Terim testi

Daha güçlü yakınsaklık testlerinin aksine, terim testi kendi başına bir serinin yakınsak seri olduğunu ifade etmez. Bilhassa, testin tersi doğru değildir. Bunun yerine

• ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}=0}$ ise, o zaman ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$ yakınsayabilir de yakınsamayabilir de.

denilebilir. Harmonik seri, terimleri 0'a giden ancak ıraksak olan bir serinin klasik bir örneğidir.^[3] Harmonik serilerin daha genel bir sınıfı olan p-serileri, yani

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{p}}},}$

testin muhtemel sonuçlarını ortaya çıkaran güzel bir örnektir:

• p ≤ 0 ise, o zaman terim testi serinin ıraksak olduğunu söyler.
• 0 < p ≤ 1 ise, o zaman terim testi sonuçsuzdur; ancak seri integral testi ile ıraksaktır.
• 1 < p ise, o zaman terim testi sonuçsuzdur; ancak seri yine integral testi ile yakınsaktır.

Test genelde devrik biçimde kanıtlanır:

• ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$ yakınsarsa, o zaman ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}=0}$ olur.

Limit manipülasyonu

s_n serini kısmi toplamları ise, o zaman serinin yakınsaması varsayımı, belli bir s için

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }s_{n}=s}$

anlamına gelir. O zaman:^[4]${\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}=\lim _{n\to \infty }(s_{n}-s_{n-1})=s-s=0}$

olur.

Cauchy ölçütü

Serinin yakınsadığı varsayımı Cauchy yakınsaklık testini sağladığı anlamına gelmektedir:Her ${\displaystyle \varepsilon >0}$ için bir N sayısı vardır öyle ki

${\displaystyle |a_{n+1}+a_{n+2}+\ldots +a_{n+p}|<\varepsilon }$

ifadesi n > N ve p ≥ 1 için tutar. p = 1 koymak ise tanımın ifadesini,^[5] yani

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}=0}$

ifadesini kurtarır.

Terim testinin en basit çeşidi gerçel sayıların sonsuz serilerine uygulanır. Üstteki iki kanıt, Cauchy ölçütünü veya limitin doğrusallığını kullanarak, diğer herhangi bir normlu vektör uzayında da geçerlidir.^[6]

• Brabenec, Robert (2005), Resources for the study of real analysis, MAA, ISBN 0-88385-737-5 
• Hansen, Vagn Lundsgaard (2006), Functional Analysis: Entering Hilbert Space, World Scientific, ISBN 981-256-563-9 
• Kaczor, Wiesława and Maria Nowak (2003), Problems in Mathematical Analysis, American Mathematical Society, ISBN 0-8218-2050-8 
• Rudin, Walter (1976) [1953], Principles of mathematical analysis (3 bas.), McGraw-Hill, ISBN 0-07-054235-X 
• Stewart, James (1999), Calculus: Early transcendentals (4 bas.), Brooks/Cole, ISBN 0-534-36298-2 
• Şuhubi, Erdoğan S. (2003), Functional Analysis, Springer, ISBN 1-4020-1616-6