克爾度規

若以波以耳-林德奎斯特座標寫出克爾真空解，則為：

${\displaystyle \mathrm {d} s^{2}=-\left(1-{\frac {2Mr}{\Sigma }}\right)\mathrm {d} t^{2}-{\frac {4aMr\sin ^{2}\theta }{\Sigma }}\mathrm {d} t\mathrm {d} \phi +{\frac {\Sigma }{\Delta }}\mathrm {d} r^{2}}$

${\displaystyle +\ \Sigma \mathrm {d} \theta ^{2}+\left(\Delta +{\frac {2Mr(r^{2}+a^{2})}{\Sigma }}\right)\sin ^{2}\theta \mathrm {d} \phi ^{2}}$

其中

${\displaystyle \Sigma =r^{2}+a^{2}\cos ^{2}\theta }$ ,

${\displaystyle \Delta =r^{2}-2Mr+a^{2}}$ ,

• M為旋轉物體質量；
• a為自轉參數（spin parameter）或稱特定角動量（specific angular momentum），描述此物體的旋轉，與角動量J有關，關係式為a = J/M；
• 所有的物理量採用幾何單位：c=G=1。

當自轉參數a值為零，則表示物體無旋轉，克爾度規退化成史瓦西度規。a=M的例子對應到最大旋轉程度的質量物體。

注意到：

• 一般而言，波以耳-林德奎斯特徑向座標 r 並無簡單而直接、如同徑向座標般的詮釋。
• 「最大」旋轉程度指的是一黑洞可以存在的最大a值，而非旋轉質量物體可以具有的最大a值。

• 史瓦西度規（Schwarzschild metric）
• 克爾-紐曼度規（Kerr-Newman metric）
• 萊斯納-諾德斯特洛姆度規（Reissner-Nordström metric）