區間

在初等代數，傳統上區間指一個集，包含在某兩個特定實數之間的所有實數，亦可能包含該兩個實數（或其中之一）。區間表示法是表示一個變數在某個區間內的方式。通用的區間表示法中，圓括號表示排除，方括號表示包括。例如，開區間${\displaystyle (10,20)}$ 表示所有在${\displaystyle 10}$ 和${\displaystyle 20}$ 之間的實數，但不包括${\displaystyle 10}$ 或${\displaystyle 20}$ 。另一方面，閉區間${\displaystyle [10,20]}$ 表示所有在${\displaystyle 10}$ 和${\displaystyle 20}$ 之間的實數，以及${\displaystyle 10}$ 和${\displaystyle 20}$ 。^[1]

实区间

在赋予通常序的实数集${\displaystyle \mathbb {R} }$ 里，以${\displaystyle a,b\in \mathbb {R} }$ 为端点的开区间和闭区间分别是：

${\displaystyle (a,b)=\{x\in \mathbb {R} \colon a<x<b\}}$

${\displaystyle [a,b]=\{x\in \mathbb {R} \colon a\leq x\leq b\}}$

类似地，以${\displaystyle a,b}$ 为端点的两个半开区间定义为：

${\displaystyle (a,b]=\{x\in \mathbb {R} \colon a<x\leq b\}}$

${\displaystyle [a,b)=\{x\in \mathbb {R} \colon a\leq x<b\}}$

在一些上下文中，两个端点要求满足${\displaystyle a<b}$ 。这排除了${\displaystyle a=b}$ 从而区间或是单元素集合或是空集的情形，也排除了${\displaystyle a>b}$ 从而区间为空集的情形。

只有左端点${\displaystyle a}$ 的开区间和半开区间分别如下。

${\displaystyle (a,\infty )=\{x\in \mathbb {R} \colon x>a\},}$

${\displaystyle [a,\infty )=\{x\in \mathbb {R} \colon x\geq a\},}$

只有右端点${\displaystyle b}$ 的开区间和半开区间分别如下。

${\displaystyle (-\infty ,b)=\{x\in \mathbb {R} \colon x<b\},}$

${\displaystyle (-\infty ,b]=\{x\in \mathbb {R} \colon x\leq b\},}$

整个实数线等于没有端点的区间：

${\displaystyle (-\infty ,\infty )=\mathbb {R} }$

偏序集或预序集中的区间

区间的概念在任何偏序集或者更一般地，在任何预序集中有定义。对于预序集${\displaystyle (X,\lesssim )}$ 和两个元素${\displaystyle a,b\in X,}$ ，我们可以类似定义^{[2]:11, Definition 11}

${\displaystyle (a,b)=\{x\in X\colon a<x<b\}}$

${\displaystyle [a,b]=\{x\in X\colon a\lesssim x\lesssim b\}}$

${\displaystyle (a,b]=\{x\in X\colon a<x\lesssim b\}}$

${\displaystyle [a,b)=\{x\in X\colon a\lesssim x<b\}}$

${\displaystyle (a,\infty )=\{x\in X\colon a<x\}}$

${\displaystyle [a,\infty )=\{x\in X\colon a\lesssim x\}}$

${\displaystyle (-\infty ,b)=\{x\in X\colon x<b\}}$

${\displaystyle (-\infty ,b]=\{x\in X\colon x\lesssim b\}}$

${\displaystyle (-\infty ,\infty )=X}$

其中${\displaystyle x<y}$ 意思是${\displaystyle x\lesssim y\not \lesssim x}$ 。其实，只有一个端点或者没有端点的区间等同于更大的预序集

${\displaystyle {\bar {X}}=X\sqcup \{-\infty ,\infty \}}$

${\displaystyle -\infty <x<\infty \qquad (\forall x\in X)}$

上具有两个端点的区间，使得它是${\displaystyle X}$ 的子集。当${\displaystyle X=\mathbb {R} }$ 时，可以取${\displaystyle {\bar {\mathbb {R} }}}$ 为扩展实数线。

序凸集和序凸分支

预序集${\displaystyle (X,\lesssim )}$ 的子集${\displaystyle A\subseteq X}$ 是序凸集，如果对于任意${\displaystyle x,y\in A}$ 以及任意${\displaystyle x\lesssim z\lesssim y}$ 有${\displaystyle z\in A}$ 。与实区间的情形不同，预序集的序凸集不一定是区间。例如，在有理数的全序集${\displaystyle (\mathbb {Q} ,\leq )}$ 中，

${\displaystyle \mathbb {Q} =\{x\in \mathbb {Q} \colon x^{2}<2\}}$

是序凸集，但它不是${\displaystyle \mathbb {Q} }$ 的区间，这是因为2的平方根在${\displaystyle \mathbb {Q} }$ 中是不存在的。

设${\displaystyle (X,\lesssim )}$ 是一个预序集，且${\displaystyle Y\subseteq X}$ 。包含在${\displaystyle Y}$ 中的${\displaystyle X}$ 的序凸集关于包含关系构成偏序集。这个偏序集的极大元叫做${\displaystyle Y}$ 的序凸分支。^{[3]:Definition 5.1}由佐恩引理，包含在${\displaystyle Y}$ 中的${\displaystyle X}$ 的任意序凸集包含于${\displaystyle Y}$ 的一个序凸分支，然而这种序凸分支不一定是唯一的。在全序集中，这样的序凸分支确实唯一。也就是说，全序集的子集的序凸分支构成分划。

區間算術又稱區間數學、區間分析、區間計算，在1950、60年代引進以作數值分析上計算捨去誤差的工具。

${\displaystyle T\times S=\{x\mid {}}$ 屬於${\displaystyle T}$ 的某些${\displaystyle y}$ ，及屬於${\displaystyle S}$ 的某些${\displaystyle z}$ ，使得${\displaystyle x=y\times z\}}$

區間算術的基本運算是，對於實數線上的子集${\displaystyle [a,b]}$ 及${\displaystyle [c,d]}$ ：

${\displaystyle [a,b]+[c,d]=[a+c,b+d]}$

${\displaystyle [a,b]-[c,d]=[a-d,b-c]}$

${\displaystyle [a,b]\times [c,d]=[\min\{ac,ad,bc,bd\},\max\{ac,ad,bc,bd\}]}$

${\displaystyle {\frac {[a,b]}{[c,d]}}=\left[\min \left\{{\frac {a}{c}},{\frac {a}{d}},{\frac {b}{c}},{\frac {b}{d}}\right\},\max \left\{{\frac {a}{c}},{\frac {a}{d}},{\frac {b}{c}},{\frac {b}{d}}\right\}\right]}$

被一個包含零的區間除，在基礎區間算術上無定義。

加法和乘法符合交換律、結合律和子分配律：集${\displaystyle X(Y+Z)}$ 是${\displaystyle XY+XZ}$ 的子集。

在法国及其他一些欧洲国家，用${\displaystyle ][}$ 代替${\displaystyle ()}$ 來表示开区间，例如：

${\displaystyle \left]a,b\right[=\{x\mid a<x<b\}}$

${\displaystyle \left[a,b\right]=\{x\mid a\leq x\leq b\}}$

${\displaystyle \left[a,b\right[=\{x\mid a\leq x<b\}}$

${\displaystyle \left]a,b\right]=\{x\mid a<x\leq b\}}$

國際標準化組織編制的ISO 31-11也允許這種寫法^[4]。

另外，在小數點以逗號來表示的情況下，為免產生混淆，分隔兩數的逗號要用分號來代替，例如將${\displaystyle [1,2.3]}$ 寫成${\displaystyle [1;2,\!3]}$ 。若只把小數點寫成逗號，就會變成${\displaystyle [1,2,\!3]}$ ，此時不易判斷究竟是${\displaystyle 1.2}$ 與${\displaystyle 3}$ 之間，還是${\displaystyle 1}$ 與${\displaystyle 2.3}$ 之間的閉區間。