正則地區圖

正則地區圖的定義和研究通常會透過拓樸、群論和圖論的三種方式進行。

從拓樸討論

在拓樸學中，地區圖（map）是封閉且緊湊之2-流形的2-胞複形分解。其虧格可以用欧拉示性数導出${\displaystyle \chi (M)=|V|-|E|+|F|}$ 。若地區圖具備可定向性，則其值等於${\displaystyle 2-2g}$ ，否則為${\displaystyle 2-g}$ 。^[1][2]除了環面之外，每個可定向虧格都有有限個（非零）正則地區圖。^[3]

從群論討論

在群論中，正則地區圖的排列是一個由標記構成的集合${\displaystyle \Omega }$ 上的可遷格序置換群（transitive permutation group），由3個定點的自由對合r₀, r₁, r₂，並滿足(r₀r₂)²= I。在這個定義下，面為F = <r₀, r₁>的軌道、邊為E = <r₀, r₂>的軌道、頂點為V = <r₁, r₂>的軌道。更抽象地，任何正則地區圖的自同構群都是 <2,m,n>-三角群的非退化同構圖。^[2]

從圖論討論

在圖論中，地區圖是一種立方圖，其可以表示為以三種顏色染色的著色圖（下文以紅、黃、藍三種顏色表示之），是一種連通圖，且每個頂點都與所有顏色的邊相接，非黃色的邊出現週期為4。另外，這種圖也是一種定義於頂點集合或標記集合${\displaystyle \Omega }$ 上的標記圖（flag graph）或圖編碼圖（英语：Graph-encoded map）（GEM），且非地區圖的骨架 G = (V,E)。一般來說，|${\displaystyle \Omega }$ | = 4|E|。^[4]

• 大十二面體是一個由五邊形面組成且位於虧格為4的可定向曲面上的正則地區圖。^[3]
• 立方體半形是射影平面，形式為{4,3}的正則地區圖。^[5]
• 十二面體半形是將佩特森圖以五邊形嵌入實射影平面所產生的正則地區圖。^[6]
• p面形（有p個面的多面形）是一個形式為{2,p}的正則地區圖。^[7]

以下是位於欧拉示性数為正之曲面上的正則地區圖完整列表^[8]

χ	g	施萊夫利符號	頂點	邊	面	群	階數	圖		備註
2	0	{p,2}	p	p	2	C2 × Dihp	4p	Cp		多邊形二面體
2	0	{2,p}	2	p	p	C2 × Dihp	4p	p-fold K2		多面形
2	0	{3,3}	4	6	4	S4	24	K4		正四面體
2	0	{4,3}	8	12	6	C2 × S4	48	K4 ×（英语：Tensor product of graphs） K2		立方體
2	0	{3,4}	6	12	8	C2 × S4	48	K2,2,2（英语：Turán graph）		正八面體
2	0	{5,3}	20	30	12	C2 × A5	120			正十二面體
2	0	{3,5}	12	30	20	C2 × A5	120	K6 × K2		正二十面體
1	n1	{2p,2}/2	p	p	1	Dih2p	4p	Cp		多邊形二面體半形[9]
1	n1	{2,2p}/2	2	p	p	Dih2p	4p	p-fold K2		多面形半形[9]
1	n1	{4,3}/2	4	6	3	S4	24	K4		立方體半形
1	n1	{3,4}/2	3	6	4	S4	24	2-fold K3		八面體半形
1	n1	{5,3}/2	10	15	6	A5	60	佩特森圖		十二面體半形
1	n1	{3,5}/2	6	15	10	A5	60	K6		二十面體半形

下圖展示了3種在虧格為3之環面上的正則地區圖，並標上對應的施萊夫利符號。

• 
  {6,4}
• 
  {4,8}
• 
  {8,4}

正則地區圖也可以以環形多面體（英语：Toroidal_polyhedron）的形式存在。這種幾何結構是包裹在圓柱體的四維柱（英语：Duocylinder）表面上之歐氏平面鑲崁圖之有限部分。例如由正方形鑲嵌（施萊夫利符號：{4,4}）的局部包裹在圓柱體的四維柱表面上所構成的正則地區圖可以計為{4,4}_b,c^[10]。同理，若與正三角形鑲嵌（施萊夫利符號：{3,6}）或其對偶正六邊形鑲嵌（施萊夫利符號：{6,3}）的正則地區圖則可以計為{3,6}_b,c與{6,3}_b,c，其中b與c皆為整數^[11]。

正則地區圖對應的環形多面體的展開圖

{4,4}1,0 (v:1, e:2, f:1)	{4,4}1,1 (v:2, e:4, f:2)	{4,4}2,0 (v:4, e:8, f:4)	{4,4}2,1 (v:5, e:10, f:5)	{4,4}2,2 (v:8, e:16, f:8)
{3,6}1,0 (v:1, e:3, f:2)	{3,6}1,1 (v:3, e:9, f:6)	{3,6}2,0 (v:4, e:12, f:8)	{3,6}2,1 (v:7, e:21, f:14)	{3,6}2,2 (v:12, e:36, f:24)
{6,3}1,0 (v:2, e:3, f:1)	{6,3}1,1 (v:6, e:9, f:3)	{6,3}2,0 (v:8, e:12, f:4)	{6,3}2,1 (v:14, e:21, f:7)	{6,3}2,2 (v:24, e:36, f:12)

形式為{4,4}_m,0的正則地區圖可以對應到形式為{4,4 | m}的扭歪正多面體，其代表每個面都是正方形，且每個頂點都是4個正方形的公共頂點，並形成m邊形孔洞的幾何結構。其可以由四維m角柱體柱的面建構。^[12]

下圖為{4,4}_8,0從平面棋盤就構為環面的一個例子。這個例子可以不透過四維幾何結構完成建構。