I-đê-an
(Đổi hướng từ Ideal (lý thuyết vành))
Trong lý thuyết vành, một nhánh của đại số trừu tượng, i-đê-an là một khái niệm tổng quá hóa khái niệm bội số.
Định nghĩa
Đối với một vành tùy ý , ký hiệu cho là nhóm cộng nền của nó. Một tập hợp con được gọi là i-đê-an trái nếu:
- là một nhóm con của
- Với mọi và , tích thuộc .
Tương tự, ta có thể định nghĩa i-đê-an phải và i-đê-an hai phía.
Một i-đê-an (không có giải thích thêm) thông thường được ngầm hiểu là một i-đê-an trái hoặc một i-đê-an hai phía, tùy ngữ cảnh.
Ví dụ
- Trong vành R, chính tập hợp R tạo thành một i-đê-an hai phía. Nó là i-đê-an chính , được gọi là i-đê-an đơn vị.
- Một i-đê-an khác đơn vị được gọi là một i-đê-an đích thực (giống như là tập con đích thực).[1]
- Các số chẵn tạo thành một i-đê-an của vành các số nguyên ; nó thường được ký hiệu là . Tương tự, i-đê-an các bội số của một số nguyên được ký hiệu là .
- Tập hợp tất cả các đa thức chia hết cho x2 + 1 là một i-đê-an chính của vành đa thức.
- Tập hợp các ma trận với hàng dưới cùng bằng là một i-đê-an phải của vành ma trận. Nó không phải là một i-đê-an trái.
- Vành các hàm liên tục f từ vào chứa i-đê-an các hàm số f sao cho f(1) = 0 (i-đê-an các hàm số triệt tiêu tại 1; đây là một i-đê-an tối đại).
Tính chất
Ta có một loạt các loại i-đê-an như sau.
- I-đê-an tối đại: Một i-đê-an đích thực I được gọi là i-đê-an tối đại nếu nó không có i-đê-an đích thực nào chứa nó. Tức là, tồn tại một và chỉ một i-đê-an chứa I: i-đê-an đơn vị. Nó là một phần tử tối đại trong lớp các i-đê-an đích thực (với thứ tự cảm sinh bởi quan hệ bao hàm). Lớp này khác rỗng bởi luôn tồn tại một i-đê-an đích thực: i-đê-an . Theo bổ đề Zorn, tồn tại ít nhất một i-đê-an tối đại trong một vành (ta xây dựng chặn trên bằng phép hợp).
- I-đê-an tối tiểu: Một i-đê-an là tối tiểu nếu nó khác i-đê-an và nó chỉ chứa duy nhất i-đê-an (và chính nó).
- I-đê-an nguyên tố.
- I-đê-an gốc hoặc i-đê-an bán nguyên tố.
- I-đê-an sơ cấp.
- I-đê-an chính
- I-đê-an hữu hạn sinh.
- I-đê-an nguyên thủy.
- I-đê-an bất khả quy.
- I-đê-an chính quy.
- I-đê-an lũy linh đơn: một i-đê-an là lũy linh đơn nếu mỗi phần tử của nó là lũy linh.
- I-đê-an lũy linh: một i-đê-an là lũy linh nếu một lũy thừa hữu hạn của nó bằng 0.
Một i-đê-an của một vành được trang bị một cấu trúc -mô-đun tự nhiên.
Phép toán i-đê-an
Tổng và tích của các i-đê-an được định nghĩa như sau
- ,
Ví dụ
Trong ta có
Đặt và . Thế thì,
- và
- trong khi
Xem thêm
- Số học mô-đun
- Định lý đẳng cấu Noether
- Định lý i-đê-an nguyên tố Boolean
- Lý thuyết i-đê-an
- I-đê-an (lý thuyết thứ tự)
- Định chuẩn i-đê-an
- Phân tách các i-đê-an nguyên tố trong phần mở rộng Galois
- Bó i-đê-an
Tham khảo
- Atiyah, M. F. và Macdonald, I.G., Introduction to Commutative Algebra, 1969, ISBN 0-201-00361-9
- Lang, Serge (2005), Undergraduate Algebra (tái bản lần thứ ba), Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-22025-3
🔥 Top keywords: Đài Truyền hình Kỹ thuật số VTCTrang ChínhGiỗ Tổ Hùng VươngTrương Mỹ LanĐặc biệt:Tìm kiếmHùng VươngVương Đình HuệUEFA Champions LeagueKuwaitChiến dịch Điện Biên PhủFacebookĐài Truyền hình Việt NamTrần Cẩm TúĐội tuyển bóng đá quốc gia KuwaitGoogle DịchViệt NamCúp bóng đá U-23 châu ÁCúp bóng đá U-23 châu Á 2024Real Madrid CFBảng xếp hạng bóng đá nam FIFACleopatra VIITô LâmTim CookNguyễn Phú TrọngHồ Chí MinhHai Bà TrưngManchester City F.C.VnExpressChủ tịch nước Cộng hòa xã hội chủ nghĩa Việt NamNguyễn Ngọc ThắngĐền HùngCúp bóng đá trong nhà châu Á 2024Võ Văn ThưởngOne PieceLịch sử Việt NamCuộc đua xe đạp toàn quốc tranh Cúp truyền hình Thành phố Hồ Chí Minh 2024Phạm Minh ChínhTikTokĐinh Tiên Hoàng