Hierdie artikel is in sy geheel of gedeeltelik vanuit die Engelse Wikipedia vertaal.

Die Fourier-reeks is dear Joseph Fourier in die begin van die negentiede eeu ontwikkel. Hy publiseer sy ontdeking in 1807.^[2] Hy ontwikkel die die konsep oorsprontlik om hom te help met die oplossing van die hittediffusievergelyking, maar dit is later ontdek dat reeks nuttig is om enige periodieke golfvorm te ontleed. In sy eenvoudigste vorm (uit 'n ingenieursoogpunt) word die golfvorm ontbind in 'n reeks sinus- en cosinuskrommes met frekwensie gelykstaande aan 'n tussengetalveelvoud van die frekwensie van die oorspronklike golfvorm. In die praktyk word slegs die laagste frekwensiekrommes gebruik.^[3]

In die boonste ry van die diagram aan die regterkant word die vierkantgolf benader deur 'n sinusvormige kromme wat 'n periode ${\displaystyle T}$ het. Die volgende ry wys die vierkantgolf wanneer dit benader word deur twee sinusvormige krommes met periodes ${\displaystyle (T,{\frac {T}{3}})}$ bymekaar te tel, die derde ry toon die resultaat wanneer drie sinusvormige krommes met frekwensies ${\displaystyle (T,{\frac {T}{3}},{\frac {T}{5}})}$ bymekaar getel is en so voort.

Vorm

Die Fourier-reeks kan in verskeie vorme uitgedruk word. Die drie mees algemene word hier beskryf.

Sinus-kosinus vorm

Die wiskundige uitdrukking vir die Fourier-reeks word gegee deur:^[4]

${\displaystyle s_{\scriptscriptstyle N}(x)={\frac {a_{0}}{2}}+\sum _{n=1}^{N}\left(a_{n}\cos \left({\tfrac {2\pi }{T}}nx\right)+b_{n}\sin \left({\tfrac {2\pi }{T}}nx\right)\right)}$

waar

${\displaystyle s_{\scriptscriptstyle N}(x)}$ is die funksie wat benader word.

${\displaystyle N}$ N is die hoogste orde van sinusvormige kromme wat in die benadering gebruik word.

${\displaystyle s_{\scriptscriptstyle N}(x)}$ Is die benadering tot die kromme nadat N sinusvormige krommes gebruik is.

${\displaystyle \{a_{0},a_{n},b_{n}|n{=}1\ldots N\}}$ is 'n stel konstante wat spesifiek is vir ${\displaystyle s_{\scriptscriptstyle N}(x)}$ .

Die konstantes ${\displaystyle \{a_{0},a_{n},b_{n}|n{=}1\ldots N\}}$ word geëvalueer deur die formules te gebruik:

${\displaystyle {\begin{aligned}a_{n}&={\frac {1}{\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }s(x)\cos(nx)\,dx\\[4pt]b_{n}&={\frac {1}{\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }s(x)\sin(nx)\,dx\\[4pt]\end{aligned}}}$

Amplitude-fase vorm of polêre vorm

Aangesien dat

${\displaystyle A\cos \left(\theta -\phi \right)=A\cos \theta \cos \phi +A\sin \theta \sin \phi }$

is dit maklik om te bewys dat die sinus-kosinusvorm in 'n amplitude-fase of polêre vorm herskryf kan word:

${\displaystyle s_{\scriptscriptstyle N}(x)={\frac {A_{0}}{2}}+\sum _{n=1}^{N}A_{n}\cdot \cos \left({\tfrac {2\pi }{P}}nx-\varphi _{n}\right)}$

waar

${\displaystyle A_{n}={\sqrt {\left(a_{n}^{2}+b_{n}^{2}\right)}}}$

${\displaystyle \tan \phi ={\frac {b_{n}}{a_{n}}}}$ .

Wanneer die Fourier-reeks in hierdie vorm geskryf word, is die term ${\displaystyle A_{n}}$ die amplitude van die ${\displaystyle n^{de}}$ komponent van die golf en ${\displaystyle \phi }$ sy faseverskuiwing.

Eksponensiële vorm

Volgens Euler se formule is

${\displaystyle \cos \theta ={\tfrac {1}{2}}(e^{i\theta }+e^{-i\theta })}$ .

Deur hierdie verhouding te gebruik, is dit maklik om dit te wys dat die polêre vorm in 'n eksponensiële vorm herskryf kan word:

${\displaystyle s_{_{N}}(x)=\sum _{n=-N}^{N}c_{n}\cdot e^{i2\pi nx/P}}$

waar

${\displaystyle c_{n}\triangleq \left\{{\begin{array}{lll}A_{0}/2&=a_{0}/2,\quad &n=0\\{\tfrac {A_{n}}{2}}e^{-i\varphi _{n}}&={\tfrac {1}{2}}(a_{n}-ib_{n}),\quad &n>0\\c_{|n|}^{*},\quad &&n<0\end{array}}\right\}}$

en

${\displaystyle c^{*}}$ is die komplekse vervoeging van ${\displaystyle c}$ .

Konvergensie

Oor die algemeen kan aangetoon word dat 'n Fourier-reeks konvergent is as dit aan die Dirichlet-voorwaardes [en] voldoen.

In ingenieurswese toepassings word daar oor die algemeen aanvaar dat die Fourier-reeks byna oral konvergeer (die uitsonderings is by diskrete diskontinuïteite) aangesien die funksies wat in ingenieurswese teëgekom word, beter gedra as die funksies wat wiskundiges as teenvoorbeelde vir hierdie vermoede kan verskaf. In die besonder, as ${\displaystyle s}$ kontinu is en die afgeleide van ${\displaystyle s(x)}$ (wat dalk nie oral bestaan ​​nie) vierkantintegreerbaar is, dan is die Fourier-reeks van ${\displaystyle s}$ konvergeer absoluut en eenvormig na ${\displaystyle s(x)}$ .^[5] As 'n funksie is vierkant-integreerbaar [en] op die interval ${\displaystyle [x_{0},x_{0}+P]}$ , dan konvergeer die Fourier-reeks na die funksie by byna elke punt. Dit is moontlik om Fourier-koëffisiënte vir meer algemene funksies of verdelings te definieer, in sulke gevalle is konvergensie in norm of swak konvergensie [en] gewoonlik van belang.

Tabel van algemene Fourier-reekse

Sommige algemene pare periodieke funksies en hul Fourierreeks-koëffisiënte word in die tabel hieronder getoon.

• ${\displaystyle s(x)}$ dui 'n periodieke funksie aan gedefinieer op ${\displaystyle 0<x\leq P}$ .
• ${\displaystyle a_{0},a_{n},b_{n}}$ dui die Fourierreeks-koëffisiënte (sinus-kosinusvorm) van die periodieke funksie aan ${\displaystyle s(x)}$ .

Tyd domein ${\displaystyle s(x)}$	Grafiek	Frekwensiedomein (sinus-kosinusvorm) ${\displaystyle {\begin{aligned}&a_{0}\\&a_{n}\quad {\text{vir }}n\geq 1\\&b_{n}\quad {\text{vir }}n\geq 1\end{aligned}}}$	Opmerking	Verwysing
${\displaystyle s(x)=A\left|\sin \left({\frac {2\pi }{P}}x\right)\right|\quad {\text{vir }}0\leq x<P}$		${\displaystyle {\begin{aligned}a_{0}=&{\frac {4A}{\pi }}\\a_{n}=&{\begin{cases}{\frac {-4A}{\pi }}{\frac {1}{n^{2}-1}}&\quad n{\text{ ewe}}\\0&\quad n{\text{ onewe}}\end{cases}}\\b_{n}=&0\\\end{aligned}}}$	Volgolf gelykgerigte sinus	[6]:p. 193
${\displaystyle s(x)={\begin{cases}A\sin \left({\frac {2\pi }{P}}x\right)&\quad {\text{vir }}0\leq x<P/2\\0&\quad {\text{vir }}P/2\leq x<P\\\end{cases}}}$		${\displaystyle {\begin{aligned}a_{0}=&{\frac {2A}{\pi }}\\a_{n}=&{\begin{cases}{\frac {-2A}{\pi }}{\frac {1}{n^{2}-1}}&\quad n{\text{ ewe}}\\0&\quad n{\text{ onewe}}\end{cases}}\\b_{n}=&{\begin{cases}{\frac {A}{2}}&\quad n=1\\0&\quad n>1\end{cases}}\\\end{aligned}}}$	Halfgolf gelykgerigte sinus	[6]:p. 193
${\displaystyle s(x)={\begin{cases}A&\quad {\text{vir }}0\leq x<D\cdot P\\0&\quad {\text{vir }}D\cdot P\leq x<P\\\end{cases}}}$		${\displaystyle {\begin{aligned}a_{0}=&2AD\\a_{n}=&{\frac {A}{n\pi }}\sin \left(2\pi nD\right)\\b_{n}=&{\frac {2A}{n\pi }}\left(\sin \left(\pi nD\right)\right)^{2}\\\end{aligned}}}$	${\displaystyle 0\leq D\leq 1}$
${\displaystyle s(x)={\frac {Ax}{P}}\quad {\text{vir }}0\leq x<P}$		${\displaystyle {\begin{aligned}a_{0}=&A\\a_{n}=&0\\b_{n}=&{\frac {-A}{n\pi }}\\\end{aligned}}}$		[6]:p. 192
${\displaystyle s(x)=A-{\frac {Ax}{P}}\quad {\text{vir }}0\leq x<P}$		${\displaystyle {\begin{aligned}a_{0}=&A\\a_{n}=&0\\b_{n}=&{\frac {A}{n\pi }}\\\end{aligned}}}$		[6]:p. 192
${\displaystyle s(x)={\frac {4A}{P^{2}}}\left(x-{\frac {P}{2}}\right)^{2}\quad {\text{vir }}0\leq x<P}$		${\displaystyle {\begin{aligned}a_{0}=&{\frac {2A}{3}}\\a_{n}=&{\frac {4A}{\pi ^{2}n^{2}}}\\b_{n}=&0\\\end{aligned}}}$		[6]:p. 193

Verwysings

Referensies

{{+ + + + + + + + + + + + +

• "{{Intertaalskakel|Amsterdam|nl}}" gee "Amsterdam".
• "{{Intertaalskakel|Amsterdam|nl|Amsterdam}}" gee "Amsterdam".
• "{{Intertaalskakel|sup|Harlingen|nl}}" gee "Harlingen". ("nl" is 'n skakel na nl:Harlingen).
• "{{Intertaalskakel|Merwe|nl|Merwede}}" gee "Merwe [nl]" ("nl" is 'n skakel na nl:Merwede).

Sien ook Gebruiker:Martinvl/New SI

Krag is die resultate van 'n aantal verskillende verskynsels, insluitend swaartekrag en elektromagnetiesekrag.

Plaaslike regering in Engeland

Elkeen van die vier lande wat die Vereenigde Koninkryk bestaan het sy eie soort plaaslike regering.

Op die hoogste vlak is nege streke (regions). Londen is die eenigster streek wat sy eie streeksraad het - Die ander streke word slegs gebruik vir statistiese doeleindes en vir kiesafdelings tydens verkiesings vir die Europese parlement.

${\displaystyle {\frac {\Phi _{1}}{\Phi _{2}}}={\frac {\lambda _{1}}{\lambda _{2}}}}$

${\displaystyle arctan(x)=x-{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {x^{5}}{5}}-{\frac {x^{7}}{7}}....}$

${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=4\times arctan({\frac {1}{5}})-arctan({\frac {1}{239}})}$

Verwysings

Willem van Oranje

Willem van Oranje
Prins van Oranje

}}Willem van Oranje ...

Subpages

• Gebruiker:Martinvl/Sandput/Kaapse maateenhede
• Gebruiker:Martinvl/Sandput/NGR
• Gebruiker:Martinvl/Sandput/Pretoria Pietersburg Spoorweg
• Gebruiker:Martinvl/Lokomotiefinligtingskas

IBAN

Oorspronklik tekst bevind in

• Tukkies is die Xxxxx van Xxxxx
• Die vader van die eerste Vlietstra was Xxxxx
• Toe jy wil verder sturieer nadat jy die skool verlaat het, moet jy jou Xxxxxx behaal.
• My oudste niggie se voornaam is Xxxxx

Westminster

Parish of Fleet
Koördinate: 51°17′00″N 0°50′44″W / 51.2834°N 0.8456°W / 51.2834; -0.8456
Land	Verenigde Koninkryk
Land	Engeland
Graafskap	Hampshire
Distrik	Hart
Oppervlak
• Totaal	12,0 km2 (4,6 vk. myl)
Bevolking
• Totaal	41 233[1]
• Digtheid	3 440/km2 (8 900/vk. myl)
Tydsone	UTC+00:00 (MGT)
• Somertyd	UTC+01:00 (BST)
Skakelkodes	01252

City of Westminster
Stad
Koördinate: 51°16′30″N 0°50′40″W / 51.27500°N 0.84444°W / 51.27500; -0.84444
Land	Verenigde Koninkryk
Land	Engeland
Graafskap	Greater London
Oppervlak
• Totaal	21,48 km2 (8,29 vk. myl)
Bevolking
• Totaal	219 600
• Digtheid	10 223/km2 (26 480/vk. myl)
Tydsone	UTC+00:00 (MGT)
• Somertyd	UTC+01:00 (BST)
Skakelkodes	020
Webwerf	http://www.Westminster.gov.UK

Weergegewens

Nadat die Britse magte Pretoria beset het, het die ZAR se regering hul op spoorwegkoetse gevestig. Die Warmbad-Pietersburg gedeelte van die spoorlyn is tot 30 Maart 1901 deur hierdie koetse gebruik. Op 1 April is Nylstroom deur die Australiese magte beset, Potgietersrus is op 5 April beset en Pietersburg is op 8 April beset. Nadat Pietersburg beset is, kom die spoorlyn onder die beheer van die Imperial Military Railways (IMR). Nadat die spoorlyn onder die IMR se beheer gekom het, is ten minste twee aanvalle op treine van die IMR deur Boerkommandos gemaak. Op 4 Julie 1901 het 'n Boerekommando onder die bevel van Generaal CF Beyers 'n trein by Tobiasspruit, 8 km noord van Naboomspruit aangeval. Op 10 Augustus 1901 het 'n Boerekommando onder die bevel van Kapitein Jack Hindon en Kapitein Slegkamp by Haartebeeslaagte, 10,7 km suid van Naaboomsruit 'n gepantserde trein aangeval. ^[3]

Kaapstad

Tallinn

Perth

Jaipur

• Jaipur statistics
• Agra Statistics
• New Delhi statistics

Galeries

Besienswaardighede in Hampshire

Ronde tafel van Koning Arthur wat in die groot saal van Winchester Kasteel ophang  Standbeeld van Koning Alfred in WInchester. Koning Alfred was eerste koning van Engeland.  HMS Victory, die vlagskip van Lord Nelson by die slag van Trafalgar (1805) en HMS Ark Royal, 'n moderne vliegdekskip van die Royal Navy   Die Red Arrows by the Farnborough Lugskou   'n Typiese platelandse pub in Crondall. Volgens legende, het Oliver Cromwell in hierdie pub in 1645 gebly

Besienswaardighede in Exeter

Gedeeltes van die stadmuur dateer terug tot Romeinse tye.   Wes-fasade van die Katedraal en die Katederaalsplein tydens die lente.   Die Exe rivier en die kaai met die stadsmuur in die agtergrond.   High Street en die Guildhall. Die meeste van die Guildhall is in die middeleeue gebou, maar die fasade is in 1593 gebou.   Golden Star  Shining Star  Silver Star  World Star

Die el

1 el = 26.5 [Amsterdam] duim (check value)^[11]

Another book^[12]

Another ref^[13]

ANother ref ^[14]

Verwysings

Meter Konvensie

Die meter is oorspronklik tussen 1792 en 1799 ontwikkel as gelykstaande aan 1/10.000.000 van die afstand tussen die Noordpool en die ewenaar op die lengtelyn wat deur Parys loop. Die kilogram is oorspronklik in 1795 ontwikkel as gelykstaande aan die massa van een liter (1000 kubieke sentimeter) by die vriespunt van ys.^[1][2] Destyds was dit geglo dat dit die maksimum digtheid van water was.

Teen die einde van die negentiende eeu het die meeste van die Europese lande afgesien van Rusland en die Verenigde Koninkryk die metrieke stelsel aangeneem. Aan die 1902 Rykskonferensie [Imperial Conference] het die meeste van die Britse kolonies sy steun vir die metrieke stelsel gegee, maar die Britse Parlement het geweier om die nodige wetgewing in te stem.^[3][4]In 1965 het die Brtise President of the Board of Trade ('n staatsminister) aangekondig dat die Vereningde Koninkryk van plan is om die metriese sisteem aan te vaar. Gedeurende die volgende paar jare het die meeste van die Britse Statebond (en ook Suid Afrika) die Britse voorbeeld gevolg.^[5]

Algemene Konferensie vir Mate en Gewigte (CGPM)

Die Algemene Konferensie vir Mate en Gewigte (CGPM) is 'n byeenkoms van al die lede van die BIPM. Dit vind plaas ongeveer elke vier tot ses jare. Die meter konvensie is in 1975 geteken en die eerste CGPM het in 1889 plaasgevind nadat die nuwe kilogram en meter voorwerpe vervaardig is. Die belangrikste byeenkomste is die sesde CGPM (1921) toe die BIPM se mandaat uitgebrei is om ook elektriese metings te dek, die elfde CGPM toe die SI-stelsel aangeneem is. Die vyf-en-twintigste CGPM het in 2014 plaasgevind en die ses-en-twintigste CGPM vind plaas in 2018. Die byeenkomste vind altyd in Sèvres (vlakby Parys) plaas.^[6]

Die CPGM stel lede van die CIPM, ontvang verslae van die CIPM en keur die BIPM se begroting aan.

BIPM

As 'n land 'n lid van die BIPM wil word, moet hy diplomatieke betrekkinge met Frankryk hê en moet ook 'n nasionale laboratorium besit.^[7] Sedert 1999 kon lande wat nie vir volle lidmaatskap kwalifiseer aansoek doen vir geassosieerde lidmaatskap. Suid-Afrika het die konvensie in 1964 as 'n volle lid ondergeteken en in 2012 het Namibië die konvensie as 'n assosiaatlid ondergeteken. Op 1 Januarie 2015 bevat die lidmaatskap van die BIPM 55 volle lede en 41 is assosiaatlede.^[8][9]

Verwysings

Iets anders

${\displaystyle E=mc^{2}+{p^{2} \over 2m}+\cdots \approx mc^{2}+{(mv)^{2} \over 2m}=mc^{2}+{1 \over 2}mv^{2}}$

Dit is met die Engelse woorde compute en calculate geïllustreer. Albei woorde is in Duits met die woord berechnen vertaal. Al is die Duitse woord Rechner 'n suiwer Duitse woord, kan dit nie sonder aanpassing gebruik word om albei computer en calculator uit Engels te vertaal nie. Die Duitse oplossing is om the woord "rechner" as 'n stamwoord in nuwe woorde soos Taschenrechner (sakrekenaar) te gebruik, maar volgens die Europese Unie is die wettige Duitse vertaling vir die Engelse woord computer ook computer.^[1]

www.real.de

http://www.rhino-computer.de/ "der Computer Experte aus Deutschland", "Mit dem Rhino PC Konfigurator erhalten Sie die Möglichkeit Ihren Computer ganz auf Ihre Bedürfnisse abzustimmen" "Gaming PC", "Der kleine Multimedia Rechner".

http://iate.europa.eu/SearchByQueryLoad.do?method=load

http://standards.iso.org/ittf/PubliclyAvailableStandards/index.html

http://www.cse.msu.edu/~cse435/Handouts/Standards/IEEE24765.pdf

Die woord calculate kom van die Latynse woord calculus wat "'n klip" beteken, dus is die Engelse Dus kan 'n mens die woorde calculator en computer nie direk uit Engels na Duits vertaal sonder om die Duite taal aan te pas.

Tugela River

References^[2][3][4][5]

• Bulpin^[6]:263

^[7][8]

Poor roads - about roads (pg 180) (1899) Discussion about roads - bridges are rare.

Boer commando raid via Jamesons Drift to Greytown

It took 5 days to ferry across 5,000 men, 384 ox wagons, 3,400 baggage animals and 600 civilian wagoners and drivers. The road ahead was muddy and impeded by steep bank dongas which would have slowed the progress of his column so Pearson split it into two divisions, setting off on the 18th and 19th Jan.^[9]

• Tugelawaterval^[10]

• Sahlumbe^[11] (Close to Weenen, 61 km downstream from Colens, 44 km upstream from Tugela Ferry)

Tydens die Tweede Vryheidsoorlog, toe Ladysmith beleër is, gee die rivier verdediging aan die Boeremagte. Pogings deur die Britse magte onder Redvers Buller om die rivier oor te steek het by Colenso, Vaalkrans en Spioenkop misluk. Uiteindelik het die Britse magte by PietersHill die rivier oorgesteek om Ladysmith te bevry.^[12]

Brûe

In 1973, is drie ontwikkelingslinte in Natal geïdentifiseer. Die eerste lint volg die oorsponglikke roet tussen Durban en Newcastle. Die tweede lê tussen Newcastle en Richardsbaai edn die derde volg die Noordskusroet tussen Richardsbaai en Durban. Binne hierdie drie ontwikkelinslinte lê 'n streek met min ontwikkeling. Die Tugela se bolope tussen die Drakensberg en Colenso lê die eerste van hierdie ontwikkelingslinte en sy mondgebied lê in die derde van die ontwikkelingslinte.^[13] Die middel van die driehoek bevat die heuwelagtige Tugelavalei en sy omgewing. In hiedie stuk van die rivier is daar net twee enkelbaan brûe, 'n brug by Tugela Ferry en 'n brug by Jamesons Drift. Die pad oor die Jameseons Drift brug is nog steed 'n stofpad.

Die direkte afstande tussen verskei stede is:^[14]

• 44,9 km Mont-aux-Source tot Bergville (1118 m)
• 45 km Bergville - Colenso (960 m - Bulwer Brug)
• 61 km Colenso - Tugela Ferry (539 m)
• 43 km Tugela Ferry - Jameson's Drift (294 m)
• 72 km Jamesons Drift - Zululand Railway Bridge (16 m)
• 12 km Zululand Railway Bridge - Indian Oseaan (0 m)

Boloop gebied

Die eerste brug oor die Tugela is die Bulwer Brug by Colenso. In vroër jare was daar 'n pont hier en Colenso het die Zoeloe naam iSkipeni (plek van die boot) gekry.^[15] Hiedie brug is in 1871 voorgestel en is in 1879 geopen om die weg tussen Durban en die diamantvelde in Kimberley te vermaklik.^[16] Hierdie enkelrigting brug het die N3 hoofpad tussen Johannesburg en Durban gedra totdat die Colenso bypass in 1962 geopen is. Die brug staan nog steeds en die vormalige tolhuis is deesdae die Robert E. Stevenson Museum.^[17] Albei brûe is now deur die dubbelbaan N3 tolwegbrug ongeveer 10 km wes van Colenso verplaas. Colenso se spoorwegbrug, ook 'n enkelrigting brug, is in 1886 geopen. In xxxx is die spoorlyn aan albei Boererepublieke geopen. In ongeveer 1955 is die spoorlyn verdubbel en 'n nuwe spoorlynbrug langsaan die ou brug is gebou. Ander brûe is in die twintigste eeu gebou om Ladysmtih met Bergville and Winterton to koppel.

Mond gebied

Die mond van die Tugelarivier is ongeveer 350 m dus is brugbou daar heelwat duurder as in the omgewing van Colenso. Ook dra die paaie en spoorweë minder vervoer. Op 18 Julie 1902 is die eerste brug oor die Tugelarivier in die kusgebied by Bonds Drift geopen. Hiedie brug is oorsprongklik deur die Zululand Railway Company gebou on Zoeloeland met die Natalkolonie te verbind. In 1904 is die Zululand Railway Company is deur die Natalse regering gekoop. In ongeveer 1930 is 'n enkelrigting padbrug naby die spoorwegbrug gebou.^[18]

In 1959 in 'n nuwe tweerigting padbrug oor die Tugelarivier gebou om die N2 kuspad oor die rivier te dra. Hierdie brug kry die naam "John Ross-brug" te ere van Charles Rawden Maclean (bynaam John Ross). In 1828 het Maclean, toe 'n tienerjarige, vanaf Port Natal (Durban) na Delagoabaai geloop om medisyne vir die settlement te kry.^[19] In 1987, is die John Ross Bridge tydens 'n vloed weggespoel. Die noordwaartse verkeer is oor die ou padbrug afgelei terwyl die suidewaartse verkeer oor die brug by Tugela Ferry afgelei is.^[20] Die John Ross-brug is in 89 dae herstel.^[21]

Middelgebied

Die middel van die driehoek bevat die heuwelagtige Tugelavalei en sy omgewing. In hiedie stuk van die rivier is daar net twee enkelbaan brûe, 'n brug by Tugela Ferry en 'n brug by Jamesons Drift. Die pad oor die Jameseons Drift brug is nog steed 'n stofpad.

Vanaf voor die Zoeloe oorlog van 1879 is daar 'n ferry by Smits Drift. Hierdie plek kry die naam "Tugela Ferry".^[6] Tussen 1918 en 1937 is die ferry met 'n enkelrigting 166 m lank brug verplaas. In 2014 is dir voorgestel om 'n nuwe dubbelrigting brug lanksaan die huidige brug te bou.^[22]

Algemeen

Die Tugelarivier vloei deur bergagtige gebied en het drie oorgangstreke. Die grootse oorgangstreek is die streek tussen sy bron en Colenso. Colenso le ongeveer 100 km van die rivierbron af en deesdae is daar heelwat bruê in hierdie gebied, meestal te doen met vervoer tussen Durban en die Witwatersrand. Die eerste kruisingsplek was die Kommandodrif. Hy is in 1855 na Colenso hernoem. Hiedie drif is in 1879 deur die eenrigting Bulwerbrug vervang. In 1885 is 'n spoorwegbrug ook in Colenso gebou. Seerdat 1885 is hiedie bruê met groter bruê vervang. Terseldertyd is ander brue stroomop van Clenso gebou.

Die tweede kruisingstreek is by Tugela Ferry, ongeveer halfpad tussen die rivier se bron en sy mond.^[23]

• Map 1954
• Check thi sout
• (Bonds drift)
• Route to the diamopnd fields
• ferries operated by traders
• More about John Ross? Tugela river? - JSTOR
• British army crossing 1883
• Tugela ferry 1881
• No development along Tugela
• Implies only two good crossing points

Area of Cap

It is required to demonstrate that if a rectangle is constructed around a segment using the chord length as one side of the rectangle and the height of the segment as the height of the rectangle, then the ratio of the area of the segment to the area of the rectangle (${\displaystyle Q}$ ) satisfies the equation

${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}<=Q<={\frac {2}{3}}}$ .

Consider the equation of a circle ${\displaystyle y^{2}+x^{2}=r^{2}}$ which has solution ${\displaystyle y={\sqrt {r^{2}-x^{2}}}}$

Choose two points ${\displaystyle (-a,h)}$ and ${\displaystyle (a,h)}$ on the curve.

The area of the rectangle is clearly ${\displaystyle 2a(r-h)}$ and the area of the cap is ${\displaystyle \int _{-a}^{a}{\sqrt {r^{2}-x^{2}}}dx-2ah}$

Define ${\displaystyle u}$ such that ${\displaystyle u={\frac {x}{r}}}$ and ${\displaystyle b={\frac {a}{r}}}$ .

The area of the rectangle becomes ${\displaystyle 2b(1-h)=2b-2bh}$ and the area of the cap is ${\displaystyle \int _{-b}^{b}{\sqrt {1-u^{2}}}du-2bh}$ .

The Taylor series of ${\displaystyle {\sqrt {1+p}}}$ is ${\displaystyle 1+{\frac {1}{2}}p-{\frac {1}{2\cdot 4}}p^{2}+{\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4\cdot 6}}p^{3}-\cdots }$

Expanding the integrand as a Taylor series give the area of the cap as${\displaystyle \int _{-b}^{b}1-{\frac {1}{2}}u^{2}-{\frac {1}{2\cdot 4}}u^{4}-{\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4\cdot 6}}u^{6}-\cdots du-2bh}$

If we let u become vanishingly small, we can neglect all powers of ${\displaystyle u^{4}}$ , ${\displaystyle u^{6}}$ etc and the area of the cap becomes ${\displaystyle \int _{-b}^{b}1-{\frac {1}{2}}u^{2}du-2bh}$

Verwysings

Verwysings

En ook

• http://www.afrikanergeskiedenis.co.za/presidente/biografiese-profiele/profiel-jan-brand/
• http://www.afrikanergeskiedenis.co.za/presidente/biografiese-profiele/profiel-j-h-de-la-rey/
• http://www.afrikanergeskiedenis.co.za/presidente/biografiese-profiele/profiel-cr-de-wet/
• http://www.afrikanergeskiedenis.co.za/presidente/biografiese-profiele/cp-hoogenhout-1843-1922/

Verskeie verwysings

• Mathematicians of the French Revolution
• - Measure of enlightenment
• On the Metric System of Weights and Measures, and its proposed Adoption in this Country (UK) - 1864
• Metrication in Italy]
• Metrication in Portugal
• More metrication in Portugal
• Symbols for quantities
• Principals of Commercial science 1831/2
• Railways during the Boer War