир производа свих парова координата два вектора, које имају исте индексе. Овај збир и производ се преузимају из поља K. Разлика у односу на сабирање је то што је резултат скаларног производа два вектора из Kⁿ у ствари један скалар из K. Конкретно за два вектора a и b из Kⁿ би производ k изгледао овако:

${\displaystyle \cdot :(K^{n},K^{n})\rightarrow K}$

${\displaystyle k={\overrightarrow {a}}\cdot {\overrightarrow {b}},k\in K}$

${\displaystyle k=\sum _{k=1}^{n}{a_{i}\cdot b_{i}}}$ , где је ${\displaystyle i=1,\,\ldots \,,n}$

Овде треба приметити да је скаларни производ вектора такође једнак

${\displaystyle k={\overrightarrow {a}}\cdot {\overrightarrow {b}}=|{\vec {a}}|\cdot |{\vec {b}}|\cdot \cos \omega ,}$

при чему је ω угао између a и b.

Ово заправо значи и:

${\displaystyle {\overrightarrow {a}}\cdot {\overrightarrow {b}}=0\Rightarrow {\overrightarrow {a}}\bot {\overrightarrow {b}}}$

То јест да су два вектора нормални, ако им је скаларни производ једнак нули.

Векторски производ

Још један тип производа карактерестичан за тродимензионалне еуклидске просторе (E³) је векторски производ. Дефинише се на следећи начин:

${\displaystyle \times :(E^{3},E^{3})\rightarrow E^{3}\,}$

${\displaystyle {\overrightarrow {a}},{\overrightarrow {b}}\in E^{3}}$

${\displaystyle {\overrightarrow {a}}\times {\overrightarrow {b}}={\begin{vmatrix}{\overrightarrow {i}}&{\overrightarrow {j}}&{\overrightarrow {k}}\\a_{1}&a_{2}&a_{3}\\b_{1}&b_{2}&b_{3}\end{vmatrix}}=}$

${\displaystyle {\overrightarrow {i}}(a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2})-{\overrightarrow {j}}(a_{1}b_{3}-a_{3}b_{1})+{\overrightarrow {k}}(a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1})=}$ ${\displaystyle {\begin{pmatrix}a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2}\\a_{3}b_{1}-a_{1}b_{3}\\a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}\end{pmatrix}}}$

Јер су ${\displaystyle {\overrightarrow {i}}=(1,0,0)}$ , ${\displaystyle {\overrightarrow {j}}=(0,1,0)}$ и :${\displaystyle {\overrightarrow {k}}=(0,0,1)}$ вектори канонске базе E³.

Код векторског производа је битно приметити следеће особине:

${\displaystyle {\overrightarrow {a}}\times {\overrightarrow {b}}\bot {\overrightarrow {a}},{\overrightarrow {b}}}$ , тј. векторски производ два вектора је нормалан на њих саме.

${\displaystyle |{\overrightarrow {a}}\times {\overrightarrow {b}}|=|{\vec {a}}||{\vec {b}}|\sin \omega }$ , где је :${\displaystyle \omega }$ угао између ова два вектора. Ово заправо значи да је интензитет векторског производа два вектора једнак површини паралелограма кога чине ови вектори.

${\displaystyle {\overrightarrow {a}}\times {\overrightarrow {b}}=-({\overrightarrow {b}}\times {\overrightarrow {a}})}$ , тј. векторски производ није комутативан.

${\displaystyle (\alpha \cdot {\overrightarrow {a}})\times {\overrightarrow {b}}=\alpha ({\overrightarrow {a}}\times {\overrightarrow {b}})}$ , где је ${\displaystyle \alpha \in E}$ . Тј. векторски производ се лепо понаша према множењу скаларом слева.

Мешовити производ

Мешовити производ вектора је тринарна математичка операција која уређену тројку вектора из E³ пресликава у скалар из E. Записује се са

${\displaystyle [{\overrightarrow {a}},{\overrightarrow {b}},{\overrightarrow {c}}]}$

А по дефиницији је:

${\displaystyle [{\overrightarrow {a}},{\overrightarrow {b}},{\overrightarrow {c}}]=({\overrightarrow {a}}\times {\overrightarrow {b}})\cdot {\overrightarrow {c}}=}$ ${\displaystyle {\begin{vmatrix}a_{1}&a_{2}&a_{3}\\b_{1}&b_{2}&b_{3}\\c_{1}&c_{2}&c_{3}\end{vmatrix}},}$  :${\displaystyle {\overrightarrow {a}},{\overrightarrow {b}},{\overrightarrow {c}}\in E^{3}}$

Што значи да је вредност мешовитог производа три вектора једнака запремини паралелопипеда конструисаног над њима. Следе нека основна својства мешовитог производа:

• ${\displaystyle [{\vec {a}},{\vec {b}},{\vec {c}}]=[{\vec {b}},{\vec {c}},{\vec {a}}]=[{\vec {c}},{\vec {a}},{\vec {b}}]}$
• ${\displaystyle [{\vec {a}},{\vec {b}},{\vec {c}}]=-[{\vec {b}},{\vec {a}},{\vec {c}}]=-[{\vec {a}},{\vec {c}},{\vec {b}}]=-[{\vec {c}},{\vec {b}},{\vec {a}}]}$
• ${\displaystyle [\alpha {\vec {a}},{\vec {b}},{\vec {c}}]=\alpha [{\vec {a}},{\vec {b}},{\vec {c}}]}$
• ${\displaystyle [{\vec {a_{1}}}+{\vec {a_{2}}},{\vec {b}},{\vec {c}}]=[{\vec {a_{1}}},{\vec {b}},{\vec {c}}]+[{\vec {a_{2}}},{\vec {b}},{\vec {c}}]}$

• Векторски простор
• Грам-Шмитов поступак за ортогонализацију скупа вектора

Вектор на Викимедијиној остави.

• Hazewinkel Michiel, ур. (2001). „Vector”. Encyclopaedia of Mathematics. Springer. ISBN 978-1556080104. 
• Online vector identities (PDF)
• Introducing Vectors A conceptual introduction (applied mathematics)