模幂

计算模幂的最直接方法是直接算出${\displaystyle b^{e}}$ ，再把结果模除${\displaystyle m}$ 。假设已知${\displaystyle b=4}$ ，${\displaystyle e=13}$ ，以及${\displaystyle m=497}$ ，要求${\displaystyle c}$ ：

${\displaystyle c\equiv 4^{13}{\pmod {497}}}$

可用计算器算得4¹³结果为67,108,864，模除497，可得c等于445。

注意到${\displaystyle b}$ 只有一位，${\displaystyle e}$ 也只有两位，但${\displaystyle b^{e}}$ 的值却有8位。

强加密时${\displaystyle b}$ 通常至少有1024位^[1]。考虑${\displaystyle b=5\times 10^{76}}$ 和${\displaystyle e=17}$ 的情况，${\displaystyle b}$ 的长度为77位，${\displaystyle e}$ 的长度为2位，但是${\displaystyle b^{e}}$ 的值以十进制表示却已经有1304位。现代计算机虽然可以进行这种计算，但计算速度却大大降低。

用这种算法求模幂所需的时间取决于操作环境和处理器，时间复杂度为${\displaystyle \mathrm {O} (e)}$ 。

这种方法比第一种所需要的步骤更多，但所需内存空間和时间均大为减少，其原理为：给定两个整数${\displaystyle a}$ 和${\displaystyle b}$ ，以下两个等式是等价的：

${\displaystyle c{\bmod {m}}=(a\cdot b){\bmod {m}}}$

${\displaystyle c{\bmod {m}}=[(a{\bmod {m}})\cdot (b{\bmod {m}})]{\bmod {m}}}$

算法如下：

1. 令${\displaystyle c=1}$ ，${\displaystyle e'=0}$ 。
2. ${\displaystyle e'}$ 自增1。
3. 令${\displaystyle c=(b\cdot c){\bmod {m}}}$ .
4. 若${\displaystyle e'<e}$ ，则返回第二步；否则，${\displaystyle c}$ 即为${\displaystyle c\equiv b^{e}{\pmod {m}}}$ 。

再以${\displaystyle b=4}$ ，${\displaystyle e=13}$ ，${\displaystyle m=497}$ 为例说明，算法第三步需要执行13次：

• ${\displaystyle e'=1\cdot c=(1\cdot 4){\bmod {4}}97=4{\bmod {4}}97=4}$
• ${\displaystyle e'=2\cdot c=(4\cdot 4){\bmod {4}}97=16{\bmod {4}}97=16}$
• ${\displaystyle e'=3\cdot c=(16\cdot 4){\bmod {4}}97=64{\bmod {4}}97=64}$
• ${\displaystyle e'=4\cdot c=(64\cdot 4){\bmod {4}}97=256{\bmod {4}}97=256}$
• ${\displaystyle e'=5\cdot c=(256\cdot 4){\bmod {4}}97=1024{\bmod {4}}97=30}$
• ${\displaystyle e'=6\cdot c=(30\cdot 4){\bmod {4}}97=120{\bmod {4}}97=120}$
• ${\displaystyle e'=7\cdot c=(120\cdot 4){\bmod {4}}97=480{\bmod {4}}97=480}$
• ${\displaystyle e'=8\cdot c=(480\cdot 4){\bmod {4}}97=1920{\bmod {4}}97=429}$
• ${\displaystyle e'=9\cdot c=(429\cdot 4){\bmod {4}}97=1716{\bmod {4}}97=225}$
• ${\displaystyle e'=10\cdot c=(225\cdot 4){\bmod {4}}97=900{\bmod {4}}97=403}$
• ${\displaystyle e'=11\cdot c=(403\cdot 4){\bmod {4}}97=1612{\bmod {4}}97=121}$
• ${\displaystyle e'=12\cdot c=(121\cdot 4){\bmod {4}}97=484{\bmod {4}}97=484}$
• ${\displaystyle e'=13\cdot c=(484\cdot 4){\bmod {4}}97=1936{\bmod {4}}97=445}$

因此最终结果${\displaystyle c}$ 为445，与第一种方法所求结果相等。

与第一种方法相同，这种算法需要${\displaystyle \mathrm {O} (e)}$ 的时间才能完成。但是，由于在计算过程中处理的数字比第一种算法小得多，因此计算时间至少减少了${\displaystyle \mathrm {O} (e)}$ 倍。

算法伪代码如下：

function modular_pow(b, e, m)    if m = 1        then return 0    c := 1    for e' = 0 to e-1        c := (c * b) mod m    return c

第三种方法结合了第二种算法和平方求幂原理，使所需步骤大大减少，同时也与第二种方法一样减少了内存占用量。

首先把${\displaystyle e}$ 表示成二进制，即：

${\displaystyle e=\sum _{i=0}^{n-1}a_{i}2^{i}}$

此时${\displaystyle e}$ 的长度为${\displaystyle n}$ 位。对任意${\displaystyle i}$ （${\displaystyle 0\leq i<n}$ ），${\displaystyle a_{i}}$ 可取0或1任一值。由定义有${\displaystyle a_{n-1}=1}$ 。

${\displaystyle b^{e}}$ 的值可写作：

${\displaystyle b^{e}=b^{\left(\sum _{i=0}^{n-1}a_{i}2^{i}\right)}=\prod _{i=0}^{n-1}\left(b^{2^{i}}\right)^{a_{i}}}$

因此答案${\displaystyle c}$ 即为：

${\displaystyle c\equiv \prod _{i=0}^{n-1}\left(b^{2^{i}}\right)^{a_{i}}\ ({\mbox{mod}}\ m)}$

下述伪代码基于布魯斯·施奈爾所著《应用密码学》^[2]。其中base，exponent和modulus分别对应上式中的${\displaystyle b}$ ，${\displaystyle e}$ 和${\displaystyle m}$ 。

function modular_pow(base, exponent, modulus)    if modulus = 1 then return 0    Assert :: (modulus - 1) * (modulus - 1) does not overflow base    result := 1    base := base mod modulus    while exponent > 0        if (exponent mod 2 == 1):           result := (result * base) mod modulus        exponent := exponent >> 1        base := (base * base) mod modulus    return result

注意到在首次进入循环时，变量base等于${\displaystyle b}$ 。在第三行代码中重复执行平方运算，会确保在每次循环结束时，变量base等于${\displaystyle b^{2^{i}}{\bmod {m}}}$ ，其中${\displaystyle i}$ 是循环执行次数。

本例中，底数${\displaystyle b}$ 的指数为${\displaystyle e=13}$ 。指数用二进制表示为1101，有4位，故循环执行4次。4位数字从右到左依次为1，0，1，1。

首先，初始化结果${\displaystyle R}$ 为1，并将b的值保存在变量${\displaystyle x}$ 中：

${\displaystyle R\leftarrow 1\,(=b^{0}){\text{且 }}x\leftarrow b}$ .

第1步 第1位为1，故令${\displaystyle R\leftarrow R\cdot x{\text{ }}(=b^{1})}$ ；

令${\displaystyle x\leftarrow x^{2}{\text{ }}(=b^{2})}$ 。

第2步 第2位为0，故不给R赋值；

令${\displaystyle x\leftarrow x^{2}{\text{ }}(=b^{4})}$ 。

第3步 第3位为1，故令${\displaystyle R\leftarrow R\cdot x{\text{ }}(=b^{5})}$ ；

令${\displaystyle x\leftarrow x^{2}{\text{ }}(=b^{8})}$ 。

第4步 第4位为1，故令${\displaystyle R\leftarrow R\cdot x{\text{ }}(=b^{13})}$ ；

这是最后一步，所以不需要对x求平方。

综上，${\displaystyle R}$ 为${\displaystyle b^{13}}$ 。

以下计算${\displaystyle b=4}$ 的${\displaystyle e=13}$ 次方对497求模的结果。

初始化：

${\displaystyle R\leftarrow 1\,(=b^{0})}$ 且${\displaystyle x\leftarrow b=4}$ 。

第1步 第1位为1，故令${\displaystyle R\leftarrow R\cdot 4{\pmod {497}}\equiv 4{\pmod {497}}}$ ；

令${\displaystyle x\leftarrow x^{2}{\text{ }}(=b^{2})\equiv 4^{2}\equiv 16{\pmod {497}}}$ 。

第2步 第2位为0，故不给R赋值；

令${\displaystyle x\leftarrow x^{2}{\text{ }}(=b^{4})\equiv 16^{2}{\pmod {497}}\equiv 256{\pmod {497}}}$ 。

第3步 第3位为1，故令${\displaystyle R\leftarrow R\cdot x{\text{ }}(=b^{5})\equiv 4\cdot 256{\pmod {497}}\equiv 30{\pmod {497}}}$ ；

令${\displaystyle x\leftarrow x^{2}{\text{ }}(=b^{8})\equiv 256^{2}{\pmod {497}}\equiv 429{\pmod {497}}}$ 。

第4步 第4位为1，故令${\displaystyle R\leftarrow R\cdot x{\text{ }}(=b^{13})\equiv 30\cdot 429{\pmod {497}}\equiv 445{\pmod {497}}}$ ；

综上，${\displaystyle R}$ 为${\displaystyle 4^{13}{\pmod {497}}\equiv 445{\pmod {497}}}$ ，与先前算法中所得结果相同。

该算法时间复杂度为O(log exponent)。指数exponent值较大时，这种算法与前两种O(exponent)算法相比具有明显的速度优势。例如，如果指数为2²⁰ = 1048576，此算法只需执行20步，而非1,048,576步。

function modPow(b,e,m)        if m == 1 then                return 0        else                local r = 1                b = b % m                while e > 0 do                        if e % 2 == 1 then                                r = (r*b) % m                        end                        e = e >> 1     --Lua 5.2或更早版本使用e = math.floor(e / 2)                        b = (b^2) % m                end                return r        endend

鉴于模幂运算是计算机科学中的重要操作，并且已有高效算法，所以许多编程语言和高精度整数库都有执行模幂运算的函数：

• Python内置的pow()（求幂）函数[1] （页面存档备份，存于互联网档案馆）
• .NET框架的BigInteger类的ModPow()方法
• Java的java.math.BigInteger类的modPow()方法
• Perl的Math::BigInt模块的bmodpow()方法[2] （页面存档备份，存于互联网档案馆）
• Raku内置的expmod例程
• Go的big.Int类的Exp()（求幂）方法[3] （页面存档备份，存于互联网档案馆）
• PHP的BC Math库的bcpowmod()函数[4] （页面存档备份，存于互联网档案馆）
• GNU多重精度运算库（GMP）的mpz_powm()函数[5] （页面存档备份，存于互联网档案馆）
• FileMaker Pro的@PowerMod()函数（以1024位RSA加密为例）
• Ruby的openssl包的OpenSSL::BN#mod_exp方法[6] （页面存档备份，存于互联网档案馆）
• HP Prime计算器的CAS.powmod()函数[7]^{[失效連結]}

• 蒙哥马利算法，用于计算模很大时的余数。

• Schneier, Bruce. Applied Cryptography: Protocols, Algorithms, and Source Code in C, Second Edition 2nd. Wiley. 1996. ISBN 978-0-471-11709-4. 
• Paul Garrett, Fast Modular Exponentiation Java Applet （页面存档备份，存于互联网档案馆）
• Gordon, Daniel M. A Survey of Fast Exponentiation Methods (PDF). Journal of Algorithms (Elsevier BV). 1998, 27 (1): 129–146 [2019-11-30]. ISSN 0196-6774. doi:10.1006/jagm.1997.0913. （原始内容存档 (PDF)于2019-08-27）.