运算法则
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- 同指数幂相除,指数不变,底数相除( 不為0):
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其他等式
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运算律
加法和乘法存在交换律,比如: , ,但是幂的运算不存在交换律, ,但是 。
同样,加法和乘法存在结合律,比如: , 。不過,冪運算沒有結合律: ,而 ,所以 。
但是冪運算仍然有其運算律,稱為指數律:
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整数指数幂
整数指数幂的运算只需要初等代数的知识。
正整数指数幂
表达式 被称作 的平方,因为边长为 的正方形面积是 。
表达式 被称作 的立方,因为邊长为 的正方体体积是 。
所以 读作「3的平方」, 读作「2的立方」。
指数表示的是底数反复相乘多少次。比如 ,指数是5,底数是3,表示3反复相乘5次。
或者,整数指数幂可以递归地定义成:
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指数是1或者0
注意 表示仅仅1个3的乘积,就等于3。
注意 , , , ,
继续,得到 ,所以
另一个得到此结论的方法是:通过运算法则
当 时,
零的零次方
其实还并未被数学家完整的定义,但部分看法是 ,在程式语言中(python)
在这里给出这一种极限的看法
于是,可以求出 x 取值从 1 到 0.0000001 计算得到的值,如图
负数指数
我们定义任何不为 0 的数 a 的 -1 次方等于它的倒数。
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对于非零 定义
- ,
而 时分母為 0 没有意义。
证法一:
根据定义 ,当 时
-
得 , 所以 。
证法二:
通过运算法则
当 时,可得
负数指数 还可以表示成1连续除以 个 。比如:
- .
特殊数的幂
10的幂
在十进制的计数系统中,10的幂写成1后面跟着很多个0。例如:
因此10的幂用来表示非常大或者非常小的数字。如:299,792,458(真空中光速,单位是米每秒),可以写成 ,近似值 或
国际单位制词头也使用10的幂来描述特别大或者特别小的数字,比如:词头“千”就是 ,词头“毫”就是
2的幂
1的幂
1的任何次幂都为1。
0的幂
0的正数幂都等于0。
0的负数幂没有定义。
任何非0之数的0次方都是1;而0的0次方是懸而未決的,某些領域下常用的慣例是約定為1。[3]但某些教科書表示0的0次方為無意義。[4]也有人主張定義為1。
负1的幂
-1的奇数幂等于-1
-1的偶数幂等于1
指数非常大时的幂
一个大于1的数的幂趋于无穷大,一个小于-1的数的幂趋于负无穷大
- 当 , ,
- 当 , , 或 , (視乎n 是奇數或偶數)
一个绝对值小于1的数的幂趋于0
- 当 , ,
1的幂永远都是1
- 当 , ,
如果数a趋于1而它的幂趋于无穷,那么极限并不一定是上面几个。一个很重要的例子是:
- 当
参见e的幂
其他指数的极限参见幂的极限
正实数的实数幂
一个正实数的实数幂可以通过两种方法实现。
- 有理数幂可以通过N次方根定义,任何非0实数次幂都可以这样定义
- 自然对数可以被用来通过指数函数定义实数幂
N次方根
一个数 的 次方根是 , 使 。
如果 是一个正实数, 是正整数,那么方程 只有一个正实数根。这个根被称为 的 次方根,记作: ,其中 叫做根号。或者, 的 次方根也可以写成 .例如
当指数是 时根号上的2可以省略,如:
有理数幂
有理数指数幂定义为
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e的幂
这个重要的数学常数e,有时叫做欧拉数,近似2.718,是自然对数的底。它提供了定义非整数指数幂的一个方法。它是从以下极限定义的:
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指数函数的定义是:
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可以很简单地证明e的正整数k次方 是:
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实数指数幂
因为所有实数可以近似地表示为有理数,任意实数指数x可以定义成[5]:
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例如:
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于是
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实数指数幂通常使用对数来定义,而不是近似有理数。
自然对数 是指数函数 的反函数。它的定义是:对于任意 ,满足
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根据对数和指数运算的规则:
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这就是实数指数幂的定义:
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实数指数幂 的这个定义和上面使用有理数指数和连续性的定义相吻合。对于复数,这种定义更加常用。
负实数的实数幂
正实数的复数幂
e的虚数次幂
複數运算的几何意义和e的幂可以帮助我们理解 ( 是实数),即純虛數指數函數。想象一个直角三角形 (括号内是复数平面内三角形的三个顶点),对于足够大的 ,这个三角形可以看作一个扇形,这个扇形的中心角就等于 弧度。对于所有 ,三角形 互为相似三角形。所以当 足够大时 的极限是复数平面上的单位圆上 弧度的点。这个点的极坐标是 ,直角坐标是 。所以 ,而這個函數可以稱為純虛數指數函數。这就是欧拉公式,它通过複數的意义将代数学和三角学联系起来了。
等式 的解是一个整数乘以 [6]:
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更一般地,如果 ,那么 的每一个解都可以通过将 的整数倍加上 得到:
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这个复指数函数是一个有周期 的周期函数。
更简单的: 。
三角函数
根据欧拉公式,三角函数余弦和正弦是:
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历史上,在复数发明之前,余弦和正弦是用几何的方法定义的。上面的公式将复杂的三角函数的求和公式转换成了简单的指数方程
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使用了复数指数幂之后,很多三角学问题都能够使用代数方法解决。
e的复数指数幂
可以分解成 。其中 是 的模, 决定了 的方向
正实数的复数幂
如果 是一个正实数, 是任何复数, 定义成 ,其中 是方程 的唯一解。所以处理实数的方法同样可以用来处理复数。
例如:
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复数的复数幂
计算自然数(正整数)的的算法
另見
註釋
外部連結