Bevis Antag att dim U = n {\displaystyle \dim \mathbb {U} =n} , låt u ¯ 1 , . . . , u ¯ k {\displaystyle {\bar {u}}_{1},...,{\bar {u}}_{k}} vara en bas för N ( F ) {\displaystyle N(F)} och fyll ut med u ¯ k + 1 , . . . , u ¯ n {\displaystyle {\bar {u}}_{k+1},...,{\bar {u}}_{n}} till en bas för U {\displaystyle \mathbb {U} } .
Om dim N ( F ) = dim U = n ⇔ k = n {\displaystyle \dim N(F)=\dim \mathbb {U} =n\Leftrightarrow k=n} är V ( F ) = { 0 } {\displaystyle V(F)=\{0\}} ty det enda som nås av F {\displaystyle F} är nollvektorn och dim N ( F ) + dim V ( F ) = n + 0 = n = dim U {\displaystyle \dim N(F)+\dim V(F)=n+0=n=\dim \mathbb {U} } och satsen stämmer. Om 1 ≤ dim N ( F ) = k < n {\displaystyle 1\leq \dim N(F)=k<n} gäller som vanligt att V ( F ) = [ F ( u ¯ 1 ) , . . . , F ( u ¯ n ) ] {\displaystyle V(F)=\left[F({\bar {u}}_{1}),...,F({\bar {u}}_{n})\right]} men då F ( u ¯ 1 ) = . . . = F ( u ¯ k ) = 0 {\displaystyle F({\bar {u}}_{1})=...=F({\bar {u}}_{k})=0} innebär det att V ( F ) = [ F ( u ¯ k + 1 ) , . . . , F ( u ¯ n ) ] {\displaystyle V(F)=\left[F({\bar {u}}_{k+1}),...,F({\bar {u}}_{n})\right]} där F ( u ¯ k + 1 ) , . . . , F ( u ¯ n ) {\displaystyle F({\bar {u}}_{k+1}),...,F({\bar {u}}_{n})} måste vara linjärt oberoende ty λ k + 1 F ( u ¯ k + 1 ) + . . . + λ n F ( u ¯ n ) = 0 ⇔ F ( λ k + 1 u ¯ k + 1 + . . . + λ n u ¯ n ) = 0 ⇔ λ k + 1 u ¯ k + 1 + . . . + λ n u ¯ n = 0 ⇔ λ k + 1 = . . . = λ n = 0 {\displaystyle \lambda _{k+1}F({\bar {u}}_{k+1})+...+\lambda _{n}F({\bar {u}}_{n})=0\Leftrightarrow F(\lambda _{k+1}{\bar {u}}_{k+1}+...+\lambda _{n}{\bar {u}}_{n})=0\Leftrightarrow \lambda _{k+1}{\bar {u}}_{k+1}+...+\lambda _{n}{\bar {u}}_{n}=0\Leftrightarrow \lambda _{k+1}=...=\lambda _{n}=0} ty λ k + 1 u ¯ k + 1 + . . . + λ n u ¯ n ∈ N ( F ) {\displaystyle \lambda _{k+1}{\bar {u}}_{k+1}+...+\lambda _{n}{\bar {u}}_{n}\in N(F)} omm λ k + 1 u ¯ k + 1 + . . . + λ n u ¯ n = 0 {\displaystyle \lambda _{k+1}{\bar {u}}_{k+1}+...+\lambda _{n}{\bar {u}}_{n}=0} och u ¯ k + 1 , . . . , u ¯ n {\displaystyle {\bar {u}}_{k+1},...,{\bar {u}}_{n}} är alla ≠ 0 {\displaystyle \not =0} då de är basvektorer i U {\displaystyle \mathbb {U} } och således linjärt oberoende. Alltså utgör F ( u ¯ k + 1 ) , . . . , F ( u ¯ n ) {\displaystyle F({\bar {u}}_{k+1}),...,F({\bar {u}}_{n})} en bas för V ( F ) {\displaystyle V(F)} och dim N ( F ) + dim V ( F ) = k + ( n − k ) = n = dim U {\displaystyle \dim N(F)+\dim V(F)=k+(n-k)=n=\dim \mathbb {U} } och satsen stämmer. Om dim N ( F ) = 0 ⇔ k = 0 {\displaystyle \dim N(F)=0\Leftrightarrow k=0} gäller som vanligt att V ( F ) = [ F ( u ¯ 1 ) , . . . , F ( u ¯ n ) ] {\displaystyle V(F)=\left[F({\bar {u}}_{1}),...,F({\bar {u}}_{n})\right]} där F ( u ¯ 1 ) , . . . , F ( u ¯ n ) {\displaystyle F({\bar {u}}_{1}),...,F({\bar {u}}_{n})} måste vara linjärt oberoende ty λ 1 F ( u ¯ 1 ) + . . . + λ n F ( u ¯ n ) = 0 ⇔ F ( λ 1 u ¯ 1 + . . . + λ n u ¯ n ) = 0 ⇔ λ 1 u ¯ 1 + . . . + λ n u ¯ n = 0 ⇔ λ 1 = . . . = λ n = 0 {\displaystyle \lambda _{1}F({\bar {u}}_{1})+...+\lambda _{n}F({\bar {u}}_{n})=0\Leftrightarrow F(\lambda _{1}{\bar {u}}_{1}+...+\lambda _{n}{\bar {u}}_{n})=0\Leftrightarrow \lambda _{1}{\bar {u}}_{1}+...+\lambda _{n}{\bar {u}}_{n}=0\Leftrightarrow \lambda _{1}=...=\lambda _{n}=0} ty N ( F ) = { 0 } {\displaystyle N(F)=\{0\}} och u ¯ 1 , . . . , u ¯ n {\displaystyle {\bar {u}}_{1},...,{\bar {u}}_{n}} är alla ≠ 0 {\displaystyle \not =0} då de är basvektorer i U {\displaystyle \mathbb {U} } och således linjärt oberoende. Alltså utgör F ( u ¯ 1 ) , . . . , F ( u ¯ n ) {\displaystyle F({\bar {u}}_{1}),...,F({\bar {u}}_{n})} en bas för V ( F ) {\displaystyle V(F)} och dim N ( F ) + dim V ( F ) = 0 + n = n = dim U {\displaystyle \dim N(F)+\dim V(F)=0+n=n=\dim \mathbb {U} } och satsen stämmer. Således har vi nu visat att satsen stämmer i samtliga tre fall.
Se även
Referenser Janfalk, Ulf, Linjär Algebra , 2013, Matematiska institutionen, Linköpings universitet