Лема Артіна — Ріса
В математиці, лемою Артіна — Ріса називається важливе твердження про властивості модулів над кільцями Нетер. Лема використовується зокрема для доведення теореми Круля про перетини і має важливі застосування в алгебричній геометрії. Названа на честь Еміля Артіна і Девіда Ріса.
Твердження
Нехай I — ідеал в нетеровому кільці R; нехай M — скінченнопороджений модуль над R і N — його підмодуль. Тоді існує ціле число k ≥ 1, що для всіх цілих чисел n ≥ k,
Доведення
Для довільного кільця R і його ідеалу I, позначимо . Оскільки
можна розглядати
як градуйоване кільце. Якщо позначити
— множину твірних елементів ідеалу I (дана множина є скінченною оскільки R є нетеровим кільцем), то елементи
є породжуючими для
як алгебри над R і тому
є ізоморфним деякій факторалгебрі многочленів
і згідно теореми Гільберта про базис
є кільцем Нетер.
Спадна послідовність скінченнопороджених підмодулів називається I-фільтрацією якщо
; I-фільтрація називається стабільною якщо
для достатньо великого n. Для модуля M з I-фільтрацією, позначимо
; це є градуйованим модулем над градуйованим кільцем
.
є скінченнопородженим модулем над
якщо і тільки якщо
є I-стабільним.
Справді, якщо фільтрація є I-стабільною, то є породженою
членами
кожен з яких теж є скінченно породжений; тому,
є скінченно породженим. Навпаки, якщо цей модуль є скінченно породженим, наприклад, елементами з
, тоді для
, кожен елемент f з
може бути записаним як
для породжуючих елементів з
(для кожного елемента
індекс
береться максимальним з тих, що
). Тобто,
.
Позначимо тепер . Тоді
є I-стабільною фільтрацією. Тому з попереднього отримуємо, що
є скінченно породженим над
і тому
є нетеровим модулем і кожен його підмодуль є скінченно породженим над
; зокрема,
є скінченно породженим коли на N визначити індуковану фільтрацію; тобто
. Індукована фільтрація тоді теж буде I-стабільною, що й доводить твердження леми
Теорема Круля про перетини
Нехай R комутативне нетерове кільце, I — власний ідеал у R і M — скінченнопороджений модуль над R. Тоді перетину
належать всі елементи для яких
для деякого елемента
, який може бути обраний єдиним для всіх
.
Доведення
Очевидно, що якщо для деякого елемента
то
і відповідно
.
Навпаки застосувавши лему Артіна — Ріса для M і N визначених у цьому розділі, отримуємо деяке k, таке що для всіх ,
Зокрема для
:
Але оскільки то звідси
і згідно леми Накаями існує
такий, що
для всіх
.
Наслідок для локальних нетерових кілець
Для власного ідеалу I в комутативному локальному нетеровому кільці .
Оскільки то достатньо довести твердження для єдиного максимального ідеалу локального кільця. Взявши в теоремі Круля
і враховуючи, що в локальному кільці всі елементи
є оборотними отже не є дільниками 0 отримуємо необхідний результат.
Література
- Юрій Дрозд. Вступ до алгебричної геометрії [Архівовано 22 травня 2011 у Wayback Machine.]
- Atiyah, Michael Francis; Macdonald, I.G. (1969), Introduction to Commutative Algebra, Westview Press, ISBN 978-0-201-40751-8
- Eisenbud, David, Commutative Algebra with a View Toward Algebraic Geometry, Graduate Texts in Mathematics, 150, Springer-Verlag, 1995, ISBN 0-387-94268-8.