- 在這篇文章內,向量與标量分別用粗體與斜體顯示。例如,位置向量通常用 表示;而其大小則用 來表示。
在静電學裡,電勢(electric potential/ ePtntl)又稱电位(eForce/ eFrc)[1],是描述電場中某一點之能量高低性質的物理純量,操作型定義為“電場中某處的電勢”等於“處於電場中該位置的單位電荷所具有的電勢能”[2],單位用伏特。
電勢的數值不具有絕對意義,只具有相對意義,因此為了便於分析問題,必須設定一個參考位置,並把它設為零,稱為零勢能點。通常,會把無窮遠處的電勢設定為零。那麼,電勢可以定義如下:假設檢驗電荷從無窮遠位置,經過任意路徑,克服電場力,以緩慢、沒有產生加速度的方式移動到某位置,則在這位置的電勢,等於因移動檢驗電荷所做的功與檢驗電荷的電荷量的比值。在國際單位制裏,電位的單位為伏特()(Volt),它是為了紀念意大利物理學家亞歷山德羅·伏特(Alessandro Volta)而命名。
電勢必需滿足帕松方程式,同時符合相關邊界條件;假設在某區域內的電荷密度為零,則帕松方程式約化為拉普拉斯方程式,電勢必需滿足拉普拉斯方程式。
在電動力學裡,當含時電磁場存在的時候,電勢可以延伸為「廣義電勢」。特別注意,廣義電勢不能被視為電勢能每單位電荷。
簡介
處於外電場的帶電粒子會受到外電場施加的作用力,稱為電場力,促使帶電粒子加速運動。對於帶正電粒子,電場力與電場同方向;對於帶負電粒子,電場力與電場反方向。電場力的數值大小與電荷量、電場數值大小成正比。
作用力與勢能之間有非常直接的關係。隨著物體朝著作用力的方向的加速運動,物體的動能變大,勢能變小。例如,一個石頭在山頂的重力勢能大於在山腳的重力勢能。隨著物體的滾落,重力勢能變小,動能變大。
對於某種特別作用力,科學家可以定義其向量場和其位勢,使得物體因為這向量場而具有的勢能,只與物體位置、參考位置之間的距離有關。稱這種作用力為保守力,這種向量場為保守場。
例如,重力、靜電場的電場力,都是保守力。靜電場的純量勢稱為電勢,或稱為靜電勢。
電勢和磁向量勢共同形成一個四維向量,稱為四維勢。從某一個慣性參考系觀察到的四維勢,應用勞侖茲變換,可以計算出另外一個慣性參考系所觀察到的四維勢。
靜電學裏的電勢
拉普拉斯方程式的解答
在某空間區域內,假設電荷密度為零,則電勢必須滿足拉普拉斯方程式,並且符合所有相關邊界條件。
邊界條件
在靜電學裏,有三種邊界條件:
- 狄利克雷邊界條件:在所有邊界,電勢都已良態給定。具有這種邊界條件的問題稱為狄利克雷問題。
- 紐曼邊界條件:在所有邊界,電勢的法向導數都已良態給定。具有這種邊界條件的問題稱為紐曼問題。
- 混合邊界條件:一部分邊界的電勢都已良態給定,其它邊界的電勢的法向導數也已良態給定。
根據拉普拉斯方程式的唯一性定理,對於這些種類的邊界條件,拉普拉斯方程式的解答都具有唯一性。所以,只要找到一個符合邊界條件的解答,則這解答必定為正確解答。
分離變數法
應用分離變數法來解析拉普拉斯方程式,可以將問題的偏微分方程式改變為一組較容易解析的常微分方程式。對於一般問題,通常會採用直角坐標系、圓柱坐標系或球坐標系來分離拉普拉斯方程式。但是,對於其它比較特別的問題,另外還有八種坐標系可以用來分離拉普拉斯方程式。[3]分離之後,找到每一個常微分方程式的通解(通常為一組本徵方程式的疊加),電勢可以表達為這些通解的乘積。將這表達式與邊界條件相匹配,就可以設定一般解的係數,從而找到問題的特解。根據拉普拉斯方程式的唯一性定理,這特解也是唯一的正確解答。
兩個半平面導體案例
假設在xy-平面的無限平面導體被一條位於 的絕緣線條分為兩半,兩個處於y+、y--半平面的導體的電勢分別設定為 、 ,則計算z+-半空間任意位置的電勢這問題,由於邊界條件的幾何形狀適合用直角坐標來描述,可以以直角坐標 將拉普拉斯方程式表示為:
- 。
因為這案例與x-坐標無關,方程式可以簡化為
- 。
應用分離變數法,猜想解答的形式為
- 。
將這公式代入拉普拉斯方程式,則可得到
- 。
注意到這方程式的每一個項目都只含有一個變量,並且跟其它變量無關。所以,每一個項目都等於常數:
- 、
- 。
這樣,一個二次偏微分方程式被改變為兩個簡單的二次常微分方程式。解答分別為
- 、
- ;
其中, 、 、 、 都是係數函數。
當 趨向於無窮大時, 趨向於零,所以, 。綜合起來,電勢為
- 。
由於在 ,y+、y--半平面的電勢分別為 、 ,所以,
- 當 時, 、
- 當 時, 。
應用傅立葉變換,可以得到
- 、
- 。
所以,由 項目貢獻出的電勢為
- 。
類似地,由 項目貢獻出的電勢為
- 。
總電勢為[4]
- 。
帕松方程式的解答
電荷分佈所產生的電勢
根據庫侖定律,一個源位置為 的點電荷 ,所產生在任意位置 的電場為
- 。
對於一群點電荷,應用疊加原理,總電場等於每一個點電荷所產生的電場的疊加。體積區域 內部電荷密度為 的電荷分佈,在檢驗位置 所產生的電場為
- ;
其中, 是微小體積元素。
應用一條向量恆等式,
- ,
可以得到
- 。
設定在無窮遠的電勢為參考值0,則在任意位置的電勢為
- ;(1)
應用一則關於狄拉克δ函數的向量恆等式
- ,
假設檢驗位置 在積分體積 內,則可得到帕松方程式:
- 。
所以,電勢的方程式(1)為帕松方程式的解答。
邊界條件
電勢的方程式(1)只考慮到一群電荷分佈所產生的電勢。假若遭遇邊界條件為電勢的靜電學問題,就不能使用方程式(1),必需使用更具功能的方法。
根據格林第二恆等式,對於任意良態函數 與 ,[5]
- ;
其中, 是積分體積, 是包住 的閉表面, 是微小面元素, 或 都是取垂直於閉表面 的法向導數,都是從積分體積 朝外指出。
設定 為在 的電勢, 為 與 之間的距離。應用帕松方程式 ,則可得到
- 。
再應用向量恆等式
- 。
假設檢驗位置 在積分體積 內,則可得到
- 。
這方程式右手邊的體積分就是電勢的方程式(1),而面積分就是因為邊界條件而添加的項目。這是 體內與體外之間的邊界曲面。面積分的第一個項目要求給定在邊界曲面的法向電場,即 ,也就是面感應電荷密度 。面積分的第二個項目要求給定在邊界曲面的電勢 。假若能夠知道積分體積內的電荷密度、在閉曲面的面電荷密度與電勢,就可以計算出在積分體積內任意位置的電勢。
根據柯西邊界條件,有時候,給定在邊界曲面的法向電場與電勢,可能會因為給定過多邊界條件,而造成無法計算出一致的電勢的狀況。實際而言,只要給定法向電場或電勢,兩者之一,就可以計算出電勢。[5]
假若積分體積為無窮大空間,當 趨向於無窮大時,則面積分的被積分項目會以 速率遞減,而積分面積會以 速率遞增,所以,面積分項目會趨向於零,這方程式約化為先前的電勢方程式(1)。
格林函數
包括函數 在內,有一類函數 ,稱為格林函數,能夠滿足方程式
- 。
另外,假設函數 滿足拉普拉斯方程式
- ,
則函數 也是格林函數。
應用這靈活性質,可以更嚴格地規定格林函數:[5]
- 對於狄利克雷問題,當源位置 在邊界表面 時,規定格林函數 。這樣,從格林第二恆等式,設定 為在 的電勢, ,則可得到
- 。(2)
- 對於滿足紐曼問題,當源位置 在邊界表面 時,規定格林函數 。
這兩種規定都能夠唯一地設定格林函數。注意到格林函數是一個幾何函數,與整個系統的電荷分佈無關。對於任何系統,只要計算出適合其幾何形狀的格林函數,則不論系統的電荷分佈為何,都可以使用同樣的格林函數。
無限平面導體案例
假設xy-平面是接地的無限平面導體,則對於z+半空間、滿足狄利克雷邊界條件的格林函數為
- ;
其中, 、 分別是檢驗位置 、源位置 的直角坐標。
由於接地導體的電勢為零,方程式(2)的面積分項目等於零,方程式(2)變為
- 。
假設在位置 有點電荷 ,則在z+半空間任意位置的電勢為
- 。
仔細檢察這方程式,右手邊第一個項目,是在沒有平面導體的狀況時,點電荷 所產生的電勢;右手邊第二個項目,是使用鏡像法時,鏡像電荷 所產生的電勢。請參閱鏡像法條目的點電荷與無限平面導體段落。
導引
已知函數 為格林函數 ,滿足方程式
- 。
在三維無限空間裏, 的傅立葉級數為[6]
- 。
現在,必需找到格林函數 ,滿足狄利克雷邊界條件 ,同時,函數 滿足拉普拉斯方程式
- 。
對於z+半空間, 以傅立葉級數擴張為
- 。
對於x-座標與對於y-座標的傅立葉級數擴張, 函數與 函數的形式相同。這是因為對於無限空間案例與無限平面導體案例,兩種案例的x-邊界條件與y-邊界條件都相同,只有z-邊界條件稍有改變。將 函數的方程式代如, 變為
- ;
其中, 與 都是係數函數。
由於 ,對於任意 與 , 與 之間的關係為
- 、
- 、
- ;
其中, 與 都是係數常數,而且,
將這些公式代入 ,可以得到
- 。
為了滿足方程式 ,必需設定 。所以,
- ;
其中, 是鏡像電荷的位置。
兩個半平面導體案例
假設在xy-平面的無限平面導體被一條位於 的絕緣線條分為兩半,兩個處於y+、y--半平面的導體的電勢分別設定為 與 ,則由於 ,方程式(2)變為
- 。(3)
注意到 是z+-半空間,xy-平面是其邊界閉曲面的一部分,格林函數在xy-平面的法向導數的方向是朝著負z方向:
- 。
的邊界閉曲面在無窮遠位置的電勢為0,所以,只需要計算xy-平面給出的貢獻,就可以得到在 內部任意位置的電勢。將上述方程式代入方程式(3):[4]
- 。
推廣至電動力學
參閱
參考文獻
延伸阅读