大十二面體

大十二面體是4個非凸正多面體之一，具二十面體的對稱性^[11]，由12個面^[12]、30條邊和12個頂點所組成^[13][14]，其12個面皆為正五邊形面，其中12個五邊形中有6對互相平行的五邊形。其每個頂角都是由5個五邊形以五角星的路徑構成的五面角，因此在施萊夫利符號中可利用{5,5/2}來表示^[15]，意為此立體的所有頂角組成的面皆為五邊形（施萊夫利符號：{5}），並且以五角星（施萊夫利符號：{5/2}）的方式構成。而在考克斯特符號（英语：Coxeter-Dynkin digram）中則利用 來表示^[16]。在抽象幾何學中，大十二面體對應到一個虧格為4的五階五邊形正則地區圖（施萊夫利符號：{5,5}），同時，其對偶多面體小星形十二面體亦對應到相同的正則地區圖^[17]，因此這個正則地區圖是一個自身對偶的幾何結構。^[18]

星狀圖（英语：Stellation diagram）	外觀	星狀核	凸包
		正十二面體	正二十面體

面的組成

大十二面體由12個正五邊形面組成，每個正五邊形面都與另外5個正五邊形面互相相交，因此，其面有一部份是隱沒在圖形內部的，如下左圖，以白色表示，而露在外部的則以藍色表示^[5]。

大十二面體的面

同一個五邊形面以同一種顏色標示

二面角

大十二面體是一種星形正多面體^[19]，因此大十二面體僅有一種二面角，其值為五平方根倒數的反餘弦值^[20]：

${\displaystyle \cos ^{-1}{\frac {\sqrt {5}}{5}}\approx 63.434948823^{\circ }}$

頂點坐標

由於大十二面體的凸包為正二十面體^[2]，且無頂點落在凸包內，因此大十二面體的頂點坐標會與相同邊長的正二十面體相同，邊長為單位長、幾何中心在原點，則其為：^[21]

${\displaystyle (0,\,\pm 1,\,\pm {\frac {1+{\sqrt {5}}}{4}})}$ 、

${\displaystyle (\pm 1,\,\pm {\frac {1+{\sqrt {5}}}{4}},\,0)}$ 、

${\displaystyle (\pm {\frac {1+{\sqrt {5}}}{4}},\,0,\,\pm 1)}$ 。

外部圖片链接
動畫《遊戲人生》中星杯的外形[22]

星形正多面體經常出現在藝術創作中，部分小說也有使用大十二面體進行創作，如《遊戲人生》^[23]。除了藝術創作外，常見文化也有關於大十二面體的使用，例如部分的魔術方塊之外型^[24]，以及其投影圖曾作為視覺化的相關實驗性教材^[25]。

在常見文化中

• 魔術方塊亚历山大之星的外形也是大十二面體^[24]。

在小說中

• 在小說《遊戲人生》中，唯一神持有的星杯外形為大十二面體^[23]。

在電腦科學中

• 大十二面體也可以做為協助推算二元格雷碼（英语：Binary Golay code）的工具之一^[26]。

部分多面體與鑲嵌與大十二面體有一些幾何關聯。例如部分多面體可透過大十二面體經過康威變換而得到，例如截角大十二面體、截半大十二面體^[27]、以及其對偶多面體小星形十二面體^[21]。

對偶多面體

大十二面體的對偶多面體同樣是一個星形正多面體，為小星形十二面體^[21]，由12個五角星面組成^[28]。

康威變換的結果

部分多面體可透過大十二面體經過康威變換而得到，例如截角大十二面體，即截去大十二面體所有頂點後得到的立體^[27][29]：

名稱	小星形十二面體	截角小星形十二面體	截半大十二面體	截角大十二面體	大十二面體
考 式（英语：Coxeter-Dynkin diagram）
圖像

相關三角化多面體

大十二面體可以轉換成外觀相同的簡單多面體，此時，多面體變為由20個凹三角錐組成^[6]，這時，其拓樸結構則與三角化二十面體相同，皆是在正二十面體的每個三角形面接上三角錐^[30][31]。

星形三角化二十面體	小三角六邊形二十面體	三角化二十面體	正二十面體	大十二面體

星形鑲嵌圖

其也可以視為一系列施萊夫利符號中可利用{n,n/2}表示的星形鑲嵌之一，例如七階七角星鑲嵌^[32][33]：

星形多面體和鑲嵌系列：(ⁿ⁄₂)ⁿ

對稱群 *n32 [n,3]	球面鑲嵌	平面鑲嵌	雙曲鑲嵌				仿緊湊	非緊湊
	*532 [5,3]	*632 [6,3]	*732 [7,3]	*832 [8,3]	*932 [9,3]	*10 32 [10,3]...	*∞32 [∞,3]	[iπ/λ,3]
考克斯特紀號
星形 頂點 布局	(5⁄2)5	(6⁄2)6	(7⁄2)7	(8⁄2)8	(9⁄2)9	(10⁄2)10	(∞⁄2)∞	(∞⁄2)∞
面
星形對偶
考克斯特紀號
星形 頂點 布局	(55)∕2	(66)∕2	(77)∕2	(88)∕2	(9⁄2)9	(10⁄2)10	(偶數)(奇數) (∞∞)∕2	(∞∞)∕2

對偶複合體

大十二面體與其對偶的複合體為複合小星形十二面體大十二面體。其共有24個面、60條邊和24個頂點，其尤拉示性數為-12，虧格為7^[34]，而在這個立體圖形中，大十二面體完全隱沒於小星形十二面體而不可見^[35]。

• 正二十面體
• 正十二面體

參考書目

1. Wenninger, Magnus（英语：Magnus J. Wenninger）. Polyhedron Models. Cambridge University Press. 1974. ISBN 0-521-09859-9. 
2. Coxeter, H. S. M. The Fifty-Nine Icosahedra. Springer-Verlag, New York, Berlin, Heidelberg. 1938. ISBN 0-387-90770-X.