历史 三角函数的早期研究可以追溯到古代。例如古埃及 数学家在鑑別尼羅河 泛濫後的土地 邊界、保持金字塔 每邊斜度 相同,都使用了三角術,只是他們可能還沒有對這種方式定名而已。古希腊 三角术的奠基人是公元前2世纪的喜帕恰斯 。他按照古巴比伦 人的做法,将圆周分为360等份(即圆周的弧度为360度,与现代的弧度制 不同)。对于指定弧度,他给出了对应的弦的长度数值 ,这记法和现代的正弦函数等价。喜帕恰斯实际上给出了最早的三角函数数值表。然而古希腊的三角学基本是球面三角学。这与古希腊人研究的主体是天文学有关。梅涅劳斯在他的著作《球面学》中使用了正弦来描述球面的梅涅劳斯定理 。古希腊三角学与其天文学的应用在埃及的托勒密 时代达到了高峰,托勒密在《数学汇编》(Syntaxis Mathematica )中计算了36度角和72度角的正弦值,还给出了计算和角公式和半角公式的方法。托勒密还给出了所有0到180度的所有整数和半整数弧度对应的正弦值[3] :133-140 [4] :151-152 。
希腊文化 传播到古印度 后,印度人 繼續研究了三角术。公元5世纪末的数学家阿耶波多 提出用弧对应的弦长的一半来对应半弧的正弦,後来古印度数学家亦用了这做法,和现代的正弦定义一致[4] :189 。阿耶波多的计算中也使用了余弦和正割。他在计算弦长时使用了不同的单位,重新计算了0到90度中间隔三又四分之三度(3.75°)的三角函数值表[4] :193 。然而古印度的数学与当时的中国一样,停留在计算方面,缺乏系统的定义和演绎的证明。阿拉伯人也采用了古印度人的正弦定义,但他们的三角学是直接继承于古希腊。阿拉伯天文学家引入了正切和余切、正割和余割的概念,并计算了间隔10分(10′)的正弦和正切数值表[3] :214-215 。到了公元14世纪,阿拉伯人将三角计算重新以算术方式代数化(古希腊人采用的是建立在几何上的推导方式)的努力为後来三角学从天文学中独立出来,成为了有更广泛应用的学科奠定了基础。[3] :225
进入15世纪后,阿拉伯数学文化开始传入欧洲。随着欧洲商业兴盛起來,航行、历法测定和地理测绘中出现了对三角学的需求。在翻译阿拉伯数学著作的同时,欧洲数学家开始制作更详细精确的三角函数值表。哥白尼 的学生乔治·约阿希姆·瑞提克斯 制作了间隔10秒(10″)的正弦表,有9位精确值。瑞提克斯还改变了正弦的定义,原来称弧对应的弦长是正弦,瑞提克斯则将角度对应的弦长称为正弦。16世纪后,数学家开始将古希腊有关球面三角的结果和定理转化为平面三角定理。弗朗索瓦·韦达 给出了托勒密的不少结果对应的平面三角形式。他还尝试计算了多倍角正弦的表达方式。[3] :275-278
18世纪开始引进解析几何等分析学工具,数学家开始用分析学研究三角函数。牛顿在1669年的《分析学》一书中给出了正弦和余弦函数的无穷级数 表示。Collins 将牛顿的结果告诉詹姆斯·格列高里,後者进一步给出了正切等三角函数的无穷级数。莱布尼兹 在1673年左右也独立得到这结果[5] :162-163 。欧拉 的《无穷小量分析引论》(Introductio in Analysin Infinitorum ,1748年)对建立三角函数的分析处理做了最主要的贡献,他定义三角函数为无穷级数,并表述了欧拉公式 ,还有使用接近现代的简写sin. 、cos. 、tang. 、cot. 、sec. 和csc. (cosec. )。
1631年徐光启 与邓玉函 、汤若望 合撰《大测》首次将三角函数引入中国并确立了正弦、余弦等译名。
几何定义 以直角三角形來定义 a,b,h分別為角A的对边、邻边和斜边 直角三角形 只有锐角 (大小在0至90度之间的角)三角函数的定义[6] 。指定锐角 θ {\displaystyle \theta } 可做出直角三角形,使一個内角為 θ {\displaystyle \theta } ,對應股 (对边a)、勾 (邻边b)和弦 (斜边h):
θ {\displaystyle \theta } 的正弦 是对边与斜边的比值: sin θ = a h {\displaystyle \sin {\theta }={\frac {a}{h}}} θ {\displaystyle \theta } 的餘弦 是邻边与斜边的比值: cos θ = b h {\displaystyle \cos {\theta }={\frac {b}{h}}} θ {\displaystyle \theta } 的正切 是对边与邻边的比值: tan θ = a b {\displaystyle \tan {\theta }={\frac {a}{b}}} θ {\displaystyle \theta } 的余切 是邻边与对边的比值: cot θ = b a {\displaystyle \cot {\theta }={\frac {b}{a}}} θ {\displaystyle \theta } 的正割 是斜边与邻边的比值: sec θ = h b {\displaystyle \sec {\theta }={\frac {h}{b}}} θ {\displaystyle \theta } 的餘割 是斜边与对边的比值: csc θ = h a {\displaystyle \csc {\theta }={\frac {h}{a}}}
以直角坐标系來定义 假设 P ( x , y ) {\textstyle P(x,y)} 是平面直角坐标系 x O y {\textstyle xOy} 中的一点, θ {\textstyle \theta } 是横轴正向 O x → {\textstyle {\vec {Ox}}} 逆时针旋转到 O P → {\textstyle {\vec {OP}}} 方向所形成的一個角, r = x 2 + y 2 > 0 {\textstyle r={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}>0} 是 P {\textstyle P} 到原点 O {\textstyle O} 的距离,则 θ {\displaystyle \theta } 的六種三角函数定义为[7] :
正弦 餘弦 正切 餘切 正割 餘割 sin θ = y r {\displaystyle \sin \theta ={\frac {y}{r}}} cos θ = x r {\displaystyle \cos \theta ={\frac {x}{r}}} tan θ = y x {\displaystyle \tan \theta ={\frac {y}{x}}} cot θ = x y {\displaystyle \cot \theta ={\frac {x}{y}}} sec θ = r x {\displaystyle \sec \theta ={\frac {r}{x}}} csc θ = r y {\displaystyle \csc \theta ={\frac {r}{y}}}
这样可以定义任何角度的三角函数(除非当定义式无意义时)。大于360°或小于-360°的角度可认为是转了(逆时针/顺时针)不止一圈。而多转或少转了整数圈不会影响三角函数的取值[8] 。如果按弧度制方式记录角度,将弧长作为三角函数的输入值(360°等于 2 π {\displaystyle 2\pi } ),那么三角函数就是取值为全体实数R,最小正周期(基本周期)为 2 π {\displaystyle 2\pi } 的周期函数 ,如
sin θ = sin ( θ + 2 π k ) , ∀ θ ∈ R , k ∈ Z {\displaystyle \sin \theta =\sin \left(\theta +2\pi k\right),\quad \forall \theta \in \mathbb {R} ,\;\;k\in \mathbb {Z} } cos θ = cos ( θ + 2 π k ) , ∀ θ ∈ R , k ∈ Z {\displaystyle \cos \theta =\cos \left(\theta +2\pi k\right),\quad \forall \theta \in \mathbb {R} ,\;\;k\in \mathbb {Z} } 正弦、余弦、正割或余割的基本周期是 2 π {\displaystyle 2\pi } 弧度或360°;正切或余切的基本周期是 π {\displaystyle \pi } 弧度或180°。
单位圆定义 三角函数亦可以根据直角坐标系 x O y {\displaystyle xOy} 中半径为1,以圆心为原点 O {\displaystyle O} 的单位圆 来定义[1] 。指定一角 θ {\displaystyle \theta } ,假设 A ( 1 , 0 ) {\displaystyle A(1,0)} 为起始点,如果 θ > 0 {\displaystyle \theta >0} 则将 O A {\displaystyle OA} 以逆时针方向转动,如果 θ < 0 {\displaystyle \theta <0} 则以顺时针方向移动,直到转过的角度等于 θ {\displaystyle \theta } 为止。假设最终点A 转到的位置为 P ( x , y ) {\displaystyle P(x,y)} ,那么
用单位圆定义三角函数 正弦 餘弦 正切 餘切 正割 餘割 sin θ = y {\displaystyle \sin \theta =y} cos θ = x {\displaystyle \cos \theta =x} tan θ = y x {\displaystyle \tan \theta ={\frac {y}{x}}} cot θ = x y {\displaystyle \cot \theta ={\frac {x}{y}}} sec θ = 1 x {\displaystyle \sec \theta ={\frac {1}{x}}} csc θ = 1 y {\displaystyle \csc \theta ={\frac {1}{y}}}
基本性质 分析学定义 級數定義 正弦函数(蓝色)十分接近于它的7次泰勒级数(粉色) 在几何学 中,三角函数的定义建立在几何直观上,只用几何和极限 的性质就可以直接得知正弦和餘弦的導數 。在分析学 中,三角函數是解析函數 ,数学家利用泰勒級數 给出了不依赖几何直观的代数定义[11] :
sin x = ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n x 2 n + 1 ( 2 n + 1 ) ! = x − x 3 3 ! + x 5 5 ! − x 7 7 ! + ⋯ {\displaystyle \sin x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n+1}}{(2n+1)!}}=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}+\cdots } cos x = ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n x 2 n ( 2 n ) ! = 1 − x 2 2 ! + x 4 4 ! − x 6 6 ! + ⋯ {\displaystyle \cos x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n}}{(2n)!}}=1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-{\frac {x^{6}}{6!}}+\cdots } 可以证明以上的无穷级数对任意实数 x {\displaystyle x} 都是收敛的,所以很好地定义了正弦和余弦函数。
三角函数的级数定义經常用作严格处理三角函数和起点应用(比如,在傅立叶级数 中),因为无穷级数 的理论可以从实数系 的基础发展而来,不需要任何几何方面的考虑。这样,这些函数的可微性 和连续性 便可以单独从级数定义来确立。
其他三角函数的级数定义:[12]
tan x = ∑ n = 1 ∞ ( − 1 ) n − 1 2 2 n ( 2 2 n − 1 ) B 2 n x 2 n − 1 ( 2 n ) ! = x + x 3 3 + 2 x 5 15 + 17 x 7 315 + ⋯ ( | x | < π 2 ) {\displaystyle \tan x=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n-1}2^{2n}(2^{2n}-1)B_{2n}x^{2n-1}}{(2n)!}}=x+{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {2x^{5}}{15}}+{\frac {17x^{7}}{315}}+\cdots \left(|x|<{\frac {\pi }{2}}\right)} csc x = ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n + 1 2 ( 2 2 n − 1 − 1 ) B 2 n x 2 n − 1 ( 2 n ) ! = 1 x + x 6 + 7 x 3 360 + 31 x 5 15120 + ⋯ ( 0 < | x | < π ) {\displaystyle \csc x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}2(2^{2n-1}-1)B_{2n}x^{2n-1}}{(2n)!}}={\frac {1}{x}}+{\frac {x}{6}}+{\frac {7x^{3}}{360}}+{\frac {31x^{5}}{15120}}+\cdots (0<|x|<\pi )} sec x = ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n E n x 2 n ( 2 n ) ! = 1 + x 2 2 + 5 x 4 24 + 61 x 6 720 + ⋯ ( | x | < π 2 ) {\displaystyle \sec x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}E_{n}x^{2n}}{(2n)!}}=1+{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {5x^{4}}{24}}+{\frac {61x^{6}}{720}}+\cdots \left(|x|<{\frac {\pi }{2}}\right)} cot x = ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n 2 2 n B 2 n x 2 n − 1 ( 2 n ) ! = 1 x − x 3 − x 3 45 − 2 x 5 945 − ⋯ ( 0 < | x | < π ) {\displaystyle \cot x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}2^{2n}B_{2n}x^{2n-1}}{(2n)!}}={\frac {1}{x}}-{\frac {x}{3}}-{\frac {x^{3}}{45}}-{\frac {2x^{5}}{945}}-\cdots (0<|x|<\pi )} 其中 B n {\displaystyle B_{n}\,} 是伯努利数 , E n {\displaystyle E_{n}\,} 是欧拉数 。
这些定义也可以看作是每个三角函数作为实函数的泰勒级数。从复分析 的一條定理得出,这实函数到复数有唯一的解析扩展。它们有同样的泰勒级数,复数的三角函数是使用上述级数来定义。
与指数函数和复数的關系 可以从上述的级数定义证明正弦和余弦函数分别是复指数函数 在它的自变量为纯虚数 时候的虚数和实数部分:
e i θ = cos θ + i sin θ {\displaystyle e^{{\mathrm {i} }\theta }=\cos \theta +{\mathrm {i} }\sin \theta \,} 。(i 是虚数单位 )欧拉 首先注意到这关系式,因此叫做欧拉公式 [13] 。从中可推出,对实数x ,
cos x = Re ( e i x ) , sin x = Im ( e i x ) {\displaystyle \cos x\,=\,\operatorname {Re} \;\left(e^{{\mathrm {i} }x}\right)\;\;,\qquad \quad \sin x\,=\,\operatorname {Im} \;\left(e^{{\mathrm {i} }x}\right)} 进一步还可定义对複自变量z 的三角函数:
sin z = ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n ( 2 n + 1 ) ! z 2 n + 1 = e i z − e − i z 2 i = − i sinh ( i z ) {\displaystyle \sin z\,=\,\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)!}}z^{2n+1}\,=\,{e^{{\mathrm {i} }z}-e^{-{\mathrm {i} }z} \over 2{\mathrm {i} }}=-{\mathrm {i} }\sinh \left({\mathrm {i} }z\right)} cos z = ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n ( 2 n ) ! z 2 n = e i z + e − i z 2 = cosh ( i z ) {\displaystyle \cos z\,=\,\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n)!}}z^{2n}\,=\,{e^{{\mathrm {i} }z}+e^{-{\mathrm {i} }z} \over 2}=\cosh \left({\mathrm {i} }z\right)} sin ( a + b i ) = sin a cosh b + ( cos a sinh b ) i {\displaystyle \sin(a+b\mathrm {i} )=\sin a\cosh b+(\cos a\sinh b)\mathrm {i} } cos ( a + b i ) = cos a cosh b − ( sin a sinh b ) i {\displaystyle \cos(a+b\mathrm {i} )=\cos a\cosh b-(\sin a\sinh b)\mathrm {i} } tan ( a + b i ) = tan a + ( tanh b ) i 1 − ( tan a tanh b ) i {\displaystyle \tan(a+b\mathrm {i} )={\frac {\tan a+(\tanh b)\mathrm {i} }{1-(\tan a\tanh b)\mathrm {i} }}} (其中 sinh {\displaystyle \sinh } 、 cosh {\displaystyle \cosh } 、 tanh {\displaystyle \tanh } 為雙曲函數 ,其馬勞克林級數與對應的三角函數很類似,只差在正負號)
複平面中的三角函數 (亮度 表示函數值 的絕對值 ,色相 表示函數值的主輻角 ) sin ( z ) {\displaystyle \sin(z)} cos ( z ) {\displaystyle \cos(z)} tan ( z ) {\displaystyle \tan(z)} cot ( z ) {\displaystyle \cot(z)} sec ( z ) {\displaystyle \sec(z)} csc ( z ) {\displaystyle \csc(z)}
较少見的三角函數 單位圓上的三角函數,包括了兩種正矢 (versin、vercos)、餘矢 (coversin、covercos)、弦函數 (crd)、外正割 (exsec)和外餘割 (excsc) 除了上述六種基本函數,史上還有下列幾種较少見的三角函数:
弦函數 ( c r d θ {\displaystyle \mathrm {crd} \;\theta } ):早期的三角函數表紀錄的是弦的全長(如托勒密全弦表 ),對應的三角函數為crd函數。[14] 不過今日此函數已被正弦函數 取代,已經鮮少使用。正矢 ( v e r s i n θ {\displaystyle \mathrm {versin} \;\theta } )、餘矢系列函數,與其半值函數(如半正矢 系列函數):早期導航術中很重要的三角函數之一,因半正矢公式 出名。[15] 不過其定義和基本三角函數高度相關,因此在计算机和计算器普及後這個函數已經幾乎沒再使用。外正割 ( e x s e c θ {\displaystyle \mathrm {exsec} \;\theta } )和外餘割 ( e x c s c θ {\displaystyle \mathrm {excsc} \;\theta } ):由於正割 和餘割 部分的數值十分接近一,因此運算時很容易出現灾难性抵消 或數值誤差,因此出現了外正割 和外餘割 的函數與函數表來解決這類問題。不過這類問題在计算机和计算器普及後逐漸消失,因此這個函數已經幾乎沒再使用。[15] 正矢 v e r s i n θ = 1 − cos θ {\displaystyle \mathrm {versin} \;\theta =1-\cos \theta } 半正矢 h a v e r s i n θ = 1 − cos θ 2 {\displaystyle \mathrm {haversin} \;\theta ={\frac {1-\cos \theta }{2}}} 餘的正矢 v e r c o s i n θ = 1 + cos θ {\displaystyle \mathrm {vercosin} \;\theta =1+\cos \theta } 餘的半正矢 h a v e r c o s i n θ = 1 + cos θ 2 {\displaystyle \mathrm {havercosin} \;\theta ={\frac {1+\cos \theta }{2}}} 餘矢 c o v e r s i n θ = 1 − sin θ {\displaystyle \mathrm {coversin} \;\theta =1-\sin \theta } 半餘矢 h a c o v e r s i n θ = 1 − sin θ 2 {\displaystyle \mathrm {hacoversin} \;\theta ={\frac {1-\sin \theta }{2}}} 餘的餘矢 c o v e r c o s i n θ = 1 + sin θ {\displaystyle \mathrm {covercosin} \;\theta =1+\sin \theta } 餘的半餘矢 h a c o v e r c o s i n θ = 1 + sin θ 2 {\displaystyle \mathrm {hacovercosin} \;\theta ={\frac {1+\sin \theta }{2}}} 外正割 e x s e c θ = sec θ − 1 {\displaystyle \mathrm {exsec} \;\theta =\sec \theta -1} 外餘割 e x c s c θ = csc θ − 1 {\displaystyle \mathrm {excsc} \;\theta =\csc \theta -1} 弦函數 c r d θ = 2 sin ( θ 2 ) {\displaystyle \mathrm {crd} \;\theta =2\sin \left({\frac {\theta }{2}}\right)}
微分方程定义 三角函数在物理学是研究振动和波不可或缺的工具,如简谐振动 满足以下微分方程 ,正弦和余弦函数都满足
y ″ + y = 0 {\displaystyle y''+y=0\,} 就是说,它们加上自己的二阶导数 都等于0函数。在由所有这條方程的解的二维向量空间 V {\displaystyle V} 中,正弦函数是满足初始条件 y ( 0 ) = 0 {\displaystyle y(0)=0} 和 y ′ ( 0 ) = 1 {\displaystyle y'(0)=1} 的唯一解,而余弦函数是满足初始条件 y ( 0 ) = 1 {\displaystyle y(0)=1} 和 y ′ ( 0 ) = 0 {\displaystyle y'(0)=0} 的唯一解[16] 。因为正弦和余弦函数是线性无关的,它们在一起形成了 V {\displaystyle V} 的基 。这种定义正弦和余弦函数的方法本质上等价于使用欧拉公式。(参见线性微分方程 )。很明显这條微分方程不只用来定义正弦和余弦函数,还可用来证明正弦和余弦函数的三角恒等式 。进一步的,观察到正弦和余弦函数满足 y ″ = − y {\displaystyle y''=-y\,} ,这意味着它们是二阶导数算子的特征函数 。
正切函数是非线性微分方程
y ′ = 1 + y 2 {\displaystyle y'=1+y^{2}\,} 满足初始条件 y ( 0 ) = 0 {\textstyle y(0)=0} 的唯一解。有个非常有趣的形象证明证明了正切函数满足这微分方程,参见Needham 的Visual Complex Analysis 。[17]
弧度的重要性 弧度 通过测量沿着单位圆 的路径的长度而指定一角 ,并构成正弦和余弦函数的特定辐角 。特别是,只有映射弧度到比率的那些正弦和余弦函数才满足描述它们的经典微分方程 。如果正弦和余弦函数的弧度辐角是正比于频率 的
f ( x ) = sin ( k x ) ; k ≠ 0 , k ≠ 1 {\displaystyle f(x)=\sin(kx);k\neq 0,k\neq 1\,} 则导数 将正比于“振幅 ”。
f ′ ( x ) = k cos ( k x ) {\displaystyle f'(x)=k\cos(kx)\,} 。这里的 k {\displaystyle k} 是表示在单位之间映射的常数。如果 x {\displaystyle x} 是度 ,则
k = π 180 ∘ {\displaystyle k={\frac {\pi }{180^{\circ }}}} 。如果 x {\displaystyle x} 是圈 (轉 , 2 π {\displaystyle 2\pi } 弧度, 360 {\displaystyle 360} 度),則
k = 2 π {\displaystyle k=2\pi } 这意味着使用度(或圈)的正弦的二阶导数不满足微分方程
y ″ = − y {\displaystyle y''=-y\,} ,但满足
y ″ = − k 2 y {\displaystyle y''=-k^{2}y\,} ;对余弦也是类似的。
这意味着这些正弦和余弦是不同的函数,因此只有它的辐角是弧度的条件下,正弦的四阶导数才再次是正弦。因为凡是作为函数意义上的正弦、余弦、正切,都只用弧度定义,而不用360度的角度定义。
利用函数方程定义三角函数 在数学分析 中,可以利用基于和差公式这样的性质的函数方程 来定义三角函数。例如,取用给定此种公式和毕达哥拉斯恒等式,可以证明只有两个实函数 满足这些条件。即存在唯一的一对实函数 sin {\displaystyle \sin } 和 cos {\displaystyle \cos } 使得对于所有实数 x {\displaystyle x} 和 y {\displaystyle y} ,下列方程成立[18] :
sin 2 x + cos 2 x = 1 , {\displaystyle \sin ^{2}\!x+\cos ^{2}\!x=1,\,} sin ( x + y ) = sin x cos y + cos x sin y , {\displaystyle \sin(x+y)=\sin \!x\cos \!y+\cos \!x\sin \!y,\,} cos ( x + y ) = cos x cos y − sin x sin y , {\displaystyle \cos(x+y)=\cos \!x\cos \!y-\sin \!x\sin \!y,\,} 并满足附加条件
0 < x cos x < sin x < x f o r 0 < x < 1 {\displaystyle 0<x\!\cos \!x<\sin \!x<x\ \mathrm {for} \qquad 0<x<1} 。从其他函数方程开始的推导也有可能,这种推导可以扩展到复数。作为例子,这推导可以用来定义伽罗瓦域 中的三角学 。
计算 反三角函数 三角函数属周期函数 而不是单射函数 ,严格来说并没有反函数 ,要定义其反函数必须先限制三角函数的定义域 ,使得三角函数成为双射函数 。基本的反三角函数定义为[9] :
反三角函数 定义 值域 arcsin ( x ) = y {\displaystyle \arcsin(x)=y\,} sin ( y ) = x {\displaystyle \sin(y)=x\,} − π 2 ≤ y ≤ π 2 {\displaystyle -{\frac {\pi }{2}}\leq y\leq {\frac {\pi }{2}}\,} arccos ( x ) = y {\displaystyle \arccos(x)=y\,} cos ( y ) = x {\displaystyle \cos(y)=x\,} 0 ≤ y ≤ π {\displaystyle 0\leq y\leq \pi \,} arctan ( x ) = y {\displaystyle \arctan(x)=y\,} tan ( y ) = x {\displaystyle \tan(y)=x\,} − π 2 < y < π 2 {\displaystyle -{\frac {\pi }{2}}<y<{\frac {\pi }{2}}\,} arccsc ( x ) = y {\displaystyle \operatorname {arccsc}(x)=y\,} csc ( y ) = x {\displaystyle \csc(y)=x\,} − π 2 ≤ y ≤ π 2 , y ≠ 0 {\displaystyle -{\frac {\pi }{2}}\leq y\leq {\frac {\pi }{2}},y\neq 0\,} arcsec ( x ) = y {\displaystyle \operatorname {arcsec}(x)=y\,} sec ( y ) = x {\displaystyle \sec(y)=x\,} 0 ≤ y ≤ π , y ≠ π 2 {\displaystyle 0\leq y\leq \pi ,y\neq {\frac {\pi }{2}}\,} arccot ( x ) = y {\displaystyle \operatorname {arccot}(x)=y\,} cot ( y ) = x {\displaystyle \cot(y)=x\,} 0 < y < π {\displaystyle 0<y<\pi \,}
对于反三角函数,符号 sin − 1 {\displaystyle \sin ^{-1}} 和 cos − 1 {\displaystyle \cos ^{-1}} 经常用于 arcsin {\displaystyle \arcsin } 和 arccos {\displaystyle \arccos } 。使用这种符号的时候,反函数可能跟三角函数的倒数混淆。“ a r c {\displaystyle \mathrm {arc} } ”前缀可避免这种混淆,尽管“ arcsec {\displaystyle \operatorname {arcsec} } ”可能偶尔跟“arcsecond ”(角秒)混淆。
正如正弦和余弦那样,反三角函数也可以根据无穷级数来定义。例如,
arcsin z = z + ( 1 2 ) z 3 3 + ( 1 ⋅ 3 2 ⋅ 4 ) z 5 5 + ( 1 ⋅ 3 ⋅ 5 2 ⋅ 4 ⋅ 6 ) z 7 7 + ⋯ {\displaystyle \arcsin z=z+\left({\frac {1}{2}}\right){\frac {z^{3}}{3}}+\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right){\frac {z^{5}}{5}}+\left({\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}}\right){\frac {z^{7}}{7}}+\cdots } 这些函数也可以通过证明它们是其他函数的原函数来定义。例如反正弦函数,可以写为如下积分[24] :
arcsin ( x ) = ∫ 0 x 1 1 − z 2 d z , | x | < 1 {\displaystyle \arcsin \left(x\right)=\int _{0}^{x}{\frac {1}{\sqrt {1-z^{2}}}}\,\mathrm {d} z,\quad |x|<1} 可以在反三角函数 条目中找到类似的公式。使用复对数 可把这些函数延伸到复数辐角:
arcsin ( z ) = − i ln ( i z + 1 − z 2 ) {\displaystyle \arcsin(z)=-{\mathrm {i} }\ln \left({\mathrm {i} }z+{\sqrt {1-z^{2}}}\right)} arccos ( z ) = − i ln ( z + z 2 − 1 ) {\displaystyle \arccos(z)=-{\mathrm {i} }\ln \left(z+{\sqrt {z^{2}-1}}\right)} arctan ( z ) = i 2 ln ( 1 − i z 1 + i z ) {\displaystyle \arctan(z)={\frac {\mathrm {i} }{2}}\ln \left({\frac {1-{\mathrm {i} }z}{1+{\mathrm {i} }z}}\right)} 相关定理 参见 注释 参考资料 延伸阅读 Abramowitz, Milton、Irene A. Stegun,Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables ,Dover,New York(1964年),ISBN 978-0-486-61272-0 。 Boyer, Carl B.,A History of Mathematics ,John Wiley & Sons, Inc.,第二版(1991年),ISBN 978-0-471-54397-8 。 Joseph, George G.,The Crest of the Peacock: Non-European Roots of Mathematics ,第二版,Penguin Books,London,(2000年),ISBN 978-0-691-00659-8 。 Kantabutra, Vitit,On hardware for computing exponential and trigonometric functions ,IEEE Trans. Computers 45 (3), 328-339(1996年)。 Maor, Eli,Trigonometric Delights ,Princeton Univ. Press.(1998年),重印版(2005年2月25日):ISBN 978-0-691-09541-7 。 Needham, Tristan,Preface ,Visual Complex Analysis (页面存档备份 ,存于互联网档案馆 ) ,Oxford University Press,(1999年),ISBN 978-0-19-853446-4 。 O'Connor, J.J.、E.F. Robertson,Trigonometric functions ,MacTutor History of Mathematics Archive ,(1996年)。 O'Connor, J.J.、E.F. Robertson,Madhava of Sangamagramma (页面存档备份 ,存于互联网档案馆 ),MacTutor History of Mathematics Archive ,(2000年)。 Pearce, Ian G.,Madhava of Sangamagramma (页面存档备份 ,存于互联网档案馆 ),MacTutor History of Mathematics Archive ,(2002年)。 Weisstein, Eric W.,Tangent (页面存档备份 ,存于互联网档案馆 ),MathWorld ,2006年1月21日访问。 Lars Ahlfors, Complex Analysis: an introduction to the theory of analytic functions of one complex variable , second edition, McGraw-Hill Book Company, New York, 1966. 外部链接