Vết (đại số tuyến tính)

Gọi T là một toán tử tuyến tính biểu diễn bằng ma trận

${\displaystyle {\begin{bmatrix}-2&2&-3\\-1&1&3\\2&0&-1\end{bmatrix}}.}$

Thì tr(T) = −2 + 1 − 1 = −2.

Liên hệ với các giá trị riêng

Vết của ma trận A bằng tổng các giá trị riêng của nó ^[2].

${\displaystyle tr(A)=\sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}}$ ,

trong đó ${\displaystyle \lambda _{i}}$ là giá trị riêng của A. Chú ý rằng tính chất này mặc định rằng A có đúng n giá trị riêng và có thể tồn tại hai chỉ số i và j thuộc [1,n] sao cho:

${\displaystyle \lambda _{i}=\lambda _{j}}$

Ví dụ ma trận đơn vị cấp n (${\displaystyle I_{n}}$ ) trên thực tế có đúng một giá trị riêng là 1. Tuy nhiên khi nhắc tới sự liên hệ giữa vết của ${\displaystyle I_{n}}$ và tổng các giá trị riêng của nó, ta có thể coi ${\displaystyle I_{n}}$ có đúng n giá trị riêng và tất cả các giá trị riêng đó đều bằng 1. Khi đó tính chất được thoả mãn:

${\displaystyle tr(I_{n})=\sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}=\sum _{i=1}^{n}1=n}$

Tuyến tính

Vết là một ánh xạ tuyến tính từ không gian các ma trận vuông cùng cấp lên ${\displaystyle R}$ . Cụ thể, cho A,B là các ma trận vuông cùng cấp và c là hằng số, khi đó:

${\displaystyle tr(A+B)=tr(A)+tr(B)}$ ,

${\displaystyle tr(c\cdot A)=c\cdot tr(A)}$ .

Giao hoán

Cho A là ma trận m hàng n cột, còn B là ma trận n hàng và m cột, thì ^[2]:

${\displaystyle tr(AB)=tr(BA)}$ . dù ${\displaystyle AB\neq BA}$

Với trường hợp A là ma trận kích cỡ m x n, B là ma trận kích cỡ n x p và C là ma trận kích cỡ p x m, tính chất vẫn đúng với tích của ba ma trận ABC và các hoán vị vòng quanh của nó:

${\displaystyle tr(ABC)=tr(BCA)=tr(CAB)}$

Tuy nhiên:

${\displaystyle tr(ABC)\neq tr(CBA)}$

vì CBA không phải là hoán vị vòng quanh của ABC, kể cả khi tích CBA được xác định.

Vết của ma trận liên hợp

Cho A là ma trận vuông cấp n bất kì,Cho P là ma trận vuông cấp n và khả nghịch.Liên hợp của A theo P là ${\displaystyle PAP^{-1}}$ , khi đó ta có:

${\displaystyle tr(A)=tr(PAP^{-1})}$ ,

có nghĩa là khi ta lấy liên hợp của ma trận thì vết của nó không thay đổi.

Vết của ma trận chuyển vị

Cho A là ma trận vuông cấp n bất kì, ${\displaystyle A^{T}}$ là ma trận chuyển vị của nó. Ta có:

${\displaystyle tr(A)=tr(A^{T})}$ .

Vết của tích ma trận đối xứng và ma trận phản đối xứng

Vết của tích ma trận đối xứng và ma trận phản đối xứng bằng 0. Có nghĩa là:Nếu A là ma trận đối xứng và B là ma trận phản đối xứng, thì:

${\displaystyle tr(AB)=0}$ .

Vết của ma trận lũy đẳng

Vết của ma trận lũy đẳng A (ma trận A sao cho A² = A) bằng hạng của A.

Vết của ma trận lũy linh

Vết của ma trận lũy linh A bằng 0.

• Giá trị riêng
• Đường chéo chính