Teorema del rango
In algebra lineare, il teorema del rango, detto anche teorema di nullità più rango, o teorema della dimensione, afferma che la somma tra la dimensione dell'immagine e la dimensione del nucleo di una trasformazione lineare è uguale alla dimensione del dominio di tale trasformazione lineare; equivalentemente, la somma del rango e della nullità di una matrice è uguale al numero di colonne della matrice.
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Enunciato
Il teorema vale nel contesto delle trasformazioni lineari fra spazi vettoriali, con l'ipotesi che lo spazio vettoriale di partenza abbia dimensione finita.
Data una applicazione lineare fra spazi vettoriali:
il teorema stabilisce che vale la relazione:[1]
dove e
sono rispettivamente l'immagine e il nucleo di
e
è la dimensione di
.
In modo equivalente, se è una matrice
allora:
Dove indica il rango di
e
indica la nullità di
, cioè la
, o indice di nullità.
L'equivalenza degli enunciati deriva dal fatto che ogni applicazione lineare , con
campo arbitrario, può essere scritta, passando in coordinate rispetto a due basi fissate, nel seguente modo:[2]
dove è la matrice di trasformazione associata ad
rispetto a due date basi dei due spazi vettoriali.
Il nucleo di è lo spazio delle soluzioni del sistema di equazioni lineari omogeneo associato alla matrice
, mentre l'immagine è lo spazio generato dalle sue colonne
.[3]
Dimostrazione
Poiché ha dimensione finita, il sottospazio vettoriale
ha anch'esso dimensione finita. Il nucleo ha quindi una base:
Per il teorema della base incompleta esistono tali che:
sia una base di . Per concludere è sufficiente mostrare che i vettori:
formano una base di . L'immagine è generata dai vettori:
I primi vettori sono però nulli (per definizione di Ker), quindi l'immagine è generata dagli ultimi
vettori:
Resta quindi da verificare l'indipendenza lineare di questi vettori. Si suppone quindi data una combinazione lineare nulla:
Per linearità si ottiene:
Quindi:
Poiché questo vettore sta nel nucleo, è esprimibile come combinazione lineare dei vettori :
In altre parole:
Poiché è una base di
, tutti i coefficienti qui presenti sono nulli. In particolare,
per ogni
.
Quindi i vettori sono effettivamente indipendenti. L'immagine ha quindi dimensione
. Pertanto:
Dimostrazione con il teorema di isomorfismo
Il teorema del rango può essere visto come corollario al primo teorema di isomorfismo:
dove è un omomorfismo di gruppi (in particolare, di spazi vettoriali) che agisce su
. Si ha infatti:
che è l'asserto del teorema.
Applicazioni lineari iniettive - suriettive - biunivoche
Data un'applicazione lineare con
e
essa è:
- iniettiva se e solo se
- suriettiva se e solo se
- biiettiva se
e sono verificate entrambe le precedenti condizioni.
Ne segue quindi che, se , l'applicazione lineare è iniettiva se e solo se è suriettiva.
Inoltre, in base alle dimensioni e
, si ha che:
- se
l'applicazione lineare non sarà mai iniettiva, poiché
- se
l'applicazione lineare non sarà mai suriettiva, poiché
Caso di dimensione infinita
Supponiamo il caso particolare in cui l'applicazione lineare è un endomorfismo, cioè una applicazione lineare dallo spazio
in sé stesso. La relazione appena dimostrata:
dice che l'iniettività e la suriettività dell'applicazione si implicano a vicenda.
Nel caso infinito questo cessa di essere vero. Ad esempio, considerando:
come spazio vettoriale su e l'applicazione
che agisce "spostando" in avanti le coordinate e mettendo lo zero in prima posizione, cioè:
è immediato mostrare che tale applicazione è lineare e iniettiva, ma banalmente non suriettiva.
Riformulazioni e generalizzazioni
In linguaggio più moderno, il teorema può essere espresso nel seguente modo. Se:
è una successione esatta corta di spazi vettoriali, allora:
Qui gioca il ruolo di
e
è
.
Nel caso finito-dimensionale questa formulazione è suscettibile di generalizzazione. Se:
è una successione esatta di spazi vettoriali a dimensioni finite, allora:
Il teorema del rango per gli spazi vettoriali di dimensione finita può anche essere formulato in termini degli indici di una mappa lineare. L'indice di una mappa lineare , dove
e
sono di dimensione finita, è definito da:
Intuitivamente, è il numero di soluzioni indipendenti
dell'equazione
, e
è il numero di restrizioni indipendenti che devono essere poste su
per rendere
risolvibile. Il teorema del rango per gli spazi vettoriali di dimensione finita è equivalente all'espressione:
Si vede che possiamo facilmente leggere l'indice della mappa lineare dagli spazi coinvolti, senza la necessità di esaminare
in dettaglio. Questo effetto si trova anche in un risultato molto più profondo: il teorema dell'indice di Atiyah-Singer afferma che l'indice di determinati operatori differenziali può essere letto dalla geometria degli spazi coinvolti.
Note
Bibliografia
- Serge Lang, Algebra lineare, Torino, Bollati Boringhieri, 1992, ISBN 88-339-5035-2.
- Philippe Ellia, Appunti di Geometria I, Bologna, Pitagora Editrice, 1997. ISBN 88-3710958-X
- (EN) Carl D. Meyer, Matrix Analysis and Applied Linear Algebra, Society for Industrial and Applied Mathematics (SIAM), 2000, ISBN 978-0-89871-454-8.
Voci correlate
Collegamenti esterni
- (EN) Eric W. Weisstein, Teorema del rango, su MathWorld, Wolfram Research.