Toán học và nghệ thuật

Tiêu chuẩn của Polykleitos và symmetria

Trưởng lão Polykleitos (khoảng 450–420 TCN) là một nhà điêu khắc người Hy Lạp học tập tại một ngôi trường ở Argos, và là người cùng thời với Phidias. Các tác phẩm và tượng của ông chủ yếu làm bằng đồng và thể hiện tư thế của vận động viên. Theo nhà triết học và toán học Xenocrates, Polykleitos được xem là một trong những nhà điêu khắc quan trọng nhất của thời cổ đại Hy-La với tác phẩm Doryphorus và bức tượng nữ thần Hera trong đền Heraion thành Argos.^[2] Mặc dù tác phẩm điêu khắc của ông có thể không nổi tiếng bằng tác phẩm của Phidias, nhưng chúng vẫn được nhiều người ngưỡng mộ. Polykleitos đã viết một chuyên luận về tiêu chuẩn để cung cấp tư liệu về tỷ lệ cơ thể cân đối "hoàn hảo" cho nam khỏa thân. Ông cung cấp cho hậu thế một cách tiếp cận toán học đối với việc điêu khắc cơ thể người.^[2]

Bản thân tiêu chuẩn mà Polykleitos tạo ra đã bị thất truyền nhưng người đời phỏng đoán rằng ông đã sử dụng một chuỗi tỷ lệ cân đối mà trong đó mỗi độ dài là đường chéo của một hình vuông vạch ra tiền thân của tiêu chuẩn là 1:√2 (khoảng 1:1.4142).^[3]

Tầm ảnh hưởng của tiêu chuẩn do Polykleitos tạo ra là vô cùng lớn trong điêu khắc Hy Lạp cổ điển, La Mã, và Phục Hưng. Nhiều nhà điêu khắc đã tuân theo quy ước của Polykleitos. Mặc dù tác phẩm gốc của Polykleitos không còn tồn tại, nhưng những bản sao La Mã chứng tỏ lý tưởng của ông về sự hoàn hảo về mặt hình thể và độ chính xác trong toán học. Một số học giả cho rằng tư tưởng của Pythagoras có ảnh hưởng đến tiêu chuẩn của Polykleitos.^[4] Tiêu chuẩn này áp dụng một số khái niệm toán học cơ bản của hình học Hy Lạp, chẳng hạn như tỷ lệ, sự cân xứng, và symmetria (tiếng Hy Lạp cho "sự cân xứng hài hòa"). Bên cạnh việc áp dụng, tiêu chuẩn còn biến khái niệm toán học cơ bản của hình học Hy Lạp thành hệ thống có khả năng mô tả hình dáng con người thông qua một chuỗi hình học liên tiếp.^[3]

Phối cảnh và sự cân xứng

Trong thời kỳ cổ điển, thay vì làm cho hình ở xa nhỏ hơn giống như phối cảnh tuyến tính, họa sĩ thường định kích thước của vật thể và hình dựa trên ý nghĩa chủ đề của chúng. Vào thời Trung Cổ, một số nghệ sĩ đã sử dụng phối cảnh ngược để để tạo ra điểm nhấn đặc biệt. Nhà toán học theo đạo Hồi Alhazen (Ibn al-Haytham) đã mô tả một lý thuyết về quang học trong cuốn Kitab al Manazir (Sách Quang học) ra đời năm 1021, nhưng chưa bao giờ áp dụng lý thuyết đó vào nghệ thuật.^[5] Thời kỳ Phục Hưng chứng kiến sự tái sinh của văn hóa và ý tưởng Hy Lạp và La Mã cổ điển, trong số đó có nghiên cứu toán học để nâng tầm hiểu biết về tự nhiên và các môn nghệ thuật. Hai động lực chính này đã thúc đẩy nghệ sĩ thời hậu kỳ Trung Cổ và thời Phục Hưng hướng đến toán học. Đầu tiên, họa sĩ cần tìm ra cách mô tả cảnh ba chiều trên khung vẽ hai chiều. Thứ hai, triết gia và nghệ sĩ đều tin rằng toán học là bản chất thực sự của thế giới vật chất và toàn bộ vũ trụ, bao gồm cả nghệ thuật. Nghệ thuật có thể được giải thích bằng những thuật ngữ hình học.^[6]

Khái niệm ban đầu của phối cảnh bắt đầu từ Giotto (1266/7 - 1337), ông từng cố gắng vẽ phối cảnh bằng phương pháp đại số để xác định vị trí của các đường ở xa. Năm 1415, kiến trúc sư người Ý Filippo Brunelleschi và bạn ông là Leon Battista Alberti đã chứng minh phương pháp hình học áp dụng phối cảnh ở Florence. Họ sử dụng tam giác tương tự như công thức của Euclid để tìm chiều cao biểu kiến của vật thể ở xa.^[7][8] Những bức tranh phối cảnh của riêng Brunelleschi đã bị mất, nhưng bức tranh về Ba Ngôi của Masaccio lại cho thấy các nguyên tắc của Brunelleschi trong tác phẩm.^[5][9][10]

Họa sĩ người Ý Paolo Uccello (1397–1475) có sự đam mê với phối cảnh, điều này được thể hiện qua chùm tranh vẽ về trận San Romano (khoảng 1435–1460): những cây thương bị gãy được vẽ ở vị trí thích hợp dọc theo đường phối cảnh.^[11][12]

Họa sĩ Piero della Francesca (khoảng 1415–1492) là minh chứng cho sự đổi mới này trong tư duy Phục hưng ở Ý. Ông là một nhà toán học và hình học lão luyện, viết sách về hình học không gian và phối cảnh, bao gồm De prospectiva pingendi (Về phối cảnh cho hội họa), Trattato d’Abaco (Luận về phép tính), và De quinque corporibus regularibus (Về năm khối đa diện đều).^[13][14][15] Nhà sử học Vasari đã viết trong cuốn Le vite de' più eccellenti pittori, scultori, e architettori (Cuộc đời của những người họa sĩ, nhà điêu khắc, và kiến trúc sư xuất sắc nhất) rằng Piero là "nhà hình học vĩ đại nhất trong thời đại của ông, hoặc có lẽ là bất kỳ thời đại nào."^[16] Sự quan tâm của Piero dành cho phối cảnh có thể tìm thấy trong những bức tranh gồm Đa liên họa thành Perugia,^[17] Bệ thờ Thánh Agostino và Sự trừng phạt Chúa Giê-su. Tác phẩm về hình học của Piero có tầm ảnh hưởng đến những nhà toán học và nghệ sĩ sau này, có thể kể đến Luca Pacioli với tác phẩm De divina proportione mà ông hợp tác với Leonardo da Vinci. Piero có nghiên cứu toán học cổ điển và công trình của Archimedes.^[18] Ông từng giảng dạy số học thương mại tại "trường dạy tính toán"; những ghi chép của ông được định dạng như là sách giáo khoa của trường,^[19] có lẽ bao gồm cả cuốn Liber Abaci (1202) của Leonardo Pisano (Fibonacci). Phối cảnh tuyến tính thời bấy giờ chỉ có áp dụng trong lĩnh vực nghệ thuật. Alberti đã giải thích trong quyển De pictura ra đời năm 1435 rằng: "các tia sáng truyền theo đường thẳng từ các điểm trong cảnh được quan sát tới mắt, tạo thành một kiểu kim tự tháp với đỉnh là mắt." Một bức tranh được xây dựng bằng phối cảnh tuyến tính là một tiết diện của kim tự tháp đó.^[20]

Trong sách De Prospectiva Pingendi, Piero biến những quan sát thực nghiệm của mình về cách các phía của một hình thay đổi theo cảnh nhìn thành chứng minh toán học. Luận thuyết của ông lấy cảm hứng từ Euclid: ông định nghĩa điểm là "thứ nhỏ nhất mà mắt có thể nhận thấy được."^[a][6] Ông sử dụng suy diễn logic để dẫn dắt độc giả đến sự thể hiện phối cảnh của một vật thể ba chiều.^[21]

David Hockney lập luận trong cuốn Secret Knowledge: Rediscovering the Lost Techniques of the Old Masters rằng nghệ sĩ bắt đầu sử dụng camera lucida từ thập niên 1420, dẫn đến sự thay đổi đột ngột về độ chính xác và tính thực tế. Những nghệ sĩ lớn như Ingres, Van Eyck và Caravaggio đã tiếp tục ứng dụng kỹ thuật này.^[22] Nhiều nhà phê bình không đồng ý về việc liệu Hockney có đúng hay không.^[23][24] Tương tự như vậy, kiến trúc sư Philip Steadman có tranh luận một cách gay gắt^[25] rằng Vermeer đã sử dụng một thiết bị khác là camera obscura, để ông có thể tạo ra những bức tranh có sự quan sát khác biệt.^[26]

Năm 1509, Luca Pacioli (khoảng 1447–1517) xuất bản tác phẩm De divina proportione về sự cân xứng trong toán học và nghệ thuật, bao gồm cả khuôn mặt người. Leonardo da Vinci (1452–1519) là người vẽ minh họa cho văn bản bằng những bức tranh khắc gỗ thể hiện khối đa diện đều, trong khoảng thời gian ông hợp tác nghiên cứu với Pacioli vào thập niên 1490. Những bức họa của Leonardo có lẽ là minh họa đầu tiên về khối đa diện có khung.^[27] Chúng, chẳng hạn như khối rhombicuboctahedron, là một trong những khối đầu tiên được vẽ để thể hiện phối cảnh bằng cách phủ lên nhau. De divina proportione bàn về quan điểm trong các tác phẩm của Piero della Francesca, Melozzo da Forlì, và Marco Palmezzano.^[28] Da Vinci có nghiên cứu về Summa của Pacioli, từ đó ông sao chép bảng tỷ lệ cân đối.^[29] Trong bức tranh Mona Lisa và Bữa ăn tối cuối cùng, Da Vinci đã kết hợp phối cảnh tuyến tính với một điểm biến mất để tạo ra chiều sâu rõ ràng.^[30] Bữa ăn tối cuối cùng được xây dựng bám sát theo tỷ lệ 12: 6: 4: 3, giống như bức tranh Trường Athena của Raphael. Tác phẩm của Raphael thể hiện Pythagoras với một bảng tỷ lệ lý tưởng, rất quan trọng đối với môn đồ của Pythagoras.^[31][32] Trong bức vẽ Người Vitruvius, Leonardo thể hiện ý tưởng của kiến trúc sư người La Mã Vitruvius một cách cách tân khi phô bày hình thể nam giới tới 2 lần, và đặt trọng tâm của anh ta theo cả hình tròn và hình vuông.^[33]

Ngay từ đầu thế kỷ 15, phối cảnh cong đã được tìm thấy trong những bức tranh của nghệ sĩ có quan tâm đến sự biến dạng của hình ảnh. Bức Chân dung Arnolfini (1434) do họa sĩ Jan van Eyck thực hiện có chứa tấm gương cầu lồi phản chiếu những nhân vật trong nền cảnh.^[34] Còn bức Chân dung tự họa trong tấm gương lồi (khoảng 1523–1524) của họa sĩ Parmigianino lại hiển thị phần lớn khuôn mặt không bị biến dạng của ông ở trung tâm, với cảnh nền cong một cách rõ rệt, và có bàn tay bao quanh rìa bức tranh.^[35]

Không gian ba chiều có thể được thể hiện một cách lôi cuốn trong nghệ thuật, thông qua vẽ kỹ thuật hoặc bằng những phương pháp khác ngoài phối cảnh. Phép chiếu xiên, bao gồm cả phép chiếu cavalier (nghệ sĩ quân đội Pháp từng sử dụng để khắc họa công sự trong thế kỷ 18) đã được các nghệ sĩ Trung Hoa sử dụng liên tục và phổ biến từ thế kỷ 1 hoặc thế kỷ 2 cho đến tận thế kỷ 18. Người Trung Quốc tiếp thu kỹ thuật này từ Ấn Độ, và người Ấn Độ tiếp thu kỹ thuật này từ La Mã cổ đại. Phép chiếu xiên có thể tìm thấy trong nghệ thuật Nhật Bản, điển hình là tranh Ukiyo-e của Kiyonaga Torii (1752–1815).^[36]

• 
  Tranh khắc gỗ trong tác phẩm De divina proportione của Luca Pacioli thể hiện hình tam giác đều trên mặt người.
• 
  Camera lucida được sử dụng để vẽ bức tượng thu nhỏ. Scientific American, 1879
• 
  Minh họa về một người nghệ sĩ sử dụng camera obscura (thế kỷ 17).
• 
  Sự cân xứng: Bức họa Người Vitruvius của Leonardo (khoảng 1490).
• 
  Lý thuyết về phối cảnh của Brunelleschi: bức tranh về Ba Ngôi do họa sĩ Masaccio thể hiện (khoảng 1426–1428, tại Vương cung thánh đường Santa Maria Novella.
• 
  Bản vẽ trong luận thuyết Della Pittura (1435) của Leon Battista Alberti.
• 
  Phối cảnh tuyến tính trong tác phẩm Sự trừng phạt Chúa Giê-su (1455–1460) của họa sĩ Piero della Francesca.
• 
  Phối cảnh cong: tấm gương lồi trong bức Chân dung Arnolfini (1434) của họa sĩ Jan van Eyck.
• 
  Chân dung tự họa trong tấm gương lồi (khoảng 1523–1524) của họa sĩ Parmigianino.
• 
  Pythagoras với bảng tỉ lệ lý tưởng, trong tác phẩm Trường Athena (1509) của Raphael.
• 
  Phép chiếu xiên: Lối vào và sân của một nha môn (thế kỷ 18). Bức tranh cuộn này là do họa sĩ Từ Dương, người đến từ Tô Châu thực hiện, theo lệnh của Hoàng đế Càn Long.
• 
  Phép chiếu xiên: phụ nữ chơi cờ Shogi, cờ vây và cờ sugoroku. Bức tranh của họa sĩ Nhật Bản Kiyonaga Torii (1780).

Tỷ lệ vàng

Tỷ lệ vàng (gần bằng 1.618) thường gắn liền với tên tuổi của Euclid.^[37] Thời hiện đại liên tục có nhiều tuyên bố khẳng định rằng người Ai Cập, Hy Lạp và một số nơi khác thời cổ đại đã sử dụng tỷ lệ vàng trong nghệ thuật và kiến trúc,^{[38][39][40][41]} mặc dù không có bằng chứng nào đáng tin cậy.^[42] Tuyên bố này có thể bắt nguồn từ sự nhầm lẫn với "golden mean" (nghĩa bóng là sự dung hòa), mà đối với người Hy Lạp cổ đại nghĩa là "tránh sự vượt quá giới hạn theo cả hai phía [quá nhiều hoặc quá ít]" chứ không phải là tỷ lệ.^[42] Các nhà nghiên cứu kim tự tháp từ thế kỷ 19 đã tranh luận dựa trên cơ sở toán học đáng ngờ về tỷ lệ vàng trong thiết kế kim tự tháp.^[b] Đền Pathenon xây dựng từ thế kỷ 5 TCN ở Athens được cho là có sử dụng tỷ lệ vàng theo sơ đồ mặt tiền và mặt bằng của nó,^[45][46][47] nhưng kết quả đo đạc đã bác bỏ tuyên bố này.^[42] Nhà thờ Hồi giáo lớn Kairouan ở Tunisia cũng được cho là sử dụng tỷ lệ vàng trong thiết kế,^[48] nhưng tỷ lệ này không xuất hiện trong các phần ban đầu của nhà thờ Hồi giáo.^[49] Nhà sử học kiến trúc Frederik Macody Lund lập luận vào năm 1919 rằng Nhà thờ Chartres (thế kỷ 12), Nhà thờ Đức Bà Laon (1157–1205) và Nhà thờ Đức Bà Paris (1160) được thiết kế theo tỷ lệ vàng,^[50] ông đã vẽ đường điều chỉnh để chứng minh quan điểm của mình. Một số học giả khác cho rằng mãi đến năm 1509 mới có tỷ lệ vàng trong tác phẩm của Pacioli, còn giai đoạn trước đó thì chưa có nghệ sĩ hay kiến trúc sư nào biết đến.^[51] Lấy ví dụ, chiều cao và chiều rộng của mặt tiền Nhà thờ Đức Bà Laon có tỷ lệ là 8/5 hoặc 1.6, chứ không phải 1.618. Tỷ lệ Fibonacci vì vậy mà trở nên khó phân biệt với tỷ lệ vàng.^[52] Sau Pacioli, tỷ lệ vàng chắc chắn sẽ xuất hiện rõ ràng trong các tác phẩm nghệ thuật bao gồm cả bức họa Mona Lisa của Leonardo.^[53]

• 
  Cơ sở: tỷ lệ cạnh huyền (b:a) của Kim tự tháp Khufu có thể là: 1:φ (tam giác Kepler), 3:5 (tam giác 3-4-5) hoặc 1:4/π.
• 
  Tỷ lệ giả định: Nhà thờ Đức Bà Laon.
• 
  Hình chữ nhật vàng chồng lên bức tranh Mona Lisa.

Khối đa diện

Khối đa diện đều Platon và các loại khối đa diện khác là một chủ đề thường thấy trong nghệ thuật phương Tây. Chẳng hạn như tại sàn Vương cung thánh đường San Marco ở Venice, chúng ta có thể thấy một bức tranh khảm bằng đá cẩm thạch do Paolo Ucello thực hiện có khối thập nhị diện đều nhỏ xòe ra như hình sao.^[11] Leonardo da Vinci có vẽ sơ đồ các khối đa điện đều để minh họa cho cuốn sách De divina proportione (1509) của Luci Pacioli.^[11] Bức chân dung của Pacioli do họa sĩ Jacopo de Barbari thể hiện vào năm 1495 có sự xuất hiện của khối rhombicuboctahedron thủy tinh.^[11] Trong bức tranh khắc Melencolia I của Albrecht Dürer có thể hiện khối đa diện cắt cụt cùng với một số vật thể toán học khác.^[11] Tác phẩm Bữa ăn tối cuối cùng do Salvador Dalí thực hiện khắc họa Chúa Giê-su và các tông đồ ăn tối trong một căn phòng có dạng hình khối thập nhị diện đều.^[54]

Albrecht Dürer (1471–1528) là họa sĩ thiết kế in ấn người Đức thời Phục Hưng. Ông có đóng góp quan trọng cho tài liệu về khối đa diện khi viết nên cuốn sách Underweysung der Messung (Giáo dục về đo lường) xuất bản năm 1525. Nội dung của quyển sách giảng dạy về chủ đề phối cảnh tuyến tính, hình học trong kiến trúc, khối đa diện đều Platon, và đa giác đều. Có khả năng là Dürer đã chịu ảnh hưởng từ tác phẩm của Luca Pacioli và Piero della Francesca khi ông du hành đến Ý nhiều lần.^[55] Ví dụ về phối cảnh trong tác phẩm Underweysung der Messung chưa được xây dựng hoàn thiện và có nhiều điểm không chính xác, nhưng thảo luận về khối đa diện lại cặn kẽ, tỉ mỉ, đi sâu vào chi tiết. Dürer chính là người đầu tiên trình bày bằng văn bản ý tưởng về lưới đa diện, các khối đa diện được mở ra đặt nằm phẳng để in.^[56] Năm 1528, ông xuất bản một cuốn sách có tầm ảnh hưởng viết về tỷ lệ cân đối của con người với tựa đề Vier Bücher von Menschlicher Proportion (Bốn cuốn sách về tỷ cân đối của con người).^[57]

Tác phẩm Corpus Hypercubus của Salvador Dalí khắc họa một mạng lưới không gian ba chiều mở ra thành một khối siêu lập phương, được biết đến với tên gọi là tesseract. Việc tesseract mở ra thành 8 khối lập phương cũng tương tự như việc một hình lập phương mở ra các mặt thành một dạng chữ thập của sáu hình vuông. Điều này thể hiện góc nhìn kỳ diệu về một khối đa diện đều bốn chiều.^[58][59]

• 
  Tranh khảm bằng đá cẩm thạch tại Vương cung thánh đường San Marco do Paolo Uccello thực hiện.
• 
  Hình minh họa đầu tiên của khối rhombicuboctahedron do Leonardo da Vinci vẽ trong cuốn De Divina Proportione (1509).
• 
  Hình khối tesseract.

Nhà thiên văn học Galileo Galilei viết trong cuốn Il Saggiatore rằng "[Vũ trụ] được viết bằng ngôn ngữ toán học, và các đặc số của nó là hình tam giác, hình tròn và các hình học khác."^[60] Theo quan niệm của Galileo, nghệ sĩ cần phải hiểu đầy đủ về toán học trước khi nỗ lực và mưu cầu nghiên cứu về tự nhiên. Ở chiều ngược lại, các nhà toán học lại tìm cách làm sáng tỏ và phân tích nghệ thuật qua lăng kính của hình học và tính hợp lý. Nhà toán học Felipe Cucker đề xuất rằng toán học, đặc biệt là hình học là nguồn quy tắc cho "sự sáng tạo nghệ thuật theo quy tắc", mặc dù không phải là quy tắc duy nhất.^[61]

Toán học như một bộ môn nghệ thuật

Nhà toán học Jerry P. King mô tả toán học như một bộ môn nghệ thuật, nói rằng "chìa khóa của toán học là vẻ đẹp và sự thanh lịch chứ không phải là sự buồn tẻ và tính kỹ thuật", và vẻ đẹp đó là động lực để thúc đẩy nghiên cứu toán học.^[62] King trích dẫn bài luận A Mathematician's Apology năm 1940 của nhà toán học G. H. Hardy. Trong bài luận, Hardy thảo luận về lý do tại sao ông tìm thấy hai định lý từ thời cổ đại Hy-La vào loại xuất sắc, đầu tiên là chứng minh của Euclid về sự tồn tại của vô cùng nhiều số nguyên tố và thứ hai chứng minh căn bậc hai của số 2 là số vô tỷ. King đánh giá chứng minh thứ hai dựa trên tiêu chí của Hardy về sự thanh lịch của toán học: "tính nghiêm túc, tính chiều sâu, tính tổng quát, tính bất ngờ, tính chắc chắn và tính kinh tế" (chữ in nghiêng là của King) và mô tả phép chứng minh là "thú vị về mặt thẩm mỹ".^[63] Nhà toán học người Hungary Paul Erdős đồng ý rằng toán học sở hữu vẻ đẹp nhưng không thể nào lý giải được: "Tại sao những con số lại đẹp? Giống như việc đặt câu hỏi tại sao Bản giao hưởng số 9 của Beethoven lại đẹp như vậy. Nếu bạn không hiểu rõ tại sao, thì một người nào đó không thể chỉ cho bạn biết. Tôi hiểu rằng những con số đều đẹp."^[64]

Công cụ toán học cho nghệ thuật

Toán học có thể được đánh giá cao trong nhiều môn nghệ thuật như âm nhạc, khiêu vũ,^[65] hội họa, kiến trúc và điêu khắc. Mỗi bộ môn đều có mối liên hệ mạnh mẽ với toán học.^[66] Trong số những mối liên kết với nghệ thuật thị giác, toán học có thể cung cấp cho nghệ sĩ công cụ, chẳng hạn như quy tắc phối cảnh tuyến tính do Brook Taylor và Johann Lambert vạch ra, hoặc các phương pháp của hình học họa hình hiện được áp dụng trong phần mềm tạo mô hình khối đa diện. Những phương pháp này đã có từ thời Albrecht Dürer và Gaspard Monge.^[67] Nghệ sĩ như Luca Pacioli, Leonardo da Vinci và Albrecht Dürer đều tận dụng và phát triển các ý tưởng toán học để theo đuổi công việc sáng tạo nghệ thuật của họ.^[66][68] Phối cảnh bắt đầu được sử dụng vào thế kỷ 13 bởi những họa sĩ người Ý như Giotto, mặc dù kiến trúc Hy Lạp cổ đại có thể đã áp dụng hình thức sơ khai của phối cảnh. Brunelleschi xây dựng nguyên tắc điểm biến mất vào khoảng năm 1413,^[5] và lý thuyết này có ảnh hưởng đến Leonardo và Dürer. Công trình nghiên cứu về quang phổ của Isaac Newton có ảnh hưởng đến tác phẩm Zur Farbenlehre (Lý thuyết về màu sắc) của Goethe và lần lượt là các nghệ sĩ như Philipp Otto Runge, J. M. W. Turner,^[69] nhóm Tiền Raphael và Wassily Kandinsky.^[70][71] Nghệ sĩ có thể chọn phân tích sự đối xứng của một cảnh.^[72] Công cụ có thể được áp dựng bởi nhà toán học đang khám phá nghệ thuật hoặc nghệ sĩ được truyền cảm hứng từ toán học, chẳng hạn như M. C. Escher (người truyền cảm hứng cho Escher là H. S. M. Coxeter) và kiến trúc sư Frank Gehry. Gehry có lập luận rằng thiết kế với sự hỗ trợ của máy tính cho phép ông thể hiện bản thân theo một cách hoàn toàn mới.^[73]

Nghệ sĩ Richard Wright lập luận rằng có thể xem những vật thể toán học có khả năng tạo dựng được là "quá trình mô phỏng hiện tượng" hoặc sản phẩm của "nghệ thuật máy tính". Ông xem xét bản chất của tư tưởng toán học, nhận thấy rằng các nhà toán học đã biết đến những fractal trong một thế kỷ trước khi chúng được công nhận. Wright đi đến kết luận rằng sẽ thật thích hợp khi đưa vật thể toán học vào bất kỳ phương pháp nào được sử dụng để "chấp nhận nó là một phần của tạo tác văn hóa như nghệ thuật, sự đối lập giữa hai mặt khách quan và chủ quan, ý nghĩa ẩn dụ của chúng và đặc tính của hệ thống tiêu biểu." Ông lần lượt đưa ra những ví dụ về một hình ảnh được sinh ra từ tập hợp Mandelbrot, một hình ảnh được tạo ra bởi thuật toán cellcular automata và một hình ảnh được kết xuất bằng máy tính. Ông có thảo luận và tham khảo phép thử Turing để tìm hiểu xem liệu các sản phẩm của thuật toán có phải là nghệ thuật hay không.^[74]

Một vài trong số những tác phẩm đầu tiên của nghệ thuật máy tính là do Desmond Paul Henry sử dụng "Máy Vẽ 1" tạo nên. "Máy vẽ 1" là một cỗ máy xây dựng dựa trên nền tảng hệ thống của máy tính ngắm ném bom và được đưa ra triển lãm vào năm 1962.^[75][76] Cỗ máy có khả năng tạo ra bản vẽ phức tạp, trừu tượng, không đối xứng, cong veo, nhưng lặp đi lặp lại.^[75][77] Gần đây hơn, Hamid Naderi Yeganeh đã tạo ra các mô hình có tính gợi về vật thể trong thế giới thực như cá và chim. Anh tạo ra nó bằng cách sử dụng đa dạng công thức để vẽ những họ đường cong hoặc đường góc.^[78][79][80] Nghệ sĩ như Mikael Hvidtfeldt Christensen tạo ra các tác phẩm nghệ thuật tạo sinh hoặc thuật toán bằng cách viết tập lệnh cho hệ thống phần mềm như Structure Synth: nghệ sĩ điều khiển hệ thống một cách hiệu quả để kết hợp các phép toán theo ý muốn vào một tập hợp dữ liệu đã chọn.^[81][82]

• 
  Tác phẩm điêu khắc toán học của nghệ sĩ Bathsheba Grossman, 2007.
• 
  Tác phẩm điêu khắc phân dạng: 3D Fraktal 03/H/dd của Hartmut Skerbisch, 2003.
• 
  Dãy từ Fibonacci: tác phẩm nghệ thuật của Samuel Monnier, 2009.
• 
  Ảnh nghệ thuật máy tính do "Máy vẽ 1" của Desmond Paul Henry tạo ra, triển lãm năm 1962.
• 
  Tác phẩm A Bird in Flight (2016) do Hamid Naderi Yeganeh tạo nên bằng cách vẽ nhiều họ đường cong.

Từ toán học đến nghệ thuật

Tác phẩm La Science et l'Hypothèse (Khoa học và giả thuyết) của nhà toán học và vật lý lý thuyết Henri Poincaré đã được nhiều người theo chủ nghĩa lập thể đón nhận, bao gồm cả Pablo Picasso và Jean Metzinger.^[83] Poincaré đã không lạ gì với công trình hình học phi Euclid của Bernhard Riemann nên ông nhận thức rõ rằng hình học Euclid chỉ là một trong nhiều hệ thống hình học khả dĩ chứ không phải là chân lý khách quan tuyệt đối. Sự tồn tại có thể có của chiều không gian thứ 4 truyền cảm hứng cho các nghệ sĩ đặt câu hỏi về phối cảnh cổ điển thời Phục Hưng: hình học phi Euclid đã trở thành một sự lựa chọn hợp lý, có cơ sở.^[84][85][86] Có một khái niệm cho rằng hội họa có thể được thể hiện bằng toán học, bằng màu sắc, và hình thức và góp phần hình thành nên chủ nghĩa lập thể, phong trào nghệ thuật dẫn đến sự ra đời của nghệ thuật trừu tượng.^[87] Năm 1910, Metzinger viết rằng: "[Picasso] đưa ra một góc nhìn tự do, linh động để từ đó, nhà toán học Maurice Princet luận ra toàn bộ hình học".^[88] Sau này, Metzinger cũng viết trong hồi ký:

Maurice Princet thường xuyên nhập hội với chúng tôi... với tư cách là một nghệ sĩ, ông đã khái niệm hóa toán học, với tư cách là một nhà thẩm mỹ học, ông liên tục mở ra n-chiều không gian. Ông muốn nghệ sĩ quan tâm đến cái nhìn mới về không gian do Schlegel và một số người khác mở ra. Ông đã thành công ở điều đó.

— Jean Metzinger, ^[89]

Man Ray đã chụp ảnh một số mô hình toán học, bao gồm cả Objet mathematique (Vật thể toán học) ở viện nghiên cứu toán học Institut Henri Poincaré thuộc Paris. Ông lưu ý rằng vật thể này là điển hình cho bề mặt Enneper có độ cong âm không đổi, bắt nguồn từ giả hình cầu. Nền tảng toán học này có tầm quan trọng với ông, vì nó cho phép ông phủ định rằng vật thể đó là trừu tượng để thay vào đó khẳng định nó là thật giống như chiếc bồn tiểu mà Duchamp sáng tạo thành tác phẩm nghệ thuật. Man Ray thừa nhận rằng công thức [bề mặt Enneper] của vật thể "chẳng có ý nghĩa gì với tôi, nhưng bản thân các dạng công thức này rất đa dạng và chân thực như bất kỳ dạng công thức nào trong tự nhiên."^[90] Phóng viên nghệ thuật Jonathan Keats viết trên tờ ForbesLife rằng Man Ray đã chụp ảnh "các paraboloid hình elip và điểm conic một cách nhẹ nhàng gợi cảm như những bức ảnh về [nữ người mẫu] Kiki de Montparnasse mà ông chụp", và "khéo léo sử dụng lại các phép tính toán học có vẻ ngầu để bộc lộ cấu trúc liên kết của dục vọng".^[91] Những nhà điêu khắc thế kỷ 20 như Henry Moore, Barbara Hepworth và Naum Gabo đều lấy cảm hứng từ mô hình toán học.^[92] Năm 1938, Moore viết trong Stringed Mother and Child rằng: "Không nghi ngờ gì nữa, nguồn cảm hứng cho bức tượng bện dây của tôi là đến từ Bảo tàng Khoa học... Mô hình toán học mà tôi thấy ở đó đã thực sự cuốn hút tôi... Đó không phải là nghiên cứu khoa học về những mô hình mà là khả năng nhìn qua những sợi dây như nhìn qua lồng chim và nhìn thấy hình dạng này bên trong hình dạng khác khiến tôi phấn khích."^[93]

Nghệ sĩ Theo van Doesburg và Piet Mondrian là hai người sáng lập nên phong trào De Stijl. Họ muốn "xây dựng nên một bảng từ vựng trực quan bao gồm các dạng hình học cơ bản mà tất cả mọi người đều có thể hiểu và có thể tương thích với bất kỳ môn học nào".^[94][95] Có thể thấy rõ những hình vuông và tam giác, đôi khi là hình tròn được sắp xếp theo nguyên tắc trong tác phẩm của họ. Nghệ sĩ De Stijl hoạt động trong lĩnh vực hội họa, đồ nội thất, thiết kế nội thất và kiến trúc.^[94] Sau khi De Stijl tan rã, Van Doesburg thành lập phong trào Art Concret. Ông mô tả tác phẩm Arithmetic Composition (1929–1930) thể hiện một dãy gồm bốn hình vuông màu đen, trên đường chéo của một nền được đóng khung là "một cấu trúc có thể mang tính sắp đặt trước, một mặt phẳng rõ ràng không có yếu tố ngẫu nhiên hay cá biệt", nhưng "không vì thế mà mất đi cái hồn, không vì thế mà thiếu đi tính phổ quát và không vì thế mà... trống rỗng vì tất cả mọi thứ đều hòa vào nhịp đập của nội tại". Nhà phê bình nghệ thuật Gladys Fabre nhận thấy rằng có hai sự tiến triển trong bức tranh, đó là những hình vuông màu đen to dần lên và những hình nền xen kẽ.^[95][96]

Toán học về tessellation, khối đa diện, tạo hình không gian và phép tự tham chiếu đã cung cấp cho nghệ sĩ đồ họa M. C. Escher (1898-1972) những tư liệu để đời trong việc tạo ra những bức tranh khắc gỗ.^[97][98] Trong tác phẩm Alhambra Sketch, Escher chỉ ra rằng nghệ thuật có thể được tạo nên từ những hình đa giác hoặc hình thông thường như hình tam giác, hình vuông và hình lục giác. Escher sử dụng các đa giác không đều khi ốp mặt phẳng và thường sử dụng phép phản chiếu, phép phản chiếu đối xứng và phép tịnh tiến để thu được thêm những mẫu hình khác. Nhiều tác phẩm của ông chứa đựng cả những cấu trúc bất khả thi. Chúng được thực hiện bằng cách sử dụng những vật thể hình học mà tạo ra sự mâu thuẫn giữa phép chiếu phối cảnh và ba chiều, nhưng lại dễ chịu đối với thị giác con người. Tác phẩm Ascending and Descending của Escher chịu ảnh hưởng từ "cầu thang bộ bất khả thi" do nhà khoa học y tế Lionel Penrose cùng với nhà toán học Roger Penrose tạo ra.^{[99][100][101]}

Một vài bức vẽ tessellation của Escher lấy cảm hứng từ cuộc trò chuyện với nhà toán học H. S. M. Coxeter về hình học hyperbol.^[102] Escher đặc biệt quan tâm đến năm khối đa diện đặc trưng, xuất hiện nhiều lần trong tác phẩm của ông. Các khối đa diện đều Platon bao gồm tứ diện, lập phương, bát diện, thập nhị diện, và nhị thập diện đều đáng chú ý trong hai tác phẩm Order and Chaos và Four Regular Solids.^[103] Những hình sao này thường bọc trong một hình khác, khiến cho góc nhìn và hình dáng của khối đa diện bị bóp méo dẫn tới sự hình thành tác phẩm nghệ thuật xếp tầng tầng lớp lớp.^[104]

Sự phức tạp về mặt hình ảnh của cấu trúc toán học như tessellation và khối đa diện đã truyền cảm hứng cho nhiều tác phẩm nghệ thuật toán học khác nhau. Stewart Coffin làm đồ chơi xếp hình đa diện bằng gỗ đẹp và hiếm; George W. Hart nghiên cứu lý thuyết về khối đa diện và điêu khắc nên những vật thể dựa trên lý thuyết đó; Magnus Wenninger tạo ra các mô hình "đặc biệt đẹp" của khối đa diện hình sao phức tạp.^[105]

Toán học tô pô đã truyền cảm hứng cho một số nghệ sĩ thời hiện đại. Nhà điêu khắc John Robinson (1935–2007) đã tạo ra các tác phẩm như Nút thắt Gordianvà Bands of Friendship, thể hiện lý thuyết nút thắt thông qua khối đồng được đánh bóng.^[6] Những tác phẩm khác của Robinson có sự nghiên cứu về tô pô của hình xuyến. Genesis được tạo ra dựa trên lý thuyết về một tập hợp gồm 3 vòng tròn gọi là vòng Borromean, không có 2 vòng nào trong tập hợp liên kết với nhau nhưng toàn bộ cấu trúc của nó không thể nào tách rời trừ khi đập vỡ ra.^[106] Nghệ sĩ Nelson Saiers đã kết hợp các các khái niệm và định lý toán học vào trong nghệ thuật của mình từ những tô pô và định lý bốn màu cho đến tính vô tỷ của số π.^[107]

• 
  Không gian bốn chiều áp dụng vào lập thể, theo Traité élémentaire de géométrie à quatre dimensions (Luận cơ bản về hình học bốn chiều) của Esprit Jouffret.^[108]
• 
  De Stijl: Tác phẩm Composition I (1916) của Theo van Doesburg.
• 
  Phương pháp giáo dục áp dụng nghệ thuật: Magnus Wenninger và một số khối đa diện hình sao của ông, 2009.

Bản mẫu:Mỹ học