Định lý về đặc trưng qua tập đóng của tập compact

Giả sử ${\displaystyle X}$ có đặc trưng trên.

Chứng minh ${\displaystyle X}$ compact.

Giả sử ${\displaystyle X}$ không compact.

Gọi ${\displaystyle O}$ là một phủ mở của ${\displaystyle X}$ .

${\displaystyle \bigcup _{U\in O}U=X\qquad U\in \tau _{X}}$

${\displaystyle O}$ không có phủ con hữu hạn.

Cho ${\displaystyle S}$ là một họ con hữu hạn của ${\displaystyle O}$ tức là ${\displaystyle S\subset O,\;|S|<\infty }$

thì ${\displaystyle S}$ không phủ được ${\displaystyle X}$ : ${\displaystyle \bigcup _{U\in S}U\varsubsetneq X}$

Suy ra

${\displaystyle X\backslash \bigcup _{U\in S}U\neq \emptyset :\bigcap _{U\in S}(X\backslash U)\neq \emptyset \qquad (*)}$

Xét họ

${\displaystyle {\mathcal {F}}=\{X\backslash U\,|\,U\in O\}}$

Do ${\displaystyle (*)}$ nên ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ có tính giao hữu hạn.

${\displaystyle \bigcap _{C\in {\mathcal {F}}}C=\bigcap _{U\in O}(X\backslash U)=X\backslash \left(\bigcup _{U\in O}U\right)=\emptyset }$ .Mâu thuẫn giả thiết.

Suy ra định lý được chứng minh.